1、1.1 1.1 命题及其关系命题及其关系2.怎样判断命题的真假？怎样判断命题的真假？(1)判定一个命题是判定一个命题是真真命题，要经过命题，要经过证明证明(2)判定一个命题是判定一个命题是假假命题，只需命题，只需举一个反例举一个反例一、复习回顾：一、复习回顾：即即若若p,则则q.1.命题：命题：3.命题的四种形式：命题的四种形式：(1)交换原命题的条件和结论交换原命题的条件和结论,所得的命题是所得的命题是_ (2)同时否定原命题的条件和结论同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是所得的命题是_(3)交换原命题的条件和结论交换原命题的条件和结论,并且同时否定并且同时否定,所得的命题是所得的命题是
2、_逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题命题都具由条件和结论两部分构成，命题都具由条件和结论两部分构成，4.命题四种形式的结构：命题四种形式的结构：原命题：原命题：若若p,则则q逆命题：逆命题：若若q,则则p否命题：否命题：若若p,则则q逆否命题逆否命题:若若q,则则p1.1.四种命题之间的关系四种命题之间的关系:原命题原命题若若p则则q逆命题逆命题若若q则则p否命题否命题若若p则则q逆否命题逆否命题若若q则则p互逆互逆互互否否互互否否互逆互逆二、新课：二、新课：1）原命题：若）原命题：若a=0或或b=0,则则ab=0。逆命题：若逆命题：若ab=0,则则a=0或或b=0。否命题：若否命题：若
3、a 0且且b 0，则，则ab0。逆否命题：若逆否命题：若ab0,则则a0且且b 0。(真真)(假假)(假假)(真真)(真真)四种命题的真假性是否有一定的相互关系呢？四种命题的真假性是否有一定的相互关系呢？例子：例子：(真真)(真真)(真真)3)原命题：若原命题：若a b,则则 ac2bc2。逆命题：若逆命题：若ac2bc2,则则ab。否命题：若否命题：若ab,则则ac2bc2。逆否命题：若逆否命题：若ac2bc2,则则ab。（假）（假）（真）（真）（真）（真）（假）（假）想一想：想一想：由以上三例我们能发现什么？由以上三例我们能发现什么？2 2）原命题：若）原命题：若x x2 2y y2 20
4、 0，则，则xyxy0 0逆命题：若逆命题：若xyxy 0 0，则，则x x2 2y y2 2 0 0否命题：若否命题：若x x2 2y y2 200，则，则xyxy00逆否命题：若逆否命题：若xyxy 0 0，则，则x x2 2y y2 2 0 0结结 论：论：原命题与逆否命题同真同假。原命题与逆否命题同真同假。原命题的逆命题与否命题同真同假。原命题的逆命题与否命题同真同假。（2 2）两个命题为）两个命题为互逆命题或互否命题互逆命题或互否命题,它们的真假性它们的真假性 没有关系。没有关系。（1 1）原命题原命题逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题真真真真真真真真真真假假假假假假假假假假假
5、假假假假假真真真真真真2.2.四种命题的真假性四种命题的真假性:注：原命题与逆否命题，注：原命题与逆否命题，逆命题与否命题逆命题与否命题同真同假。同真同假。练一练：练一练：判断下列说法是否正确。判断下列说法是否正确。1）一个命题的逆命题为真，）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；它的逆否命题不一定为真；（对）（对）2 2）一个命题的否命题为真，它的逆）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。命题一定为真。（对）（对）3）一个命题的原命题为假，）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。它的逆命题一定为假。（错）（错）4）一个命题的逆否命题为假，）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为
6、假。它的否命题为假。（错）（错）3.3.一些常见结论的一些常见结论的否定形式否定形式：正面正面词语词语等于等于 大于大于小于小于是是都是都是正面正面词语词语全全至少有一至少有一个个一定一定P或或qP且且q不等于不等于不大于不大于不小于不小于不是不是不都是不都是不全不全否定否定否定否定一个也一个也没有没有一定不一定不非非p p且且非非q q非非p p或或非非q q（1）a 0；练习：练习：用否定的形式填空：（2）a 0或b0；（3）a、b都是正数；（4）A一定是B的子集；a0。a0时，若时，若ab,则则acbc.写出它的逆命题、否命题、逆否命题。写出它的逆命题、否命题、逆否命题。并分别判断它们的
