1、28.4 垂径定理第二十八章 圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.复习并巩固圆心角和圆周角的相关知识.2.理解并掌握垂径定理及其推论的推导过程.(重点)3.能够运用垂径定理及其推论解决实际问题.（难点）学习目标问题问题 赵州桥的半径是多少？导入新课导入新课观察与思考它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？问题1 如图，AB是 O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？讲授新课讲授新课垂径定理及其应用一 （
2、1）圆是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：AE=BEOABCDEOABCDE弧：弧AC=弧BC，弧AD=弧BD把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，弧AC、弧AD分别与弧BC、弧BD 重合OABCE由此，我们得到下面的定理：即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BCD我们还可以得到结论：平分这条弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧这个定理也叫垂径定理，利用这个定理，你能平分一条弧吗？垂径定理的本质是:满足其中任两条，必定同时满
3、足另三条（1）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分不是直径的弦（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧解决求赵州桥拱半径的问题：如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前面的结论可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m解得R27.9.ODABCR在RtOAD中，由勾股定理，得即 R2=18.72+（R7.2）2因此，赵州桥的主桥拱半径约为2
4、7.9 m.OA2=AD2+OD2113 7.41 8.722A DA BAB=37.4 m，CD=7.2 m，OD=OCCD=R7.2在图中（m）,垂径定理的推论二问题问题 命题：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。”是真命题吗?若是，请证明；若不是请举出反例.CDAB,CD是直径，AE=BE AC=BC,AD=BD.OABCDE（1）如何证明？OABCDE已知：如图，CD是 O的直径，AB为弦，且AE=BE.证明：连接OA，OB，则OA=OB AE=BE CDAB，AOD=BOD.AD=BD,求证：CDAB，且AD=BD,AC=BC AC=BC（2）“不是直径”这个
5、条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.OABCD CD是直径,CDAB,AM=BMAC=BC,AD=BD.如果具备上面五个条件中的任何两个，那么一定可以得到其他三个结论吗？一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦（不是直径）;(4)平分弦所对优弧;(5)平分弦所对的劣弧.OABCDM当堂练习当堂练习1如图，在 O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到弦AB的距离为3 cm，求 O的半径OABE解：OEABE作于点，222AOOEAE2222=3+4=5cmAOOEAE答：O的半径为5 cm.1184.22AEAB 在RtAOE
6、中，2如图，在 O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证：四边形ADOE是正方形OABCDE证明：OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形ADOE为矩形，又AC=AB，11 22AEACADAB，AE=AD.四边形ADOE为正方形.课堂小结课堂小结直径平分弦 直径垂直于弦=直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦 直径平分弦（不是直径）直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的弦 直径平分弧 直径垂直于弧所对的弦=垂径定理及其逆定理 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论
