1、五年级下册数学奥数较复杂的容斥原理人教版较复杂的容斥原理第11讲 例例1 1：一次期末考试，某班有：一次期末考试，某班有1515人数学得满分，有人数学得满分，有1212人语文人语文得满分，并且有得满分，并且有4 4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？满分的同学有多少人？方法一：方法一：15人人12人人4人人4人人数学得满分数学得满分语文得满分语文得满分语、数都是满分语、数都是满分15-4=11(15-4=11(人人)12-4=8(12-4=8(人人)11+8+4=23(11+8+4=23(人人)答答：至少有一门得满分的同学：至少有
2、一门得满分的同学有有2323人人。11人人 8人人15人人方法二：方法二：12人人4人人11人人 15-4=11(15-4=11(人人)11+12=23(11+12=23(人人)答答：至少有一门得满分的同学：至少有一门得满分的同学有有2323人人。数学得满分数学得满分语文得满分语文得满分方法三：方法三：数学得满分数学得满分1515人人语文得满分语文得满分1212人人4人人语、数都是满分语、数都是满分15+12-4=23(15+12-4=23(人人)答答：至少有一门得满分的同学：至少有一门得满分的同学有有2323人人。容斥原理（一）容斥原理（一）如果被计数的事物有如果被计数的事物有A、B两类，那
3、么：两类，那么：A类或类或B类元素个数类元素个数=A类元素个数类元素个数+B类元素个数类元素个数既是既是A类又是类又是B类的元素个数。类的元素个数。简单记做：简单记做：A或或B总和总和 ABA又又B。学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有2424人，会弹电子琴的有人，会弹电子琴的有1717人，其中两种乐器都会演奏的有人，其中两种乐器都会演奏的有8 8人，人，这个文艺组一共多少人？这个文艺组一共多少人？24+17-8=3324+17-8=33（人）（人）答：这个文艺组一共有答：这个文艺组一共有3333人。人。例例2 2：榆树园小学
4、五（：榆树园小学五（1 1）班许多同学参加了学习小组，已）班许多同学参加了学习小组，已知参加语文学习小组的有知参加语文学习小组的有3535人，参加数学小组的的有人，参加数学小组的的有3232人，参人，参加英语小组的有加英语小组的有4545人，同时参加语文和数学小组的有人，同时参加语文和数学小组的有1010人，同人，同时参加语文和英语小组的有时参加语文和英语小组的有1212人，同时参加数学和英语小组的人，同时参加数学和英语小组的有有1515人，三个学习小组都参加的有人，三个学习小组都参加的有5 5人。问这个班一共有多少人。问这个班一共有多少学生参加了学习小组？学生参加了学习小组？语文语文3535
5、人人4545人人英语英语数学数学3232人人1010人人1212人人1515人人5 5人人或或CA或或B AB A又又BA或或B AB ABCACBCABC 答答：这个班一共有：这个班一共有8080名学生参加了学习小组。名学生参加了学习小组。参加人数参加人数3532451210155容斥原理（二）容斥原理（二）A或或B或或C总和总和 ABCA又又BA又又CB又又CA又又B又又C。如果被计数的事物有如果被计数的事物有A、B、C三类，那么：三类，那么：A A类或类或B B类或类或C C类元素个数类元素个数=A=A类元素个数类元素个数+B+B类类元素个数元素个数+C+C类元素个数类元素个数-既是既是
6、A A类又是类又是B B类的元类的元素个数素个数-既是既是A A类又是类又是C C类的元素个数类的元素个数-既是既是B B类类又是又是C C类的元素个数类的元素个数+既是既是A A类又是类又是B B类而且是类而且是C C类的元素个数。类的元素个数。简单记做：简单记做：五年级学生在一次春游中每个人都带了饮料，其中有五年级学生在一次春游中每个人都带了饮料，其中有5151人带人带了汽水，有了汽水，有4848人带了可乐，有人带了可乐，有3232人带了果汁，有人带了果汁，有1616人带了汽水、人带了汽水、可乐两种饮料，有可乐两种饮料，有1111人带了可乐、果汁两种饮料，有人带了可乐、果汁两种饮料，有13
7、13人带了汽人带了汽水、果汁两种饮料，另外还有水、果汁两种饮料，另外还有7 7人带了汽水、可乐和果汁三种饮人带了汽水、可乐和果汁三种饮料。问五年级的学生有多少人？料。问五年级的学生有多少人？51+48+32-16-11-13+7=9851+48+32-16-11-13+7=98（人）（人）答：五年级的学生有答：五年级的学生有9898人。人。例例3 3：六（：六（1 1）班有学生）班有学生4444人，每人在暑假里都参加体人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有育训练队，其中参加足球队的有2525人，参加排球队的有人，参加排球队的有2222人，参加游泳队的有人，参加游泳队的有3434人