7、真假。并分别判断它们的真假。解：逆命题：当解：逆命题：当c0时，若时，若acbc,则则ab.否命题：当否命题：当c0时，若时，若ab,则则acbc.逆否命题：当逆否命题：当c0时，若时，若acbc,则则ab.（真）（真）（真）（真）（真）（真）分析：分析：“当当c0时时”是大前提是大前提，写其它命题时应该保留。，写其它命题时应该保留。原命题的条件是原命题的条件是“ab”，结论是结论是“acbc”。（真）（真）题型一题型一四种命题之间的转换四种命题之间的转换(2)原命题：若原命题：若m0或或n0，则，则m+n0。写出其逆命题、否命题、。写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出真假。逆否命题，并
8、分别指出真假。分析：注意分析：注意“且且”“或或”的否定为的否定为“或或”“且且”。解：逆命题：若解：逆命题：若m+n0，则，则m0或或n0。否命题：若否命题：若m0且且n0,则则m+n0.逆否命题：若逆否命题：若m+n0,则则m0且且n0.（真）（真）（真）（真）（假）（假）小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假。因小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价。为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价。原命题原命题（假）（假）(真真)(真真)（真）（真）原命题原命题（真）（真）(3)原命题：若原命题：若ab
9、=0，则，则a,b至少有一个为至少有一个为0。写出其逆命题、否命。写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出真假。题、逆否命题，并分别指出真假。逆命题：若逆命题：若a a,b,b至少有一个为至少有一个为0 0 ，则，则ab=0ab=0 。否命题：若否命题：若abab0 0 ，则，则a a,b,b一个也没有为一个也没有为0 0 。逆否命题：若逆否命题：若a a,b,b一个也没有为一个也没有为0 0 ，则，则abab0 0 。分析：注意分析：注意“至少有一个至少有一个”的否定为的否定为“一个也没有一个也没有”。说明：说明：否命题：若否命题：若abab0 0 ，则，则a a,b,b都不为都不为0 0
10、 。逆否命题：若逆否命题：若a a,b,b都不为都不为0 0 ，则，则abab0 0 。有下列四个命题：有下列四个命题：“若若xy0，则，则x，y互为相反数互为相反数”的否命题；的否命题；“若若ab，则，则a2b2”的逆否命题；的逆否命题；“若若x3，则，则x2x60”的否命题；的否命题；“同位角相等同位角相等”的逆命题的逆命题其中真命题的个数是其中真命题的个数是_ 思路探索思路探索 可先逐一分清两个命题的条件和结论，再利用有关知识判断真可先逐一分清两个命题的条件和结论，再利用有关知识判断真假假解析解析“若若xy0，则，则x，y不是相反数不是相反数”，是真命题，是真命题“若若a2b2，则，则a
11、b”，取，取a0，b1，a2b2，但，但ab，故是假命题，故是假命题题型题型二二四种命题真假的判断四种命题真假的判断【例例2】“若若x3，则，则x2x60”，解不等式，解不等式x2x60可得可得2x3，而，而x43不是不等式的解，故是假命题不是不等式的解，故是假命题“相等的角是同位角相等的角是同位角”是假命题是假命题答案答案1规律方法规律方法 要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握熟
12、练掌握”的真假。或则判断命题“若、例32,5)1(3yxyx”真命题则且逆否命题：“若5,32yxyx题型题型三三等价命题的应用等价命题的应用(3)(3)判断命题判断命题“若若m m00，则方程，则方程x x2 22 2x xm m0 0有实数根有实数根”的逆否命的逆否命题的真假题的真假原命题为真即,1044mm例例4 4220,0.xyxy证 明：若则,00,x yx 证 明：若中 至 少 有 一 个 不 为，不 妨 设,0,0222yxx所以则.022 yx也就是说.从而原命题也是真命题题为真命题，因此，原命题的逆否命当直接证明某一命题为真命题有困难时，可以通过当直接证明某一命题为真命题有
