1、2020高中数学竞赛基础微积分(联赛版)20高斯公式与斯托克斯公式课件(共27张PPT)2020高中数学竞赛辅导课件（联赛版）基础微积分2022-11-2922022-11-293第二十讲第二十讲二、斯托克斯公式二、斯托克斯公式一、高斯公式一、高斯公式2022-11-294kzyxZjzyxYizyxXv),(),(),(则则有有上上连连续续在在内内连连续续可可微微在在,S 若若向向量量场场片片光光滑滑有有向向曲曲面面是是分分其其边边界界为为空空间间有有界界闭闭域域：设设定定理理.,1S 外外SdyZdxdxYdzdzXdy dVzZyYxX)(一、高斯公式一、高斯公式(Gauss)(Gaus
2、s)2022-11-295或或 dVvSdvS外外空间闭曲面上的第二型曲面积分与闭空间闭曲面上的第二型曲面积分与闭曲面所围空间区域上的三重积分之间曲面所围空间区域上的三重积分之间的联系的联系高斯公式揭示了：高斯公式揭示了：外外SdyZdxdxYdzdzXdy dVzZyYxX)(高斯公式高斯公式2022-11-296证证先证明第三项先证明第三项 dVzZdyZdxS外外 dVzZ xyDdxdyyxzyxZ),(,2)1(),(,1 xyDdxdyyxzyxZxoyz ),(),(21yxzyxzDdzzZdxdyxyxyD),(:11yxzzS),(:22yxzzS nnn3S假设假设如图所
3、示如图所示2022-11-297另一方面另一方面,曲面积分曲面积分 外外SdyZdx 321SSSdyZdxdyZdxdyZdx xyDdxdyyxzyxZ),(,2)2(),(,1 xyDdxdyyxzyxZ可可以以得得到到式式式式与与比比较较,)2()1(dVzZdyZdxS,dVxXdzXdyS dVyYdxYdzS同理可证同理可证03 SdydxZ注注意意便便可可得得高高斯斯公公式式将将以以上上三三式式相相加加,2022-11-298计计算算积积分分例例 1 Sdyzdxdxydzdzxdy的的上上侧侧部部分分的的是是旋旋转转抛抛物物面面0122 zyxzSn解法解法1xyzo Sdy
4、zdxdxydzdzxdy,),(Tzyxv Tyxyxn)1,2,2(144122 SdSnv dyxdS22441 Ddyx)1(22 10220)1(rdrrd 23D2022-11-299n解法解法2:1S补补上上底底面面1nxyzo Sdyzdxdxydzdzxdy 11SSS01 S0 z0 dzdy0 dxdz1S1,022 yxz利用利用Gauss公式公式221:yxzS :1S2022-11-2910 xyDyxdzdxdy22103 12222)1(3yxdxdyyx 10220)1(3rdrrd 23 应用高斯公式得到应用高斯公式得到 dV3 Sdyzdxdxydzdzx
5、dyxyzo221yxz 1:22 yxDxy2022-11-2911计计算算积积分分例例 2 Sdydxzdxdzydzdyx222的的外外侧侧解解是是球球面面S2222)()()(Rczbyax 设该球面所围空间区域为设该球面所围空间区域为 ,由高斯公式由高斯公式 Sdydxzdxdzydzdyx222 dVzyx)(2作平移变换作平移变换 czwbyvaxu即即 cwzbvyaux2022-11-2912ozyx),(cba2222)()()(Rczbyax uowv czwbyvaxu2222Rwvu 2022-11-2913雅可比行列式雅可比行列式1100010001),(),(de
6、t wvuzyxJ由换元公式得由换元公式得 dudvdwcbawvudVzyx1)(2)(2334)(2Rcba 利用对称性得到利用对称性得到0)(dudvdwwvu2022-11-2914特特别别zZyYxX ,对对于于的的体体积积计计算算公公式式空空间间区区域域所所包包围围的的可可以以得得到到利利用用高高斯斯公公式式 S,dVzzyyxxdVV)(311 SdyzdxdxydzdzxdyV312022-11-2915则则有有有有向向曲曲线线为为分分段段光光滑滑其其边边界界的的分分片片光光滑滑有有向向曲曲面面内内是是区区域域上上的的连连续续可可微微向向量量场场是是区区域域设设,),(),()
