1、代数方程的可解性与群的发现代数方程的可解性与群的发现 l早期探索l不可解性的证明，阿贝尔l彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦l近代群理论的完善l返回五次或更高次方程的代数求五次或更高次方程的代数求解公式解公式的探索的探索拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange 17351813）1770年发表论文关于代数方程解的思考提出根的置换理论是解决代数方程的关键代数方程的可解性与群的发现代数方程的可解性与群的发现l早期探索l不可解性的证明，阿贝尔l彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦l近代群理论的完善l返回19世纪初挪威青年数学家阿贝尔 论代数方程，证明一般五次方程的不可解性法国青年数学家伽罗瓦 论方
2、程可以用开方法求解的条件代数学的全新时期代数方程的可解性与群的发现代数方程的可解性与群的发现l早期探索l不可解性的证明，阿贝尔l彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦l近代群理论的完善l返回 阿贝尔（N.Abel 18021829）是挪威的一个乡村牧师的儿子，幼年丧父。阿贝尔只活了27岁，但留下了许多创造性贡献。1824年当时只有22岁的大学生阿贝尔第一次作出了“五次方程代数解法不可能存在”的正确证明。阿贝尔（阿贝尔（N.Abel 18021829）代数方程的可解性与群的发现代数方程的可解性与群的发现 1824年，年，阿贝尔在自费出版的小册子在自费出版的小册子 论代数方程，证明一般五次方程的不可解性论
3、代数方程，证明一般五次方程的不可解性中，严格证明了中，严格证明了以下以下事实事实：如果方程的次数如果方程的次数n4，并且系数看成是字，并且系数看成是字母，那么任何一个由这些字母组成的根式都不可母，那么任何一个由这些字母组成的根式都不可能是方程的解。能是方程的解。l早期探索l不可解性的证明，阿贝尔l彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦l近代群理论的完善l返回代数方程的可解性与群的发现代数方程的可解性与群的发现l早期探索l不可解性的证明，阿贝尔l彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦l近代群理论的完善l返回 阿贝尔的理论并未解决具体方程能不能用根式求解的问题。这个问题为法国青年数学家伽罗瓦彻底解决。法国青年数学
4、家伽罗瓦在18291831年间完成的几篇论文中，建立了判别方程根式可解的充分必要条件，从而宣告了方程根式可解这一经历了三百年的难题的彻底解决代数方程的可解性与群的发现代数方程的可解性与群的发现l早期探索l不可解性的证明，阿贝尔l彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦l近代群理论的完善l返回 伽罗瓦（E.Galois 18111832）是法国巴黎附近一个小村镇长的儿子。一生只有短短的21年时光，却对世间留下许多宝贵的财富。伽罗瓦提出了群的概念，用群的理论彻底解决了高次方程根式可解性的问题伽罗瓦（伽罗瓦（E.Galois 18111832）代数方程的可解性与群的发现代数方程的可解性与群的发现l早期探索l不
5、可解性的证明，阿贝尔l彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦l近代群理论的完善l返回 他首先确定了一个方程根的置换群的子群，现在称为“伽罗瓦群”。如果令方程系数域为 ，方程的根域为 ，那么伽罗瓦群就是 在 上的自同构群。伽罗瓦证明，方程根式可解的充要条件是方程的伽罗瓦群是可解群FNNF 伽罗瓦发展了拉格朗日的置换理论，他更进一步提出了群的概念。用他所提出的群的概念，伽罗瓦彻底解决了方程根式可解性问题。代数方程的可解性与群的发现代数方程的可解性与群的发现l早期探索l不可解性的证明，阿贝尔l彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦l近代群理论的完善l返回 1870年，法国数学年，法国数学家家若尔当（若尔当（C.Jo
6、rdan 18381922）根据伽罗瓦的思想写一本大书根据伽罗瓦的思想写一本大书论置换与代数方程论置换与代数方程代数方程的可解性与群的发现代数方程的可解性与群的发现近代群理论的完善矩阵、四元数同一判别式的二次型类运动群无限变换群李群群的定义l早期探索l不可解性的证明，阿贝尔l彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦l近代群理论的完善l返回从四元数到超复数 复数与向量复数与向量 复数的推广复数的推广哈密尔顿与格拉斯曼哈密尔顿与格拉斯曼 超复数与向量超复数与向量从四元数到超复数从四元数到超复数l复数与向量l复数的推广哈密尔顿与格拉斯曼l超复数与向量l返回了合法地位的几何表示，使复数有为实数分别给出了复数冈和
