1、1.2.2 充要条件充要条件复习复习充分条件，必要条件的定义充分条件，必要条件的定义:qp 若若 ，则，则p是是q成立的条件成立的条件 q是是p成立的条件成立的条件充分充分必要必要已知已知p：整数：整数a是的倍数，是的倍数，q：整数：整数a是和的倍数，是和的倍数，那么那么p是是q的什么条件？的什么条件？1、定义、定义:pqqppq如果既有，又有就记做称称:p是是q的的充分必要条件充分必要条件,简称简称充要条件充要条件显然显然,如果如果p是是q的充要条件的充要条件,那么那么q也是也是p的充要条件的充要条件p与与q互为充要条件互为充要条件(也可以说成”p与q等价”)1、充分且必要条件、充分且必要条
2、件2、充分非必要条件、充分非必要条件3、必要非充分条件、必要非充分条件4、既不充分也不必要条件、既不充分也不必要条件各种条件的可能情况各种条件的可能情况充分非必要条件充分非必要条件必要非充分条件必要非充分条件既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件充分且必要条件充分且必要条件1）A B且且B A，则，则A是是B的的2）若）若A B且且B A，则，则A是是B的的3 3）若）若A BA B且且B AB A，则，则A A是是B B的的4）A B且且B A，则，则A是是B的的注注:一般情况下若条件甲为一般情况下若条件甲为，条件乙为，条件乙为ABAAB当且仅当时,甲为乙的充分条件;当且仅当B时,甲为乙的
3、必要条件;当且仅当时,甲为乙的充要条件.3 3）若）若A BA B且且B AB A，则甲是乙的则甲是乙的2）若）若A B且且B A，则甲是乙的，则甲是乙的1）若）若A B且且B A，则甲是乙的，则甲是乙的充分非必要条件充分非必要条件必要非充分条件必要非充分条件既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件4）若）若A=B，则甲是乙的，则甲是乙的充分且必要条件充分且必要条件AB1)AB2)AB3 )A =B4 )小结小结 充分必要条件的判断方法：充分必要条件的判断方法：定义法、集合法、等价法（逆否命题）定义法、集合法、等价法（逆否命题）例例1、下列各题中、下列各题中,那些那些p是是q的充要条件的充要条
4、件?(1)p:b=0,q:函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数;(2)P:x0,y0,q:xy0;(3)P:ab,q:a+cb+c.解：在解：在(1)(3)中，中，p q,所以所以(1)(3)中的中的p是是q的充要条件。在的充要条件。在(2)中，中，q p，所以，所以(2)中中p的的不是不是q的充要条件。的充要条件。例例2、请用、请用“充分不必要充分不必要”、“必要不充分必要不充分”、“充要充要”、“既不充分也不必要既不充分也不必要”填空：填空：(1)“(x-2)(x-3)=0”是是“x=2”的条件的条件.(2)“同位角相等同位角相等”是是“两直线平行两直线平行”的条的条件件.(3)“x=3
5、”是是“x2=9”的条件的条件.(4)“四边形的对角线相等四边形的对角线相等”是是“四边形为平行四四边形为平行四边形边形”的条件的条件.充分不必要充分不必要必要不充分必要不充分充要充要既不充分也不必要既不充分也不必要例例3在下列电路图中，闭合开关在下列电路图中，闭合开关A是灯泡是灯泡B亮的什么条件：亮的什么条件：如图如图(1)所示，开关所示，开关A闭合是灯泡闭合是灯泡B亮的亮的条件；条件；如图如图(2)所示，开关所示，开关A闭合是灯泡闭合是灯泡B亮的亮的条件；条件；如图如图(3)所示，开关所示，开关A闭合是灯泡闭合是灯泡B亮的亮的条件；条件；如图如图(4)所示，开关所示，开关A闭合是灯泡闭合是
6、灯泡B亮的亮的条件；条件；充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要例例4 已知已知:O的半径为的半径为r,圆心圆心O到直线到直线L的距的距离为离为d.求证求证:d=r是直线是直线L与与 O相切的充要条件相切的充要条件.分析:设:p:d=r,q:直线L与 O相切.要证p是q的充要条件,只需分别证明:充分性 和必要性 即可.pqqpPQOl证明：如图，作证明：如图，作 于点于点P，则，则OP=d。OPl若若d=r，则点，则点P在在 上。在直线上。在直线 上任取一点上任取一点Q(异于点异于点P)，连接，连接OQ。OlRt OPQ在在 中，中，OQOP=r.所以，除点所以，除点P外直线外直线 上的点都
7、在上的点都在 的外部，的外部，即直线即直线 与与 仅有一个公共点仅有一个公共点P。OlOl所以直线所以直线 与与 相切。相切。Ol(1)充分性充分性(p q)：若直线若直线 与与 相切，不妨设切点为相切，不妨设切点为P，则，则 .d=OP=r.lOOPl(2)必要性必要性(q p)：练习练习1、变变.若A是B的必要而不充分条件，C是B的充 要条件，D是C的充分而不必要条件，那么D是A的_充分不必要条件1、已知p,q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则 （1）s是q的什么条件？（2）r是q的什么条件？（3）P是q的什么条件？充要条件充要条件必要不充分条件注、注、定义法（图形分
8、析）定义法（图形分析）pqpq 2.（1）若q,则p是q的什么条件？（2）若p,则p是q的什么条件？（3）若,则p是 q的什么条件？prsq必要条件充分条件必要条件3：填写：填写“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要。不必要。1）sinAsinB是是AB的的_ 条件。条件。2）在）在ABC中，中，sinAsinB是是 AB的的_条件。条件。既不充分又不必要既不充分又不必要充要条件充要条件4、ab成立的充分不必要的条件是（）成立的充分不必要的条件是（）A.acbc B.a/cb/c C.a+cb+c D.ac2bc25 5、关于关于x x的不等式
9、：的不等式：x x+x-1x-1m m的解集为的解集为R R的充的充 要条件是要条件是()()(A)m(A)m0(B)m0(C)m0(B)m0(C)m1(D)m11(D)m1 DC11min()1f xm练习练习2、1、设集合、设集合M=x|x2,N=x|x3,那么那么“xM或或xN”是是“xMN”的的()A.充要条件充要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充分不必要充分不必要 D不充分不必要不充分不必要B注、注、集合法集合法2、aR,|a|3成立的一个必要不充分条件是成立的一个必要不充分条件是()A.a3 B.|a|2 C.a29 D.0a=B B，证必要性证必要性即证即证B B=A A
10、练习练习6：设：设x、yR，求证，求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是成立的充要条件是xy0充要条件的证明的两个方面：充要条件的证明的两个方面：1、必要性：、必要性：|x+y|=|x|+|y|xy02、充分性、充分性:xy0|x+y|=|x|+|y|3、点明结论、点明结论练习练习7：已知关于：已知关于x的方程的方程(1a)x2(a2)x40(aR).求求：方程有两个正根的充要条件；方程有两个正根的充要条件；方程至少有一个正根的充要条件。方程至少有一个正根的充要条件。【解题回顾】【解题回顾】一一是容易漏掉讨论方程二次项系数是否为零，是容易漏掉讨论方程二次项系数是否为零，二二是只求必要条是只求必要条件忽略验证充分条件件忽略验证充分条件.即以所求的必要条件代替充要条件即以所求的必要条件代替充要条件.回顾总结：回顾总结：1、条件的判断方法、条件的判断方法 定义法定义法 集合法集合法 等价法（逆否命题）等价法（逆否命题）2、图形分析法（网）、图形分析法（网）
