1、第7节分式方程人民教育出版社 八年级|上册 第十五章 分式学习目标1.掌握解分式方程的基本思路和解法.（重点）2.理解分式方程时可能无解的原因.（难点）3.理解数量关系正确列出分式方程.（难点）4.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题.（重点）问题引入一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等.设江水的流速为x千米/时，根据题意可列方程 .906030+30 xx这个方程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什么区别？分式方程的概念一906030+30 xx知识要点13(2)2xx2(
2、1)23xx3(3)2xx(1)(4)1x xx105126xx）（215xx）（2131xxx437xy 判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？方法总结:判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：不是未知数)你能试着解这个分式方程吗？（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？（4）这样做的依据是什么？（1）如何把它转化为整式方程呢？906030+30 xx分式方程的解法二方程各分母最简公分母是：（30+x）(30-x)90（30-x)=60(30+x)，906030+30 xx解得 x=6.52 解分式方程的基本思路：是将分式
3、方程化为整式方程，具体做法是“去分母”即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.归纳下面我们再讨论一个分式方程：2110525xx解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得x+5=10，解得 x=5.2110525xx想一想：上面两个分式方程中，为什么去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？906030+30 xx2110525xx 我们再来观察去分母的过程:90(30-x)=60(30+x)两边同乘(30+x)(30-x)当x=6时,(30+x)(30-x)0906030+30 xxx+5=10两边同乘(x+5)(x-5)当x
4、=5时,(x+5)(x-5)=02110525xx怎样检验？这个整式方程的解是不是原分式的解呢？u分式方程解的检验-必不可少的步骤u检验方法：u 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.2.解这个整式方程.3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去。4.写出原方程的根.简记为：“一化二解三检验”.知识要点“去分母法”解分式方程的步骤典例精析例1 解方程23.3xx解：方程两边乘x(x-3),得2x=
5、3x-9.解得 x=9.检验：当x=9时，x(x-3)0.所以，原分式方程的解为x=9.例2 解方程31.1(1)(2)xxxx解：方程两边乘(x-1)(x+2),得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.解得 x=1.检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0,因此x=1不是原分式方程的解.所以，原分式方程无解.u用框图的方式总结为：分式方程 整式方程 去分母 解整式方程 x=a 检验 x=a是分式 方程的解 x=a不是分式 方程的解 x=a最简公分母是 否为零？否是例3 关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是_解析：去分母得2xax1，解得xa1，关于x的方程 的解是正数，x0且x1，
6、a10且a11，解得a1且a2，a的取值范围是a1且a2.方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.a1且a2若关于x的分式方程 无解，求m的值例4 解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根解：方程两边都乘以(x2)(x2)得2(x2)mx3(x2)，即(m1)x10.当m10时，此方程无解，此时m1；方程有增根，则x2或x2，当x2时，代入(m1)x10得(m1)210，m4；当x2时，代入(m1)x10得(m1)(2)10，解得m6，m的值是1，4或6.方法总结：分式方程无解
7、与分式方程有增根所表达的意义是不一样的分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数分式方程定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程注意(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘步骤（去分母法）一化（分式方程转化为整式方程）；二解（整式方程）；三检验（代入最简公分母看是否为零）(2)约去分母后，分子是多项式时,没有添括号(因分数线有括号的作用）(3)忘记检验问题引入1.解分式方程的基本思路是什么？2.解分式方程有哪几个步骤？3.验根有哪几种方法？分式方程整式方程 转化去分母一化二解三检验 有两种方法：第一种是代
8、入最简公分母；第二种代入原分式方程.通常使用第一种方法.4.我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？u基本上有4种：（1）行程问题：路程=速度时间以及它的两个变式；（2）数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法；（3）工程问题：工作量=工时工效以及它的两个变式；（4）利润问题：批发成本=批发数量批发价；批发数量=批发成本批发价；打折销售价=定价折数；销售利润=销售收入一批发成本；每本销售利润=定价一批发价；每本打折销售利润=打折销售价一批发价，利润率=利润进价。列分式方程解决工程问题三例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增
9、加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？u表格法分析如下：工作时间（月）工作效率工作总量（1）甲队乙队1213121x12x32u等量关系：甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”设乙单独完成这项工程需要x天.解：设乙单独 完成这项工程需要x个月.记工作总量为1，甲的工作效率是 ，根据题意得13111 1(1)1,322x 即111.22x方程两边都乘以6x,得33 6.xx 解得 x=1.检验：当x=1时，6x0.所以，原分式方程的解为x=1.由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快.想