13、困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接证明原命题为证明它的逆否命题为真命题，来间接证明原命题为真命题。真命题。反证法反证法 欲证欲证“若若p p则则q”q”为真命题，从否定其结论即为真命题，从否定其结论即“非非q”q”出出发发，经过正确的逻辑推理，经过正确的逻辑推理导出矛盾导出矛盾，从而，从而“非非q”q”为假为假，即原命题为真，这样的证明方法称为即原命题为真，这样的证明方法称为反证法反证法。例例4 4220,0.xyxy证 明：若则,0,0222yxx所以则.022 yx也就是说这与这与 x2+y2=0矛盾矛盾,所以假设不成立所以假设不成立,从而从而x=y=0 成立。成立。反证法反
14、证法.00yxx，不妨设中至少有一个不为，证明：假设反证法的一般步骤：反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立假设命题的结论不成立,即假即假 设结论的反面成立；设结论的反面成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。从而肯定命题的结论正确。反设反设归谬归谬结论结论练习：练习：证：证：假设假设_或或_,由于由于_时时,_,与与(x-a)(x-b)0矛盾矛盾,又又_时时,_,与与(x-a)(x-b)0矛盾矛盾,所以假设不成立所以假设不成立,从而从而_。x=a x=bx=a(
15、x-a)(x-b)=0 x=b(x-a)(x-b)=0 x a且且x b用反证法证明用反证法证明,若若(x-a)(x-b)0,则则x a且且x b.用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。能互相平分。已知已知：如图，在：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于点交于点P，且且AB、CD不是直径不是直径.求证：求证：弦弦AB、CD不被不被P平平分分.POBADC例例5 5由于由于P点一定不是圆心点一定不是圆心O，连结，连结OP，根据垂径，根据垂径定理的推论，有定理的推论，有 OPAB，OPCD，所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。证明
16、：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分，平分，即过点即过点P有两条直线与有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾。都垂直，这与垂线性质矛盾。证明命题的方法证明命题的方法l方法一：方法一：直接法，直接法，从命题的条件从命题的条件p p出发，经推理直接得出出发，经推理直接得出结论结论p p，证明其为真命题；，证明其为真命题；l方法二：方法二：等价法，等价法，证明命题（若证明命题（若p p，则，则q q）的等价命题）的等价命题逆否命题（若逆否命题（若q q，则，则q q）为真，则原命题也为真；）为真，则原命题也为真；l方法三：方法三：反证法，反证法，证明证明命题的否定（若命题的否定（若p p，则，
17、则q q）为假为假命题，从而间接地证明了命题（若命题，从而间接地证明了命题（若p p，则，则q q）为真命题。）为真命题。1,0342)1(22bababa则证明：若练习：练习：0342,122bababa则逆否命题为：若小结小结 1.四种命题间的相互关系；四种命题间的相互关系；2.四种命题的真假性之间的关系；四种命题的真假性之间的关系；3.3.命题的证明方法。命题的证明方法。（渗透思想方法：反证法）原命题原命题若若p 则则q逆命题逆命题 若若q 则则p 否命题否命题若若p则则q逆否命题逆否命题 若若q则则p互逆互逆互逆互逆互否互否互互否否互为互为 逆否逆否互为互为 逆否逆否四种命题间的相互关系四种命题间的相互关系互逆命题，真假互逆命题，真假无关无关互否命题，真假互否命题，真假无关无关互为逆否，互为逆否，同真同假同真同假四种命题间的真假性：四种命题间的真假性：真真真真真真假假真真假假假假假假