8、，足球、排球都参加的有人，足球、排球都参加的有1212人，人，足球、游泳都参加的有足球、游泳都参加的有1818人，排球、游泳都参加的有人，排球、游泳都参加的有1414人。人。三项都参加的有多少人？三项都参加的有多少人？A A或或B B或或C CA AB BC CABABACACBCBCABCABC44442525 2222 343418181414？121225+22+34-12-18-14=3725+22+34-12-18-14=37（人）（人）答：三项都参加的有答：三项都参加的有7 7人。人。44-37=744-37=7（人）（人）某年级的课外兴趣小组共有某年级的课外兴趣小组共有5454人
9、，分数学、语文、外语三个人，分数学、语文、外语三个小组，参加数学兴趣小组的有小组，参加数学兴趣小组的有2323人，参加语文兴趣小组的有人，参加语文兴趣小组的有2727人，人，参加外语兴趣小组的有参加外语兴趣小组的有1818人；其中同时参加数学、外语两个兴趣人；其中同时参加数学、外语两个兴趣小组的有小组的有7 7人；同时参加语文、数学兴趣小组的有人；同时参加语文、数学兴趣小组的有4 4人；同时参加人；同时参加语文、外语兴趣小组的有语文、外语兴趣小组的有5 5人。其中三个小组都参加的有多少人？人。其中三个小组都参加的有多少人？54-54-（23+27+18-7-4-523+27+18-7-4-5）
10、=2=2（人）（人）答：其中三个小组都参加的有答：其中三个小组都参加的有2 2人。人。例例4 4：某班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目：某班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有的测试后，有4 4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：下表：短短跑跑 游游泳泳投投掷掷短跑短跑游泳游泳短跑短跑投掷投掷游泳游泳投掷投掷 短跑、短跑、游泳、投掷游泳、投掷1717181815156 66 65 5求这个班的学生共有多少人？求
11、这个班的学生共有多少人？达到了优秀的学生：达到了优秀的学生：17+18+15-6-6-5+2=35(17+18+15-6-6-5+2=35(人人)全班的学生：全班的学生：35+4=39(35+4=39(人人)答：这个班的学生共有答：这个班的学生共有3939人。人。A A或或B B或或C CA AB BC CABABACACBCBCABCABC？1717 1818 15156 65 56 6短短跑跑 游游泳泳投投掷掷短跑短跑游泳游泳短跑短跑投掷投掷游泳游泳投掷投掷 短跑、短跑、游泳、投掷游泳、投掷1717181815156 66 65 52 2 六年级六年级100100名学生中，名学生中，151
12、5人既不会骑自行车也不会游泳，有人既不会骑自行车也不会游泳，有6262人会骑自行车，人会骑自行车，7575人会游泳。既会自行车又会游泳的有多少人？人会游泳。既会自行车又会游泳的有多少人？62+75-62+75-（100-15100-15）=52=52（人）（人）答：答：既会自行车又会游泳的有既会自行车又会游泳的有5252人人。例例5 5：如图，边长分别为：如图，边长分别为1010厘米、厘米、8 8厘米和厘米和4 4厘米的三块正厘米的三块正方形纸片放在桌面上，它们盖住的面积是多少平方厘米？方形纸片放在桌面上，它们盖住的面积是多少平方厘米？A A：101010=10010=100cmcm2 2B
13、B：8 88=648=64cmcm2 2100+64+16-25-8-8+4100+64+16-25-8-8+4143143cmcm2 2答：它们盖住的面积是答：它们盖住的面积是143143平方厘米。平方厘米。C C：4 44=164=16cmcm2 2ABAB：5 55=255=25cmcm2 2ACAC：4 42=82=8cmcm2 2BCBC：4 42=82=8cmcm2 2ABCABC：2 22=42=4cmcm2 2 在一个边长为在一个边长为9090厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为2020厘米和厘米和4545厘米的正方形纸，如图。桌面上没被
14、纸片盖住的面积厘米的正方形纸，如图。桌面上没被纸片盖住的面积是多少？是多少？454545+2045+2020-1520-1510=10=22752275（平方厘米）（平方厘米）答：答：桌面上没被纸片盖住的面积是桌面上没被纸片盖住的面积是58255825平方厘米平方厘米。909090-90-22752275=5825=5825（平方厘米）（平方厘米）1 1、容斥原理（一）、容斥原理（一）A A类或类或B B类元素个数类元素个数=A=AB BA A又又B B2 2、容斥原理（二）、容斥原理（二）A A类或类或B B类或类或C C类元素个数类元素个数A AB BC CA A又又B BA A又又C CB B又又C CA A又又B B又又C C
