1、沪科版九年级上册数学沪科版九年级上册数学 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角等得到成比例的线段或得出等角等等等，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。系。相似三角形中的辅助线相似三角形中的辅助线例例 如图，如图，D是是ABC的的BC边上的点，边上的点，BD：DC=2：1，E是是AD的中点，连结的中点，连结BE并延长交并延长交AC于于F，求，求BE：EF的值的值.DABCEF作平行线作平行线DABCEF解法解法
2、1过点过点D作作CA的平行线交的平行线交BF于点于点P，P BE：EF=5：1 =5则则，1AEDEFEPE,2DCBDPFBP PE=EFBP=2PF=4EF，BE=5EF作平行线作平行线过点过点D作作BF的平行线交的平行线交AC于点于点Q，DABCEFQ BE：EF=5：1 =5，则2EADAEFDQ，3DCBCDQBF，EFEFEF56EFBFBEEFDQ2即EFDQBF63解法解法2作平行线作平行线过点过点E作作BC的平行线交的平行线交AC于点于点S，解法解法3过点过点E作作AC的平行线交的平行线交BC于点于点T，解法解法4作平行线作平行线DABCEFG过点过点C作作AD的平行线交的平
3、行线交BF的延长线的延长线于点于点G，解法解法5DABCEFH过点过点C作作BF的平行线交的平行线交AD的延长线的延长线于点于点H，解法解法6添加平行线构造添加平行线构造“A”、“X”型型 注意注意（1）选择构造平行线的点的原则）选择构造平行线的点的原则为不破坏已知条件中的数量关系；为不破坏已知条件中的数量关系；（2）一般会出现两组三角形相似，）一般会出现两组三角形相似，注意相似三角形的对应边；注意相似三角形的对应边；（3）通过线段比例之间的关系，）通过线段比例之间的关系，用方程思想求解。用方程思想求解。如图，如图，D是是ABC的的BC边上的点，边上的点，BD：DC=2=2：1 1，E是是AD
4、的中点的中点,连结连结BE并延长交并延长交AC于于F,求求AF：CF的值的值.DABCEF练习练习练习练习练习练习DABCEF解法解法1：过点过点D作作CA的平行线交的平行线交BF于点于点P，PAF：CF=2：3DABCEF解法解法2：过点过点D作作BF的平行线交的平行线交AC于点于点Q，QAF：CF=2：3解法解法3 3：过点过点E作作BC的平行线交的平行线交AC于点于点S，解法解法4：过点过点E作作AC的平行线交的平行线交BC于点于点T，已知已知ABC，延长延长BC到点到点D，使使CD=BC，取取AB的中点的中点F，连接连接FD交交AC于点于点E，求求 的值的值.ACAE练习：练习：已知：
5、已知：ABC中，中，D为为BC边上中点，边上中点，E为为AC边边上一点，且上一点，且AE:AC=1:31:3，连接，连接AD和和BE，相交，相交于点于点F，求，求AF:FD的值的值.练习：练习：二、作垂线二、作垂线例例2：如图，从如图，从 ABCD顶点顶点C向向AB和和AD的延长线引垂线的延长线引垂线CE和和CF，垂足分别为，垂足分别为E、F，求证：，求证：2ACAFADAEABABCFDE证明：过证明：过B作作BMAC于于M，过过D作作DNAC于于N ABMACEACABAEAMADNACF 又又 AMACAEAB即即ACADAFANANACAFAD即即ANACAMACAFADAEAB)(A
6、NAMACABCFDENMABCFDENM在在 和和 中中ADNCBMCBADCMBANDBCMDANADNCBM）（AASAN=CM2)(ACCMAMACAFADAEAB练习：在练习：在ABC中，中，ACB=9090o o，AC=BC，P是是AB上一点，上一点，Q是是PC上一点（不是中点），上一点（不是中点），MN过过Q且且MNCP，交，交AC、BC于于M、N，求证：，求证：CNCMPBPA:方法总结：方法总结：基本图形基本图形注意：注意：（1）相似三角形中对应边要找准。（2）利用高线解决问题，一般会用到设未知数，列方程的思想。三、作延长线三、作延长线例例3 3：如图，在四边形：如图，在四边
7、形ABCD中，中，ADBC，若，若BCD的平分线的平分线CHAB于点于点H，BH=3=3AH，且四边形，且四边形AHCD的面积为的面积为2121，求，求HBC的面积。的面积。分析：分析：因为问题涉及四边形因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。为相似三角形的面积比而加以解决。解：延长解：延长BA、CD交于点交于点P CHAB，CD平分平分BCD CB=CP，且，且BH=PH BH=3=3AH PA：AB=1=1：2 2 PA：PB=1=1：3 3 ADBC PADPBC：SSPADPBC19SSPCHPBC12
8、：四边形SSPADAHCD 27四 边 形SAHCD 21SPAD 6SPBC 54SSHBCPBC1227练习：如图，练习：如图，RtABC中，中，CD为斜边为斜边AB上的高，上的高，E为为CD的中点，的中点，AE的延长线交的延长线交BC于于F，FG交交AB于于G，求证：求证：FG=CFBF分析：分析：欲证 FG=CFBF即 ，需要相似三角形，BFG与CFG会相似吗？显然不可能。但由E为CD的中点，可设法构造一个与BFG相似的三角形来求解。FGCFBFFG不妨延长不妨延长GF与与AC的延长线交于的延长线交于HECFHEDFGAEAF则ECFHEDFG又又ED=EC FG=FH 易证易证RtC
9、FHRtGFBFGFH=CFBF FG=FH FG2 2=CFBFBFFHFGCF四、作中线四、作中线例例4 4：如图，：如图，ABC中，中，ABAC，AEBC于于E，D在在AC边上，若边上，若BD=DC=EC=1=1，求，求AC。DCBDBCDBCC1MACDBCBCACDCMC21221BCDCBCMCACAECRtBACRtBCBCCEAC2421ACAC 32AC解：解：取BC的中点M，连AM ABAC AM=CM 1=C 又 BD=DC 又 DC=1 MC=BC （1）又 又 EC=1 由（1）（2）得，（2）MACDBC小结：小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造与相似是解题关键课堂小结：课堂小结：（1）添加辅助线的原则；（2）构造出的基本模型；（3）相似三角形中的对应关系。（4）复杂问题中等量代换的灵活应用。