7、,(SSkzyxZjzyxYizyxXv 二、斯托克斯公式二、斯托克斯公式(Stokes)(Stokes)定理定理(Stokes):SSdxdzxZzXdzdyzYyZZdzYdyXdx)()(dydxyXxY)(2022-11-2916 SSdSnvl dv或或LnS组组成成右右手手系系的的单单位位法法线线向向量量的的方方向向与与曲曲面面积积分分路路径径nSL2022-11-2917空间曲面上的第二型曲面积空间曲面上的第二型曲面积分与曲面边界上的第二型曲分与曲面边界上的第二型曲线积分之间的联系线积分之间的联系斯托克斯公式揭示了：斯托克斯公式揭示了：SSdSnvl dv2022-11-2918
8、证证 SSdxdzxZdzdyyZZdz只只证证假设：假设：上上侧侧二二阶阶偏偏导导连连续续,),(:yxzzS TTyxyxzzzznS)cos,cos,(cos)1,(1122 的的单单位位法法向向量量xyDLLxoyS所所围围区区域域是是平平面面上上的的投投影影为为在在 ,2022-11-2919 上上SdSxZdSyZcoscos 上上SdSxZyZcos)coscoscoscos(上上SdydxxZyZ)coscoscoscos()1()()(xyDyxdxdyzxZzyZ SdxdzxZdzdyyZTTyxyxzzzzn)cos,cos,(cos)1,(1122 2022-11-2
9、920 LyxSdyzdxzyxzyxZZdz)(,(,(dzZzZyxDxyxy)()(由格林公式由格林公式)2()(dxdyzZzZxyyDxxy 可可得得比比较较)2(),1(SSdxdzxZdzdyyZZdz公公式式公公式式即即为为平平面面上上的的平平面面域域时时为为当当曲曲面面GreenStokesxoyS,2022-11-2921确确性性验验证证斯斯托托克克斯斯公公式式的的正正从从而而曲曲线线积积分分应应用用三三种种方方法法计计算算下下列列例例,1.,ABCA方方向向为为的的三三角角形形的的边边界界为为顶顶点点是是以以其其中中)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(CBALo
10、zyxACBL Lydzxdyzdx解解(1)应用斯托克斯公式应用斯托克斯公式SABC所所在在平平面面为为取取三三角角形形1:zyxS其其单单位位法法线线向向量量为为kjin313131 n2022-11-2922到到于于是是由由斯斯托托克克斯斯公公式式得得 SLdxdzxyzzdzdyzxyyydzxdyzdx)()(dydxyzxx)(Sdydxdxdzdzdy SdS)313131(SdS323 kjin313131 2022-11-2923(2)化为定积分计算化为定积分计算)10(0,1:yzyyyxAB)10(,1,0:zzzzyxBC)10(1,0,:xxzyxxCAozyxACB
11、Ln CABCABLydzxdyzdx AB323)1(310 dyy2022-11-2924(3)化为平面曲线的二型曲线积分化为平面曲线的二型曲线积分 LLdydxyxdydxyxydzxdyzdx)()1(上上的的投投影影曲曲线线面面在在为为xoyLL dyyxdxyxL )()21(xyDd)21(23 ozyxACBLn2022-11-2925利利用用斯斯托托克克斯斯公公式式计计算算例例 2 LyzdzxydydxzI2.,22222下下侧侧组组成成右右手手系系其其方方向向与与上上半半球球面面的的的的交交线线与与柱柱面面为为上上半半球球面面其其中中ayyxyxazL ozyxn解解柱柱
12、面面截截下下的的部部分分为为上上半半球球面面被被取取S222:yxazS L2022-11-2926 SdSyzz)coscos2cos(由由斯斯托托克克斯斯公公式式得得到到 Sdyydxdxzdzdzzdy222222211cos1cos,1cosyxyxyyxxzzzzzzzz LyzdzxydydxzI22022-11-2927ozyxnLxyDdxdyzzdSyx221 故故 xyDyxdxdyyzzzzI)1(2,222yxaxzx 222yxayzy xyDyxaxyxaI2222222222222yxayyxa dxdyy 2022-11-2928 xyDdxdyyxI)3(sin00)sin3cos(ardrrrd drasin0033)sin3(cos )sinsincos31(00433 dda )sin20(2043 da383a ozyxnLxyD