10、一想：本题的等量关系还可以怎么找？甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1”此时表格怎么列，方程又怎么列呢？工作时间（月）工作效率工作总量（1）甲单独两队合作12设乙单独 完成这项工程需要x天.则乙队的工作效率是 甲队的工作效率是 ，合作的工作效率是 .1x1311()3x此时方程是：111()3x1311111()1323x表格为“3行4列”工程问题1.题中有“单独”字眼通常可知工作效率；2.通常间接设元，如 单独完成需 x（单位时间），则可表示出其工作效率；4.解题方法：可概括为“321”，即3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量；2指该类问题中的“两个
11、主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和=全部工作总量.3.弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”.抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？解析：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x3)小时，根据等量关系“甲工效2乙工效甲队单独完成需要时间1”列方程做一做解：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x
12、3)小时由题意得.解得x6.经检验x6是方程的解x39.答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系例2 朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车车紧随其后，他们同时出发，当面包车车行驶了200公里时，发现小轿车车只行驶了180公里，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h,请问面包车，小轿车的速度分别为多少km/h？0180200列分式方程解决行程问题四路程速度时间面包车小轿车200180 x+10 x10200 xx180分析：设小轿车的速度为x千米/小时面包车的时间=小轿
13、车的时间等量关系：u列表格如下：解：设小轿车的速度为x千米/小时，则面包车速度为x+10千米/小时，依题意得解得x90经检验，x90是原方程的解，且x=90，x+10=100，符合题意.答：面包车的速度为100千米/小时，小轿车的速度为90千米/小时.注意两次检验:(1)是否是所列方程的解;(2)是否满足实际意义.10200180 xx做一做1.小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在300公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？0180200300解：设小轿车提速为x千米/小时，依题意得10012
14、010090 x解得x30经检验，x30是原方程的解，且x=30，符合题意.答：小轿车提速为30千米/小时.2.两车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在s公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？0180200S路程 速度时间面包车小轿车s-200s-180100100200s90180 xs90+x解：设小轿车提速为x千米/小时，依题意得90180100200 xss解得x20010ss满足题意。是原方程的解，且经检验2001020010:ssxssx./20010hkmss答：小轿车的提速为3.小轿
15、车平均提速vkm/h,用相同的时间，小轿车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km,提速前小轿车车的平均速度为多少km/h？0SS+50路程速度时间提速前提速后ss+50vvsxvs 50 x+v解：设小轿车提速为x千米/小时，依题意得vxsvs5050,050,svxvxxsvxvs为所以，原分式方程的解时，都是正数，得检验：由./50hkmsv答：小轿车的提速为5050,svxxxvxsvxx解得得方程两边乘以知识要点行程问题1.注意关键词“提速”与“提速到”的区别；2.明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来；3.行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程.u列分
16、式方程解应用题的一般步骤1.审:清题意，并设未知数；2.找:相等关系；3.列:出方程；4.解:这个分式方程；5.验:根（包括两方面:(1)是否是分式方程的根；(2)是否符合题意）；6.写:答案.例3 佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果(1)求第一次水果的进价是每千克多少元？解析：根据第二次购买水果数多20千克，可得出方程，解出即可
17、得出答案；解：(1)设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，根据题意得，解得x6.经检验，x6是原方程的解答：第一次水果的进价为每千克6元14521200201.1xx(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？解析：(2)先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量(实际售价当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了(2)第一次购买水果12006200(千克)第二次购买水果20020220(千克)第一次赚钱为200(86)400(元)，第二次赚钱为100(96.6)120(90.56.6)12(元)所以两次共赚钱40012388(元)例3.
18、一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/小时，求轮船在静水中的速度.x=18（不合题意，舍去），解：设船在静水中的速度为x千米/小时,根据题意得解得 x=18.检验得：x=18.答：船在静水中的速度为18千米/小时.80801.22xx方程两边同乘（x-2)(x+2)得80 x+160 80 x+160=x2 4.例4.农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度.解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时，依题意得：解得 x=15.经检验，x=15是原方程的根.由x15得3x=45.答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时.15 15 2.33xx分式方程的 应 用类型行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、利润问题等方法步骤一审二设三找四列五解六验七写321法