7、高斯世纪初，韦塞尔、阿尔世纪末和),(1918babiaxy0CBAABC)()(,212121222111yyixxzziyxziyxz1z2z21zz 复数与向量复数与向量从四元数到超复数从四元数到超复数l复数与向量l复数的推广哈密尔顿与格拉斯曼l超复数与向量l返回 复数与向量能够很好的对应，人们开始用复数表示向量及其运算，用复数表示力、速度这类有大小和方向的量，这种方法带给人们很多便利复数相加向量求和平行四边形法则从四元数到超复数从四元数到超复数l复数与向量l复数的推广哈密尔顿与格拉斯曼l超复数与向量l返回 爱尔兰数学家哈密尔顿（William Rowan Hamilton 1805-1
8、865）在英国数学史上的地位仅次于牛顿。1843年10月16日哈密尔顿发现了“四元数”（Quaternion），“四元数”的发现是19世纪代数学方面继群概念后的一个最重要的发现从四元数到超复数从四元数到超复数l复数与向量l复数的推广哈密尔顿与格拉斯曼l超复数与向量l返回bia复数哈密尔顿首先把复数看成是有序实数偶哈密尔顿首先把复数看成是有序实数偶),(ba并且这种数偶有如下加法和乘法并且这种数偶有如下加法和乘法),(),(),(),(),(),(bcadbdacdcbadbcadcba哈密尔顿发现他要找的数应该具有四个分量，哈密尔顿发现他要找的数应该具有四个分量，他将其命名为四元数，形如：他将
9、其命名为四元数，形如：dkcjbiajikkiikjjkkjiijkjikjidcba,1,222满足为实数，且从四元数到超复数从四元数到超复数l复数与向量l复数的推广哈密尔顿与格拉斯曼l超复数与向量l返回 格拉斯曼格拉斯曼(H.G.Grassmann)德国数学家，语言学家德国数学家，语言学家，社会，社会活动家，与哈密尔顿活动家，与哈密尔顿(Hamilton)同时分别建立了超复数同时分别建立了超复数从四元数到超复数从四元数到超复数l复数与向量l复数的推广哈密尔顿与格拉斯曼l超复数与向量l返回1844，格拉斯曼出版了，格拉斯曼出版了线性扩张论线性扩张论第一个明白地解释了第一个明白地解释了“n维向
10、量空间维向量空间”“扩张的量扩张的量”n个分量的超复数个分量的超复数超复数的两个乘法超复数的两个乘法内积与外积内积与外积 211221133113322332332211332211332211)()()(0|,0|,1|3eebabaeebabaeebabaeeeebababajieeeeebebebeaeaeanijjijiii那么定义外积规则那么定义内积为规则时两个超复数考虑从四元数到超复数从四元数到超复数l复数与向量l复数的推广哈密尔顿与格拉斯曼l超复数与向量l返回 从格拉斯曼的定义中，我们可以知道超复数从格拉斯曼的定义中，我们可以知道超复数对于外积满足交换律，但是内积不满足交换律对于
11、外积满足交换律，但是内积不满足交换律 我们在我们在n=2时对内积和外积做一个直观了解时对内积和外积做一个直观了解cos|平行四边形Ssin从四元数到超复数从四元数到超复数l复数与向量l复数的推广哈密尔顿与格拉斯曼l超复数与向量l返回麦克斯韦对四元数的改造麦克斯韦对四元数的改造dkcjbiadkcjbi数量部分数量部分向量部分向量部分a从四元数到超复数从四元数到超复数l复数与向量l复数的推广哈密尔顿与格拉斯曼l超复数与向量l返回19世纪80年代美国数学物理学家吉布斯(J.W.Gibbs)英国数学物理学家亥维赛(O.Heaviside)三维向量代数和向量分析kcjbiav为向量的分量轴的单位向量沿
12、分别是，cbazyxkji,ijkv从四元数到超复数从四元数到超复数l复数与向量l复数的推广哈密尔顿与格拉斯曼l超复数与向量l返回”和叉乘“乘“向量也有两种乘法，点kbaabjaccaicbbcvvccbbaavvkcjbiavijkikjjikjkikijkjikkjjiijkkjikkiijjikkjjii)()()(,00,1对于布尔代数逻辑数学的发展逻辑数学的发展布尔布尔布尔代数布尔代数布尔代数布尔代数逻辑数学逻辑数学的发展的发展布尔布尔布尔代数布尔代数l返回逻辑数学化思想：逻辑数学化思想：建立一种推理的代数，通过符号的组合表达复杂的思想，用代数演算来完成正确的推理过程布尔代数布尔代数
13、逻辑数学逻辑数学的发展的发展布尔布尔布尔代数布尔代数l返回谓词的量化：谓词的量化：传统逻辑“主谓”形式的命题1全称肯定命题：所有X是Y；2全称否定命题：所有X不是Y；3特称肯定命题：有些X是Y；4特称否定命题：有些X不是Y。传统命题只有主词是被量化的，19世纪上半叶逻辑学家开始考虑谓词的量化，而谓词量化使 用等式处理命题成为可能布尔代数布尔代数逻辑数学逻辑数学的发展的发展布尔布尔布尔代数布尔代数l返回 布尔（BooleGeorge）英国数学家及逻辑学家。1815年生于法国撒雷旺村。1864年12月8日卒于爱尔兰的科克。布尔：布尔：布尔代数布尔代数逻辑数学逻辑数学的发展的发展布尔布尔布尔代数布尔
