1、第一节 函数及其表示分段函数问题 定义在R上的函数f(x)满足f(x)则f(3)的值为()A1 B2 C1 D2,04log,0212xxxxfxf分析由条件知当x0时，f(x)f(x1)f(x2)从左往右x可化小，从而转到x0的区间上解当x0时，f(x)f(x1)f(x2)，f(3)f(2)f(1)f(1)f(0)f(1)f(0)，又x0时，f(x)log2(4x)，f(3)f(0)log242，故选B.规律总结分段函数问题的求解策略是分段处理解决在具体求解时，要注意自变量在不同段上的取值与在该段上函数表达式的对应性变式训练1 已知函数f(x)则 等于()A32 B16 C.D.,02,03
2、xxxfx21321 5f【解析】f(5)f(53)f(2)f(23)f(1)21 ，故选C.21【答案】C求函数的解析式(1)已知f lgx，求f(x)；(2)设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等实根，且f(x)2x2，求f(x)的解析式；(3)定义在(1,1)内的函数f(x)满足2f(x)f(x)lg(x1)，求函数f(x)的解析式 12x分析(1)把 1看成一个元素t，用换元法(2)知道函数类型，用待定系数法(3)根据条件建立关于f(x)的另外一个等式，用方程组求解x2解(1)令t 1，则x ，f(t)lg ，即f(x)lg .(2)设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)
3、2axb2x2，a1，b2，f(x)x22xc.又方程f(x)0有两个相等实根，44c0，c1，故f(x)x22x1.(3)当x(1,1)时有2f(x)f(x)lg(x1)，以x代x得2f(x)f(x)lg(x1)，由消去f(x)，得f(x)lg(x1)lg(1x)x212t12t12x3231规律总结掌握求函数解析式的常用方法：换元法、待定系数法建立方程组，根据不同条件灵活使用各种方法变式训练 已知f(0)1，f(xy)f(x)y(2xy1)，求f(x)【解析】令xy，得f(0)f(x)x(x1)1，f(x)x2x1.函数概念的实际应用 某人驱车以52千米/时的速度从A地驶往260千米远处的
4、B地，到达B地并停留1.5小时后，再以65千米/时的速度返回A地试将此人驱车走过的路程S表示为时间t的函数分析路程速度时间，不同时间段速度不同，所以要分段求解解从A地到B地，路上的时间为 5(小时)；从B地回到A地，路上的时间为 4(小时)所以走过的路程S(千米)与t(小时)的关系为：S 5226065260,5052.5.105.65.665260,5.65260ttttt规律总结处理函数应用题的步骤为：审题分析变量及取值范围选择、确定函数模型分析函数模型的性质、图象等解决实际问题变式训练 “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快
5、到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点用s1、s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是()【解析】兔子在中间一段时间内路程不变，且乌龟到达终点时，兔子还差一点，选B.【答案】B函数概念的综合运用(12分)设x0时，f(x)2；x0时，f(x)1.又规定：g(x)(x0)，试写出yg(x)的表达式，并画出其图象 2213xfxf分析首先求f(x1)，f(x2)而x0时x11，x22，与已知不符合因此需要对x分类讨论解当0 x1时，x10，x20，g(x)1；2分当1x2时，x10，x20，g(x)；4分当x2时，x10，x20，g(x)2.6分故g
6、(x)8分其图象如图：12分21321625226,101.22,2125xxx规律总结正确理解对应法则的意义是解决此题的关键，准确地找出分类讨论的原始对象与原始的分类标准是解决此题的保证变式训练 给出下列三个等式：f(xy)f(x)f(y)；f(xy)f(x)f(y)；f(xy).下列函数中不满足其中任何一个等式的是()yfxfyfxf1Af(x)3x Bf(x)sinxCf(x)log2x Df(x)tanx【解析】选项A满足f(xy)f(x)f(y)；选项C满足f(xy)f(x)f(y)；选项D满足f(xy)yfxfyfxf1【答案】B 1正确理解函数的概念是掌握好本节内容的关键函数的本
7、质是一种特殊对应关系，它的特殊性在于：(1)它是非空数集到非空数集的对应；(2)定义域中的每个元素只有一个函数值；(3)定义域中的每个元素一定有函数值2确定一个函数需要三个要素：(1)定义域；(2)对应法则；(3)值域对应法则是规定元素对应关系的法则，它不一定能够用解析式表示，如列表法和图象法表示的函数3判断两个函数是否为同一个函数的关键，是判定它们的定义域是否相同，对应法则是否相同若定义域相同，对应法则相同，值域一定相同，则一定是相同函数4复合函数的计算，一般由内到外逐个运算，当“外”函数为分段函数时，要用其条件对“内”函数进行分层5分段函数是一个函数，而不是几个函数，其对应法则f从整体上只能理解为一个，只不过它像“变色龙”一样，在不同环境下呈现出不同的颜色而已设a1，若对于任意的xa,2a，都有ya，a2满足方程logaxlogay3，则a的取值集合为_ 错解由logaxlogay3得xya3，又xa,2a且a1，y .当ax2a时，有 ya2，又aya2，a，a2.xa322a22a错解分析上述解法中，对条件“ya，a2”的理解不正确，误把区间a，a2当作函数y 的值域来处理xa3正解函数y ，xa,2a的值域应该是区间a，a2的子集，有 a2.故m的取值集合为a|a2xa3,1,22aaa
