1、1.圆锥的全面积是侧面积的倍，侧面展开图的圆心角等于23222.rlrlrlrlrlr设底面半径为，母线长为，侧面展开图的圆心角为，则由题可知，得，又，所以解析：.324若圆锥的底面半径是，高是，则它的侧面积是1534515.rhlSrl侧依题意，底面半径，高，则母线长为，所以解析:222436或643.圆柱的侧面展开图是边长为和的矩形，则圆柱的体积是222224264 62426349 4362436.rlrrlVrrlV 设底面半径为，母线长为，由题可知有两种情形：，得，此时，；，得，此时，；综上可知，圆柱的体积是或解析:44.2.棱长为 的正方体的内切球的表面积为24:14.rSr依题意
2、，正方体的内切球的半径为，所以表面积为解析835.2若等腰直角三角形的直角边长为，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是2211331822.33VS hRh解析：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体几何体的表面积几何体的表面积【例1】斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长等于a的正三角形，侧棱长等于b.一条侧棱AA1和底面相邻的两条边AB，AC都成45角，求这个斜三棱柱的侧面积【解析】如图，由于侧棱AA1和底面相邻的两条边AB，AC都成45角，所以点A1在底面ABC内的射影O在BAC的平分线AD上由于底面ABC是正三角形，所以BCAD，即BCAO.1111111.45sin45
3、22222(2+1).BBCCabAAABACSAAB BSAACCababSababab故侧面是矩形，其面积等于又因为侧棱和底面相邻的两条边，都成角，所以 四边形 四边形，故这个斜三棱柱的侧面积 由于给出的棱柱不是正棱柱，所以在求侧面积时，应对每一个侧面的面积分别进 行 计 算 本 题 的 关 键 是 判 断 侧 面BB1C1C的形状，其中应用了非常重要的结论：从角的顶点出发的一条射线，如果它和角的两边所成的角相等，那么这条射线在角所在平面内的射影在角的平分线上(自己证明)【变式练习1】在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为a的正三角形，且AA1与AC，AB所成的角均为60，且A1AAB
4、，求该三棱柱的侧面积 111111111111111111222.60./.22sin60(13).AOABCOAAACABA AABOABCAOBCAOBCAOAOOBCA AOA AA AOBCA AA AB BBCB BBCC BSSA ABBSBCC Baaa侧作底面于因为与，所成的角均为，且，所以 是的中心，所以又，且，从而平面又平面，所以而，故所以侧面是矩形，所以四边形 矩形 【解析】几何体的体积几何体的体积【例2】如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正PAD所在平面互相垂直，Q是AD的中点求三棱锥CPBD的体积 2.42 3111642 33.323CPBDPBCDQADPA
5、DPQADPADABCDPQABCDADPQCPBDVV因为 为的中点，为正三角形，所以，因为平面平面，所以平面因为，所以；所以三棱锥 的体积为【解析】若用直接法求三棱锥CPBD的体积，就必须求C到平面PBD的距离，显然这是比较困难的一般来讲，当直接法求距离(高)遇到较大阻力时，往往可以轮换三棱锥中的顶点，将底面和高转化为题目已知或容易求解的问题，这是解决求高或体积问题时常用的思路【变式练习2】将棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中截去一角B1A1BC1，求三棱锥B1A1BC1的体积，并求三棱锥B1A1BC1的高 111111112111111111111 1 1=.326233(2).
6、4211361313h=.3263VBABCVBABCABCBABChVBABCS ABC hh 如图，因为正三角形的边长为，所以其面积为设三棱锥的高为，则，所以，解得】【解析空间几何体的内接、空间几何体的内接、内切、外接问题内切、外接问题【例3】如图，已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱(1)求圆柱的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？2222max1.2.().2()2()0222()()24().22rSr xrHxRrHxRHHRSxHxHRxHxxHHRRHHSxHxxHHHRHxS圆柱侧圆柱侧圆柱侧圆柱侧设内接圆柱的底面半径为因为，所以 将代入
7、得 因为 ，所以，当 时，【解析】gg 圆锥的内接问题，一般都要借助于三角形的相似找到变量之间的比例关系，将未知的变量转化为已知变量来解决圆柱、圆锥的表面积和体积求解的关键是求出底面半径、母线长和高，再准确运用公式进行计算而求最大、最小值的问题，往往都是转化为某个变量的函数，再运用相关函数的图象和性质求解即可【变式练习3】求棱长为1的正四面体的外接球的半径R.2222331=.332366Rt.33ABCDAAHHHOOBHCDEBOBOAORBHBEABHAHABBHOHR如图，在正四面体中，过 作垂直于底面，垂足是，则 为底面正三角形的中心设其外接球的球心为，则 必为正四面体的中心连结，并
8、延长交于，连结，则，在中，【，】解析222221Rt632 61,3332 6610.342443366.4434ABCDOBCDBOHRBOOHBHRRRRRVVAHOHRAOAH 方法：在中，两边平方得 ，解得 方法：由，得，即 V322326.224R方法：将正四面体放到正方体中，得正方体的棱长为，且正四面体的外接球即正方体的外接球，所以 1.4 3若一个球的体积为，则它的表面积为_.123244 333412.VRRSR球表因为，所以，则【解析】2.将边长为a的正方形ABCD沿着对角线AC折起，使BDa，则VDABC _3212a23221122()2.32212DABCABODCBO
9、DACODOBODOACBOACDOBOOACBDOAOOCODOBaBDaDOOBVVVaaaI如图，取的中点，连结、，由题意知，又，所以平面，又因为，所以，所以【解析】30 324 cm4 cmc3.m.正六棱锥的高为，最长的对角线为，则它的侧面积为2 316122 72835162 3 530 3.2lhS 侧由题意知，底面边长为，侧棱长为，斜高，所以解析：111111114.aABCDABC DEFAACCAEBFD已知棱长为 的正方体中，、分别为棱、的中点求四棱锥的体积1111111111111111223“”.11331()31 111().3 446AEBFDEFVAEBFDVA
10、EFDVAEFBVFEBAVFAD ES AEB BCS AD E DCS AEBS AD E aaaaa如图所示，要直接求四棱锥的高非常困难，因此设法用 割补法 连结则【解析】5.设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线AB的距离为，AB和圆锥的轴之间的距离为1，求该圆锥的体积 222.3.1.22.Rt2,12 2.332 2.3OPPOOAOBPABCOCPCPOOPCABOCABOCABOBPOCPOPCOCVOBPO如图，设圆锥的底面中心为，顶点为，连结、过点 作的垂线，垂足为，连结，则由于底面圆，且，所以，即又，所以在中，所以 故所求圆锥的体积为【解析】1熟练掌握各种
11、几何体的结构特征是求几何体的侧面积和体积的前提条件，特别是正棱柱和正棱锥的结构特征求多面体的侧面积的关键是将侧面沿着一条棱剪开，展成一个平面图形，弄清楚各个侧面的形状，然后将各个侧面的面积相加即得所求侧面积注意侧面积与表面积的区别，表面积是在侧面积的基础上加上底面面积 2了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)，注意公式间的联系与区别与圆柱、圆锥、球有关的组合体问题，主要是指内接和外切，解题时要认真研究轴截面、分析平面图，借助相似成比例或直角三角形中的勾股定理找到变量之间的联系 3计算底面积和高都不易求的不规则几何体的体积时应尽量避免直接求解，要养成用“等积法”和“割补法”转化成规则几何体的习惯