14、代数l返回布尔代数：布尔代数：逻辑的数学分析逻辑的数学分析 1847年思维规律研究思维规律研究 1854年布尔代数布尔代数逻辑数学逻辑数学的发展的发展布尔布尔布尔代数布尔代数l返回布尔代数：布尔代数：小写x、y、z表示类（集合）大写X，Y，X代表个体元素1表示全类或称论域0代表空类两个类x和y相加用x+y表示两个类x和y相乘用xy表示1-x代表那些所有不在x中的个体元素组成的类两个类相减x-yx包含y则可写成y=xy类类布尔代数布尔代数逻辑数学逻辑数学的发展的发展布尔布尔布尔代数布尔代数l返回布尔代数：布尔代数：命题命题l所有X是Yx(1-y)=0l所有X不是Yxy=0l有些X是Yxy0l有些
15、X不是Yx(1-y)0布尔代数布尔代数逻辑数学逻辑数学的发展的发展布尔布尔布尔代数布尔代数l返回布尔代数：布尔代数：原理原理1.xy=yx2.x+y=y+x3.x(y+z)=xy+xz4.X(y-z)=xy-xz5.如果x=y,则xz=yz6.如果x=y，则x+z=y+z7.如果x=y，则x-z=y-z8.x(1-x)=09.或者x=0，或者x=1布尔代数布尔代数逻辑数学逻辑数学的发展的发展布尔布尔布尔代数布尔代数l返回布尔代数：布尔代数：改进改进u 杰文斯（W.S.Jevons）去掉了相加的类必须是不相交的这一限制，使得x+x=x成为一个合法的逻辑规律u 皮尔斯（C.S.Peirce）区分了
16、命题和命题函数u 施罗德（F.W.K.E.Schroder）逻辑代数讲义（18901905）u 弗雷格（G.Frege）数学基础传统u 佩亚诺（G.Peano）、怀特黑德和罗素代数数论高斯高斯数论数论库默尔库默尔现代代数数的理论现代代数数的理论代数数论代数数论l高斯高斯l数论数论l库默尔库默尔l现代代数现代代数数的理论数的理论l返回高斯与高斯与数论数论:高斯（C.F.Gauss，17771855）C.F.Gauss 是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。他有数学王子的 美誉，并被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名 代数数论代数数论l高斯高斯l数论数论l库默
17、尔库默尔l现代代数现代代数数的理论数的理论l返回高斯与高斯与数论数论:算术研究同余理论 ab(modm)复整数理论 代数数论的开端型的理论数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展代数数论代数数论l高斯高斯l数论数论l库默尔库默尔l现代代数现代代数数的理论数的理论l返回高斯与高斯与数论数论:同余理论也称作同余式。么，)(mod记为是同余的，关于模和时就说那，|是整数，并且,如果 mbambambamba)(mod252 mx 如：，作同余方程同余式称特别的，包含未知数的代数数论代数数论l高斯高斯l数论数论l库默尔库默尔l现代代数现代代数数的理论数的理论l返回高斯与高斯与数论数论:二次非剩余
18、的二次非剩余是否则则的二次剩余，是如果它有解，就称,是素数，中,)(mod对于 2papapammax互质其同余方程二次互反律代数数论代数数论l高斯高斯l数论数论l库默尔库默尔l现代代数现代代数数的理论数的理论l返回高斯与高斯与数论数论:二次互反律三次互反律？四次互反律？代数数论代数数论l高斯高斯l数论数论l库默尔库默尔l现代代数现代代数数的理论数的理论l返回高斯与高斯与数论数论:复整数理论u复整数形如a+bi，其中a，b是整数的复数u复整数论中的可逆元素是1和iu复素数不能分解为除可逆元素及其本身以外的复整数的乘积的复整数u复整数算术基本定理u代数数论代数数论l高斯高斯l数论数论l库默尔库默
19、尔l现代代数现代代数数的理论数的理论l返回库默尔库默尔:库默尔（E.E.Kummer，18101893）德国人数学家。库默尔在数论、几何学、函数论、数学分析、方程论等方面都有较大的贡献，但最主要的是在函数论、数论和几何三个方面。代数数论代数数论l高斯高斯l数论数论l库默尔库默尔l现代代数现代代数数的理论数的理论l返回库默尔库默尔:费马大定理xp+yp=zp，p是奇素数xp=zpypxp=(zy)(zy)(zp-1y)p-1+p-2+1=0f()=a0+a1+ap-1p-1理想数代数数论代数数论l高斯高斯l数论数论l库默尔库默尔l现代代数现代代数数的理论数的理论l返回戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind，18311916）又译狄德金，伟大的德国数学家、理论家和教育家，近代抽象数学的先驱。据辞海，戴德金还是格丁根大学哲学博士、柏林科学院院士。现代代数数的理论现代代数数的理论:代数数论代数数论l高斯高斯l数论数论l库默尔库默尔l现代代数现代代数数的理论数的理论l返回现代代数数的理论现代代数数的理论:n次代数数如果一个数r是整系数代数方程 的根，但不是次数低于n的这种方程的根，就称它是一个n次代数数数域 如果a，F，则a+，a，a，a/(0)F,F为数域代数数类0,00110aaxaxannn
