1、1.一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？一元二次方程的根的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？一元二次方程的求根公式是什么？)0(02acbxaxacb42没有实数根有两个相等的实数根有两个不相等的实数根000)04(2422acbaacbbx4 4、求一个一元二次方程，使它的两个求一个一元二次方程，使它的两个 根分别为根分别为2 2和和3;3;-4-4和和7;7;3 3和和-8;-8;-5-5和和-2-2x2-5x+6=0 x2-3x-28=0(x-3)(x+8)=0 x2+5x-24=0(x+5)(x+2)=0(x+4
2、)(x-7)=0(x-2)(x-3)=0 x2+7x+10=0问题问题1 1：从求这些方程的过程中你发现根：从求这些方程的过程中你发现根 与各项系数之间有什么关系？与各项系数之间有什么关系？新课讲解新课讲解如果方程如果方程x2+px+q=0有两个根是有两个根是x1,x2 那么有那么有x1+x2=-p,x1 x2=q猜想猜想：2 2x x2 2-5x+3=0,-5x+3=0,这个方程的两根之和，这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？两根之积是与各项系数之间有什么关系？问题问题2 2；对于一元二次方程的一般式是否也；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？具备这个特征？x2=
3、1解得：解得：x1=23所以得到所以得到,x1+x2=25x1 x2=23填写下表：填写下表：方程方程两个根两个根两根两根之和之和两根两根之积之积a与与b之间之间关系关系a与与c之间之间关系关系1x2x21xx 21xx abac猜想：猜想：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根的两个根分别是分别是 、，那么，你可以发现什么结论？，那么，你可以发现什么结论？)0(02acbxax1x2x0432xx0652xx01322 xx23212123214656531213434已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、。abxx21acxx21)0(02acb
4、xax1x2x求证：求证：推导:aacbbaacbbxx24242221aacbbacbb24422ab22abaacbbaacbbxx2424222122244aacbb244aacac 如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、，那么：，那么：abxx21acxx21)0(02acbxax1x2x这就是一元二次方程一元二次方程根与系数的关系根与系数的关系，也叫，也叫韦达定理韦达定理。一元二次方程的一元二次方程的根与系数的关系根与系数的关系 16世纪法国最杰出的数学家韦达韦达发现 代数方程的根与系数之间有这种关系，因此,人们把这个关系称为韦达定理韦达定理。数学原本只是
5、韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父代数学之父”之称。0462 xx01522 xx522x05322 xx0732xx1.3.2.4.5.口答下列方程的两根之和与两根之积。口答下列方程的两根之和与两根之积。练习：练习：下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？013.12 xx 223.22 xx 032.32 xx xx214.42返回
6、12,xx2241 0 xx 2212xx121212,2xxxx222121212()2xxxxx x2122()2 5例例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程、利用根与系数的关系，求一元二次方程 两个根的；（两个根的；（1）平方和；（）平方和；（2）倒数和）倒数和01322xx解：设方程的两个根是解：设方程的两个根是x1 x2，那么那么 32123112413212232121,2321212122221212212121xxxxxxxxxxxxxxxx返回例例1.不解方程，求方程不解方程，求方程 的的两根的平方和、倒数和。两根的平方和、倒数和。（解法如上）（解法如上）01322 xx用
7、根与系数的关系，不解方程，用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值几种常见的求值2111.1xx2121xxxx)1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221.2xxxx212221xxxx 21212212)(xxxxxx21.4xx221)(xx 212214)(xxxx 求求与方程的根与方程的根有关的有关的代数式的值代数式的值时时,一般先将所求的代数式化成一般先将所求的代数式化成含两根之和含两根之和,两根之积两根之积的形式的形式,再再整体代入整体代入.例如例如：已知方程：已知方程 x22x1的两根为的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。不解方程，求下列各式的值。（1）（
