1、在此输入您的封面副标题2020高中数学竞赛辅导课件（联赛版）基础微积分2022-11-2922022-11-293第十六讲第十六讲 二、二、第一型曲面积分第一型曲面积分一、曲面面积的计算一、曲面面积的计算第一型曲面积分第一型曲面积分2022-11-294（一一）曲曲面面面面积积的的计计算算的的面面积积？问问题题：什什麽麽叫叫曲曲面面 S:S设设2),(),(),(),(RDvuvuzzvuyyvuxx 1),(),(),(Cvuzvuyvux,),(Tuuzuyuxr Tvvzvyvxr),(0 vurr一、第一型曲面积分一、第一型曲面积分2022-11-295xyzoDSiS niiSS10
2、lim 以平代曲以平代曲M2022-11-296uvouuu vvv DxyzMS o2M1M3MP1P3P2P21vvS uuzuyuxvT ),(1vvzvyvxvT ),(21v2v2022-11-297vuvzvyvxuzuyuxkjivv 21记记作作vuCBAT ),(vuvuyxvuxzvuzyT ),(),(det,),(),(det,),(),(det2022-11-298vuCBAvvS 22221于于是是 DjijivuniidudvCBAvuCBASSji222,),(222010limlim dudvCBAdS222 曲曲面面微微分分元元2022-11-299的的方方
3、程程为为若若曲曲面面 S),(yxfz Dyxyxfzyyxx ),(),(),(),(),(detyxfyxzyAx ),(),(),(detyxfyxxzBy 1),(),(det yxyxCdxdyffdSyx221 2022-11-2910 xyzo解解1A的的面面积积第第一一挂挂限限只只需需计计算算由由对对称称性性222yxaz cosar 1DAaxyxyxaz面面积积所所截截部部分分的的圆圆柱柱面面被被求求上上半半球球面面例例 2222212022-11-2911,222yxaxzx 222yxayzy 于于是是有有 1221122DyxdzzAA 122212Ddyxaa co
4、s0222012ardrrada)2(2 a2022-11-2912的的球球面面面面积积半半径径为为容容易易计计算算得得到到：R DdyxRRA 22212202220412RrdrrRdRR 2022-11-2913所所截截取取部部分分的的面面积积被被球球面面求求圆圆柱柱面面例例2222222azyxaxyx 1解解法法xyzo222yxaz L taytaxLsin2)cos1(2:)0(tdtadttytxdl2)()(22 LdlzAA441 Ldlyxa2224dtta 02)cos1(220242sin2adtta 2022-11-2914解法解法2将柱面投影到将柱面投影到xoz面
5、上面上 xzDzxdyyAA 221144xzxzDaxaz 2求求出出由由柱柱面面方方程程,22axyx 2,22xaxyyxayx 其其中中,0 zy202204)(4)2(142adzxaxxadxaxaa xzDdyxa 2)22(142022-11-2915.),(,mSMMSS的的质质量量求求处处的的面面密密度度为为上上的的点点在在曲曲面面假假设设有有一一不不均均匀匀的的金金属属例例 解解小小块块任任意意分分成成将将分分割割nS:SiMiiiSMm )(:近近似似 niiiniiSMmm11)(:求求和和 niiiSMm10)(lim:取取极极限限iS（二）第一型曲面积分（二）第一
6、型曲面积分1.定义定义2022-11-2916作作和和式式上上任任取取一一点点在在面面积积都都记记作作各各小小块块及及其其小小块块任任意意分分成成将将有有定定义义上上在在分分片片光光滑滑的的曲曲面面设设函函数数第第一一型型曲曲面面积积分分定定义义),(,.),()(:1iiiiinMSSSnSSzyxf niiiiiSf1),(.,),(lim10的的第第一一型型曲曲面面积积分分沿沿曲曲面面极极限限值值为为函函数数则则称称此此存存在在如如果果极极限限SfSfniiiii niiiiiSSfdSzyxf10),(lim),(记记作作曲面微分元曲面微分元(dS0)2022-11-2917.存存在在
