1、3 3.3.3 .3.3 函数的最大（小）函数的最大（小）值与导数值与导数函数的最大（小）值与导数内容：内容：利用导数研究函数的最大（小）值应用应用:1.求函数的最大值和最小值2.已知函数的最值求函数的解析式3.利用导数和不等式恒成立问题求参数的取值范围.本课主要学习利用导数研究函数的最大（小）值。以视频世界上最长的荡秋千线最高、最低点引入新课。通过合作交流，使学生发现并掌握极值与最值的区别与联系，感受领会从数到形的探究过程。接着讲述某函数在一个确定的闭区间上存在最值的条件。针对定理所解决的三类问题给出4个例题和变式，通过解决问题巩固新知，强调利用导数研究函数最值问题的重要性。在讲述利用导数研
2、究函数最值时，采用例题与变式结合的方法，通过例1、例2和变式巩固掌握求已知函数在闭区间的最值的方法。例3及变式，既注重了与原问题的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生的解题能力；而例4是与函数最值有关的恒成立问题，说明思路的由来过程，开阔了学生的思路通过观看视频，大家一起讨论一下荡秋千线最高、最低点问题.世界上最长的荡秋千线最高、最低点aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf(x)0f(x)0问题1：函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.设函数y=f(x)在 某个区间 内可导，f(x)为为增函数f(x)为为减函数问题2：函数的极大（小）
3、值的概念设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；oxyoxy函数的函数的极大值极大值与与极小值极小值统称统称 为为极值极值.使函数取得极值的使函数取得极值的点点x0称为称为极值点极值点v（1）确定函数的定义域v（2）求函数的导数f(x)v（3）求方程f(x)=0的根,找到临界点v（4）解不等式并列成表格v（5）求出极值问题3:求函数的极值的方法与步骤左正右负极大值，左负右正极小值左正右负极大值，左负右正极小值xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6问题4:观察下列图形,你能找出函
4、数的极值吗？135(),(),()f xf xf x观察图象，我们发现，是函数y=f(x)的极小值，是函数y=f(x)的 极大值.246(),(),()f xf xf x在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题.函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？值关系如何？极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.问题1：这个函数f(x)在区间a,
5、b上有极值吗？问题2：指出它的极值点有哪些，并分别说明是极大值点还是极小值点问题3：f(x)在a,b上存在最值吗？你觉得它的最小值和最大值分别在哪里取得？问题4：你是如何得出最大（小）值的？观察下面一个定义在区间a,b上的函数f(x)的图象x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y yy=f(x)观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象：发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y yy=f(x)如果在没有给出函数图象的情
6、况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？例如:已知函数 ，求f(x)在区间0,3上的最大值和最小值4431)(3xxxf例如:已知函数 ，求f(x)在区间0,3上的最大值和最小值4431)(3xxxf问题1：你能否自己画出这个函数的图象，再通过画出的图象确定函数的最值呢？问题2：你的作图是否准确无误呢？如果作图出现较大的误差，会不会影响到你的判断？问题3：假设你的作图准确度很高，你觉得每次都这么去作图是否很方便？问题4：有没有更好的办法，使我们不用作图就能准确的求出任意一个函数的最值呢？问题问题1：你是如何理解“连续不断的曲线”的？问题问题2：给定函数的区间a,b能否改为
7、(a,b)？通过以上的思考，你能否给出某函数在一个确定的闭区间上存在最值的条件呢？观察下列图形观察下列图形,你能找出函数的最值吗？你能找出函数的最值吗？xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6),(baxbax,在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值因此：该函数没因此：该函数没有最值。有最值。f(x)max=f(a),f(x)min=f(x3)问题问题3 3：你能说出函数的极值与最值有什么区别与联系吗？(1)“最值”是整体概念，而“极值”是个局部概念(2)从个数上看，一个函数在给定定义域上的最值是
8、唯一的；而极值不唯一，也可能没有(3)若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值(4)极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值一般的如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。由上面函数f(x)的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了.例1.已知函数 ,求f(x)在区间0,3上的最大值和最小值 31()443f xxx 240,3fxxx解：0,22(),fxxx 令解得：或舍 列表x(0.2)2(2
9、,3)y-0+y递减递增43(0)4(3)1ff又，314()43.33f xxx函数-4在 0，上的最大值为4，最小值为-314()43.33f xxx函数-4在 0，上的极小值为-(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值.求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；注意:1.在定义域内,最值唯一;极值不唯一2.最大值一定比最小值大.21233,3fxxx 解：1.求出所有导数为0的点；2.计算；3.比较确定最值。3()6 1233f xxx例2:求函数在，上的最大值与最小