8、）（x1x2）2 （2）x13x2x1x23 （3）212112xxxx1 1、如果、如果-1-1是方程是方程2X X2 2X+m=0X+m=0的一个根，则另的一个根，则另 一个根是一个根是_，m=_m=_。2 2、设设 X1、X2是方程是方程X X2 24X+1=04X+1=0的两个根，则的两个根，则 X1+X2=_ ,X1X2=_，X12+X22=(=(X1+X2)2-_ =_ (X1-X2)2=(_ )2-4X1X2=_ 3、判断正误：判断正误：以以2和和-3为根的方程是为根的方程是X X2 2X-6=0 X-6=0 （）4 4、已知两个数的和是已知两个数的和是1 1，积是，积是-2-2
9、，则这两个数是，则这两个数是 _ 。X1+X22X1X2-34114122和和-1基基础础练练习习（还有其他解法吗？）（还有其他解法吗？）23 例例2：已知方程已知方程 的一个根的一个根是是2，求它的另一个根及，求它的另一个根及k的值的值.解：设方程 的两个根 分别是 、，其中 。所以：即：由于 得：k=-7 答：方程的另一个根是 ，k=-70652kxx0652kxx1x2x21x562221xxx532x5)53(221kxx53练习练习：（1）若关于）若关于x的方程的方程2x25xn0的一个根是的一个根是2，求它的另一个根及，求它的另一个根及n的值。的值。（2）若关于）若关于x的方程的方
10、程x2kx60的一个根是的一个根是2，求它的另一个根及，求它的另一个根及k的值。的值。（4）、）、已知方程已知方程 的一个根是的一个根是 1，求它的另一个根和求它的另一个根和m的值。的值。01932mxx0932mxx例例3 3：已知方程的两个实数根已知方程的两个实数根 是是且且 求求k k的值。的值。解：由根与系数的关系得解：由根与系数的关系得 X X1 1+X+X2 2=-k=-k，X X1 1X X2 2=k+2=k+2 又又 X X1 12+X X2 2 2=4=4 即即(X X1 1+X X2 2)2-2-2X X1 1X X2 2=4=4 K K2 2-2(k+2-2(k+2）=4
11、=4 K K2 2-2k-8=0 -2k-8=0 =K K2 2-4k-8-4k-8当当k=4k=4时，时，0 0当当k=-2k=-2时，时，0 0 k=-2k=-2解得：解得：k=4 或或k=2022kkxx2,1xx42221 xx练习：练习：（1）已知方程已知方程 的的两根为两根为 、，且且 ，求，求k的值。的值。02)12(2kxkkx1x2x32221 xx 已知关于已知关于x的方程的方程x2+(2k+1)+k2-2=0 的两根的平方和比两根之积的的两根的平方和比两根之积的3倍少倍少 10，求，求k的值的值.例例4 4：方程方程 有一个正根，一个负根，求有一个正根，一个负根，求mm的
12、取值范围。的取值范围。解解:由已知由已知,0)1(442mmm=0121mmxx即即m0m-100m1)0(0122mmmxmx总结总结规律：规律：两根均为负的条件：X1+X2 且且X1X2 。两根均为正的条件：X1+X2 且且X1X2 。两根一正一负的条件：X1+X2 且且X1X2 。当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac0 。即：一正根，一负根一正根，一负根0X1X20两个正根两个正根0X1X20X1+X20两个负根两个负根0X1X20X1+X20练习：练习：方程方程x2(m 1)x 2m 1 0求求m满足什么条件满足什么条件时时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数
13、？方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？方程的一根为零？解:(m1)24(2m1)m26m5两根互为相反数 两根之和m10,m1,且0 m1时,方程的两根互为相反数.两根互为倒数 m26m5,两根之积2m11 m1且0,m1时,方程的两根互为倒数.方程一根为0,两根之积2m10 且0,时,方程有一根为零.21m21m引申:1、若ax2bxc0(a0 0)（1）若两根互为相反数,则b0;（2）若两根互为倒数,则ac;（3）若一根为0,则c0;（4）若一根为1,则abc0;（5）若一根为1,则abc0;（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.2.应用一元二次方程的根与系数关系
14、时，首先要把已知方程化成一般形式.3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当 时，才能应用根与系数的关系.1.一元二次方程根与系数的关系是什么?042 acb以以 为两根的一元二次方程为两根的一元二次方程(二次项系数为二次项系数为1)为为:0)(21212xxxxxx2,1xx4、已知两根求作新的方程已知两根求作新的方程 请同学们在课后通过以下几道题检测请同学们在课后通过以下几道题检测自己对本节知识的掌握情况自己对本节知识的掌握情况：P36 第第6 6题题 P38 第第1111、1212题题 本堂课结束了，望同学本堂课结束了，望同学们勤于思考，学有所获。们勤于思考，学有所获。Goodbye!Goodbye!See you next time!See you next time!
