1、17.3 17.3 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式知识回顾知识回顾 2.说说一元二次方程说说一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的求根公式的求根公式.242bbacxa （b24ac0）1.你能说出我们共学过哪几种解一元二次你能说出我们共学过哪几种解一元二次方程的方法吗？方程的方法吗？直接开平方法直接开平方法 配方法配方法公式法公式法因式分解法因式分解法用公式法求下列方程的根用公式法求下列方程的根:用公式法解用公式法解一元二次方程一元二次方程的一般步骤的一般步骤:1)把方程化为一般形式确把方程化为一般形式确定定a,b,c 的值的值3)带入求根公式带入求根公式 计算方程的根计算方
2、程的根aacbbx2422)计算计算 的值的值acb42042 acb022)12xx0141)22 xx01323)32xx01)42 xx复习引入复习引入3.试试用公式法解下列方程：试试用公式法解下列方程：（1）x23x40；（2）x24x+40；（3）x2+2x+30.在求解的过程在求解的过程中，注意观察中，注意观察b2-4ac的值的值.解：解：a1，b3，c4，（1）x23x40；b24ac(-(-3)241(-(-4)2503253522x x14，x21（2）x24x+40；解：解：a1，b4，c4，b24ac(-(-4)241(-(-4)0404022x x1x22（3）x2+2
3、x+30.解：解：a1，b2，c3，b24ac22413 3-8-80 此方程无解此方程无解.想一想：想一想：这个这个3个一元二次方程的解的情况？个一元二次方程的解的情况？（1）有两个不相等的实数根；）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；）有两个相等的实数根；（3）没有实数根（无解）没有实数根（无解）.这这3个一元二次方程的解为什么会出现个一元二次方程的解为什么会出现不同的情况呢？它们的根的情况由哪个因素不同的情况呢？它们的根的情况由哪个因素来决定呢？何时有两个不相等的实数根？何来决定呢？何时有两个不相等的实数根？何时有两个相等的实数根？何时没有实数根？时有两个相等的实数根？何时没
4、有实数根？242bbacxa 求根公式：求根公式：观察：观察：b24ac0是二次根式的被开方数是二次根式的被开方数.因为因为a0，所以，所以（1）当）当b24ac0时，时，24bac 是正实数，是正实数，因此，方程有两个不相等的实数根：因此，方程有两个不相等的实数根：2142bbacxa 2242bbacxa （2）当）当b24ac0时，时，24bac 0，因此，方程有两个相等的实数根：因此，方程有两个相等的实数根：122bxxa （3）当）当b24ac0时，时，24bac 在实数范围内在实数范围内没有意义，没有意义，因此方程没有实数根因此方程没有实数根.感悟新知：感悟新知：一元二次方程一元二
5、次方程ax2+bx+c0（a0）根的情）根的情况由况由b24ac来确定，我们把来确定，我们把b24ac叫做一元叫做一元二次方程二次方程ax2+bx+c0（a0）根的判别式）根的判别式.通通常用符号常用符号“”来表示，即来表示，即b24ac.当当0时，有两个不相等的实数根；时，有两个不相等的实数根；当当0时，有两个相等的实数根；时，有两个相等的实数根；当当0时，没有实数根时，没有实数根.一般地，一元二次方程一般地，一元二次方程ax2+bx+c0（a0），），例题讲解：例题讲解：特别指出：当特别指出：当 0时，有两个实数根时，有两个实数根.不解方程，判别下列方程根的情况：不解方程，判别下列方程根的
6、情况：（1）5x2-3x-20；（2）25y2+420y；（3）2x2+x+10.3解解：（：（1）因为）因为(-(-3)2-45(-(-2)490，所以原方程有两个不相等的实数根所以原方程有两个不相等的实数根.解：原方程可变形为：解：原方程可变形为：25y2-20y+40因为因为(-(-20)2-42540，所以原方程有两个相等的实数根所以原方程有两个相等的实数根.解：因为解：因为()()2-421-50，3所以原方程没有实数根所以原方程没有实数根.（1）5x2-3x-20；（2）25y2+420y；（3）2x2+x+10.3随堂练习随堂练习1.不解方程，判别下列方程根的情况：不解方程，判别
7、下列方程根的情况：(1)2x25x4=0；(2)7t25t+2=0；(3)x(x+1)=3；(4)3y2+25=10 y.3解：解：(1)因为因为=(5)242(4)=570，所以原方程有两个不相等的实数根所以原方程有两个不相等的实数根.(1)2x25x4=0；(2)7t25t+2=0；解：解：因为因为=(=(5)2472=310，所以原方程没有实数根所以原方程没有实数根.解：解：原方程可变形为原方程可变形为x2+x3=0，因为因为=1241(3)=130，所以原方程有两个不相等的实数根所以原方程有两个不相等的实数根.(3)x(x+1)=3；(4)3y2+25=10 y.3解：原方程可变形为解
8、：原方程可变形为3y210 y+25=0，3因为因为=(10 )24325=0，3所以原方程有两个相等的实数根所以原方程有两个相等的实数根.2.已知关于已知关于x的方程的方程x23xk0，问，问k取何值时，取何值时，这个方程：这个方程：(1)有两个不相等的实数根？有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？有两个相等的实数根？(3)没有实数根？没有实数根？=0，即：，即：时，方程有两个相等的实时，方程有两个相等的实数根；数根；0，即：，即：时，方程有两个不相等的时，方程有两个不相等的实数根；实数根；0，即：，即：时，方程有两个相等的实时，方程有两个相等的实数根数根.解：因为解：因为=(3)
9、241k=94k，9=4k94k94k关于关于x的方程的方程 x23xk0，试一试：试一试：1.关于关于x的一元二次方程的一元二次方程3x2mx20的根的根的情况（的情况（）A.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根C.没有实数根没有实数根D.不能确定不能确定A2.如果关于如果关于x的方程的方程x22x+k0（k为常数）为常数）有两个不相等的实数根，那么有两个不相等的实数根，那么k的取值范围的取值范围是是_.k13.方程方程(m1)x2+2mx+m0有两个不相等的实数有两个不相等的实数根，则根，则m的取值为的取值为_.m0且且m04.求证：无论求证：无论m取何值，方程取何值，方程m2(2m1)x+m20（m0）都有两个不相等的实根）都有两个不相等的实根.证明：证明：m 0，此方程为一元二次方程，此方程为一元二次方程，(2m1)24m(m2)4m+1，m 0，4m+10，即，即0，故原方程有两个不相等的实根故原方程有两个不相等的实根.课堂小结课堂小结对于一元二次方程对于一元二次方程 ：20(0)axbxca反之，同样成立！反之，同样成立！当当 0 时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根；当当 =0 时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；当当 0 时，方程没有实数根时，方程没有实数根.