10、值.0,22fxxx 令解得：或(2)22(2)10(3)15,(3)3ffff 又，3()6123310.f xxx函数在，上的最大值为22，最小值为 求函数的最大值和最小值求函数的最大值和最小值求函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小值.解解:.443xxy 令令 ,解得解得x=-1,0,1.0 y当当x变化时变化时,的变化情况如下表的变化情况如下表:yy,x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y -0 +0 -0 +y13 4 5 4 13从上表可知从上表可知,最大值是最大值是13,最小值是最小值是4.求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极
11、值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间a,b上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).例3.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在-2,2上有最小值-37,(1)求a的值；（2）求f(x)在-2,2上的最大值2:(1)()612,()0,20fxxxfxxx解令解得或(2)40,(0),(2)8f
12、a fa fa 又40373aa 由已知得解得(2)(1)()2,23.f x由知在上的最大值为已知函数f(x)=ax3-6ax2+b，问是否存在实数a、b，使f(x)在-1,2上取得最大值3，最小值-29？若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由:2,32,29abab 答案或例4设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(t0)（1）求f(x)的最小值h(t)；（2）若h(t)-2t+m对(0t2)恒成立，求实数m的取值范围23:(1)()()1(,0)f xt x tttxR t 解33,()()1,()1xtf xfttthttt 当时取最小值即 32(2)()()(2)31,()3
13、301()g th ttmttmg tttt 令由得=1或舍 单调递减单调递减10 单调递增单调递增极大值极大值x()g t()g t(0,1)(1,2)1 m()(0,2)(1)1g tgm 在内有最大值()2(0,2)()0(0,2),10h ttmg tm 在内恒成立等价于在内恒成立 即等价于(1,)m的取值范围是322()233812.(1),;(2)0,3,(),.f xxaxbxcxxa bxf xcc设函数在及时取得极值求的值若对于任意的都有成立求的取值范围:(1)3,4;(2)(,1)(9,)ab 答案有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题求解时首先要确定函数，看哪一个变
14、量的范围已知，以已知范围的变量为自变量确定函数maxmin()();()()f xf xf xf x一般地,恒成立恒成立教师提问：教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：学生作答：1知识：（1）极值与最值的区别与联系：（2）利用导数求函数的最值的步骤：2思想：归纳概括思想、数形结合思想教师总结：教师总结：在学习新知时也用到了前面所学过的知识，提醒学生:在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏，从而更好地运用知识，解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用D DA AA A必做题必做题:4.函数y=
15、x3-3x2，在2，4上的最大值为（)(A)-4 (B)0 (C)16 (D)20C C325.()3,(1)3(),()1,5;(2)(),f xxaxx aRxf xf xxf xRa已知函数若是函数的极值点求在上的最大值和最小值若函数是 上的单调函数 求实数的取值范围maxmin:(1)5,()(5)19,()(1)1(2)3,3af xff xf 答案1.函数函数 y=x+3 x9x在在 4,4 上的最大值为上的最大值为 ,最小值为最小值为 .分析分析:(1)由 f(x)=3x+6x9=0,(2)区间4,4 端点处的函数值为 f(4)=20,f(4)=76得x1=3，x2=1 函数值为
16、f(3)=27,f(1)=576-5当x变化时，y、y的变化情况如下表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4 y+0-0+0y2027-576比较以上各函数值，可知函数在4,4 上的最大值为 f(4)=76，最小值为 f(1)=5选做题选做题:322.()262 2371a2()2 2f xxxaf x已知函数在，上有最小值求实数 的值；求在，上的最大值。反思：本题属于逆向探究题型 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。21()612f xxx解:(）()002fxxx令解得或(240,fa 又）40373aa 由已知得解得(2)(1)()2,2fx由知在的最大值为3.(0),fa(2)8fa 3.求函数求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间1，5内的极值与最值内的极值与最值.故函数故函数f(x)在区间在区间1，5内的极小值为内的极小值为3，最大值为最大值为11，最小值为，最小值为2 解法二解法二:f(x)=2x-4令令f(x)=0，即，即2x-4=0，得得x=2x1（1，2）2（2，5）5 y，0y-+3112解法一解法一:将二次函数将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理配方，利用二次函数单调性处理