7、性性条条件件质质和和型型曲曲线线积积分分有有类类似似的的性性第第一一型型曲曲面面积积分分与与第第一一2022-11-2918?),(SdSzyxf基本方法是基本方法是化为二重积分化为二重积分（二）第一型曲面积分的计算（二）第一型曲面积分的计算的的方方程程为为设设曲曲面面 S)1(Dyxyxzz ),(),(平平面面上上的的投投影影区区域域在在为为其其中中xySD DyxSdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,(),(曲曲面面微微分分元元dxdyzzdSyx221 2022-11-2919的的参参数数方方程程为为设设曲曲面面 S)2(*),(),(),(),(Dvuvuzzvuyyv
8、uxx dudvCBAdS222 曲曲面面微微分分元元为为 SdSzyxf),(*222),(),(),(DdudvCBAvuzvuyvuxf其其中中),(),(det,),(),(det,),(),(detvuyxCvuxzBvuzyA 2022-11-2920计计算算曲曲面面积积分分例例 1 SdSzyxI)(222yxRzS 为为上上半半球球面面其其中中解解由由积积分分的的线线性性性性质质知知 SSSzdSydSxdSI,222yxRxzx 222yxRyzy dxdyyxRRdxdyzzdSyx222221 2022-11-2921 DSdxdyyxRRyxRzdSI2222223Rd
9、xdyRD 故故有有是是奇奇函函数数关关于于平平面面对对称称关关于于由由于于,),(,xxzyxfyozS 0,SydS有有同同理理.0 SxdS2022-11-2922为为整整个个球球面面思思考考题题：若若S2222Rzyx?)(SdSzyx问问：02022-11-2923转转动动惯惯量量径径的的的的均均匀匀球球面面对对其其一一条条直直求求半半径径为为例例R2解解)(常常数数面面密密度度为为 则则有有轴轴为为即即旋旋转转轴轴其其一一条条直直径径取取球球心心位位于于坐坐标标原原点点,)(,z SdSyxJ)(22 上上SdSyx)(222 DdxdyyxRyxR22222)(2 2002232
10、RdrrRrdR 2034sin4 tdtR438R 2022-11-2924计计算算曲曲面面积积分分例例 3 SdSzyxI)(222)0(2222 RRzzyxS为为球球面面其其中中解解的的参参数数方方程程为为球球面面 S cossinsincossinRRzRyRx)20,0(计计算算得得 ddRdSsin2 SSRzdSdSzyxI2)(22248 R 02220sin)cos1(2dRRd球面坐标系下球面坐标系下2022-11-2925计计算算曲曲面面积积分分例例 4 SrdSI2.,0222距距离离上上的的点点到到原原点点的的为为之之间间的的部部分分及及界界于于为为圆圆柱柱面面其其
11、中中SrHzzRyxS xHozyMr解解22222zRzyxr dSzRrdSISS 2221怎样计算这个曲面积分？怎样计算这个曲面积分？2022-11-2926圆圆柱柱面面的的参参数数方方程程为为 zzRyRx sincos)0,20(Hz dzRddS dSzRIS 221 HRdzzRd022201 HdzzRR02212 HzzRzRR 0arctan12 RHarctan2 柱面坐标系下柱面坐标系下2022-11-2927各种积分的统一概念各种积分的统一概念 前面所讨论的几种积分（重积分、前面所讨论的几种积分（重积分、第一型曲线积分、第一型曲面积分）第一型曲线积分、第一型曲面积分）构造思想雷同，可以统一的理解为：构造思想雷同，可以统一的理解为：函数函数f(P)在几何形体在几何形体上对量度的上对量度的积分，积分，记作记作 dPf)()0(d2022-11-2928 DdyxfdPfRD ),()(,)1(2 VdVzyxfdPfRV),()(,)2(3 LdlzyxfdPfRL),()(,)3(3 SdSzyxfdPfRS),()(,)4(3
