1、第三节圆 的 方 程【教材基础回顾教材基础回顾】1.1.圆的方程圆的方程标准标准方程方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r r2 2(r0)(r0)圆心圆心_半径为半径为_一般一般方程方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0条件条件:_:_圆心圆心:_:_ 半径半径:_:_ (a,b)(a,b)r rD D2 2+E+E2 2-4F0-4F0DE(,)22221rDE4F22.2.点与圆的位置关系点与圆的位置关系点点M(xM(x0 0,y,y0 0)与圆与圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2的位置关系的
2、位置关系(1)(1)点点M(xM(x0 0,y,y0 0)在圆外在圆外,则则(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2_r_r2 2.(2)(2)点点M(xM(x0 0,y,y0 0)在圆上在圆上,则则(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2_r_r2 2.(3)(3)点点M(xM(x0 0,y,y0 0)在圆内在圆内,则则(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2_r_r2 2.=0.-4AF0.2.2.解决与圆上点解决与圆上点(x,y)(x,y)有关的最值问题有关的最值问题:转化为与圆心转化为与圆心有关的最值问
3、题有关的最值问题.【教材母题变式教材母题变式】1.1.圆圆x x2 2+y+y2 2-4x+6y=0-4x+6y=0的圆心坐标是的圆心坐标是()A.(2,3)A.(2,3)B.(-2,3)B.(-2,3)C.(-2,-3)C.(-2,-3)D.(2,-3)D.(2,-3)【解析解析】选选D.D.圆的方程可化为圆的方程可化为(x-2)(x-2)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=13,=13,所以所以圆心坐标是圆心坐标是(2,-3).(2,-3).2.2.过点过点A(1,-1),B(-1,1),A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线且圆心在直线x+y-2=0 x+y-2=0上的圆上的圆的
4、方程为的方程为()A.(x-3)A.(x-3)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=4=4B.(x+3)B.(x+3)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4=4C.(x-1)C.(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4=4D.(x+1)D.(x+1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=4=4【解析解析】选选C.C.设圆心设圆心C C的坐标为的坐标为(a,b),(a,b),半径为半径为r,r,因为圆因为圆心心C C在直线在直线x+y-2=0 x+y-2=0上上,所以所以b=2-a.b=2-a.因为因为|CA|CA|2 2=|CB|=|CB|2 2,所所以以(a-1)(a-1)2 2
5、+(2-a+1)+(2-a+1)2 2=(a+1)=(a+1)2 2+(2-a-1)+(2-a-1)2 2.所以所以a=1,b=1.a=1,b=1.所以所以r=2.r=2.所以圆的方程为所以圆的方程为(x-1)(x-1)2 2+(y-+(y-1)1)2 2=4.=4.3.(20163.(2016全国卷全国卷)圆圆x x2 2+y+y2 2-2x-8y+13=0-2x-8y+13=0的圆心到直的圆心到直线线ax+y-1=0 ax+y-1=0 的距离为的距离为1,1,则则a=a=()43A.B.C.3D.234 【解析解析】选选A.A.圆圆x x2 2+y+y2 2-2x-8y+13=0-2x-8
6、y+13=0化为标准方程化为标准方程为为:(x-1):(x-1)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=4,=4,故圆心为故圆心为(1,4),d=(1,4),d=解得解得a=-.a=-.432a4 11a1，4.4.ABCABC的三个顶点分别为的三个顶点分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),则其外接圆的方程为则其外接圆的方程为_._.【解析解析】方法一方法一:设所求圆的方程为设所求圆的方程为x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0,+Dx+Ey+F=0,则根据题意得则根据题意得故所求圆的方程为故所求圆的方程为x x2 2+y+
7、y2 2-4x-2y-20=0.-4x-2y-20=0.答案答案:x x2 2+y+y2 2-4x-2y-20=0.-4x-2y-20=0.D5EF260,2D2EF80,5D5EF500,D4,E2,F20.解得解得方法二方法二:由题意可求得线段由题意可求得线段ACAC的中垂线方程为的中垂线方程为x=2,x=2,线段线段BCBC的中垂线方程为的中垂线方程为x+y-3=0,x+y-3=0,所以圆心是两中垂线的交所以圆心是两中垂线的交点点(2,1),(2,1),半径半径r=r=故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=25,=25,即即x x2 2
8、+y+y2 2-4x-2y-4x-2y-20=0.20=0.答案答案:x x2 2+y+y2 2-4x-2y-20=0-4x-2y-20=0 222 11 55.【母题变式溯源母题变式溯源】题号题号知识点知识点源自教材源自教材1 1圆的几何圆的几何要素要素P124AP124A组组T1T12 2圆的标准方程圆的标准方程P120P120例例3 33 3圆的应用圆的应用P107P107例例5 54 4圆的方程圆的方程P119P119例例2 2考向一考向一 求圆的方程求圆的方程【典例典例1 1】(1)(1)圆心在圆心在y y轴上轴上,半径长为半径长为1,1,且过点且过点A(1,2)A(1,2)的圆的方
9、程是的圆的方程是()A.xA.x2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1=1B.xB.x2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1=1C.(x-1)C.(x-1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1=1D.xD.x2 2+(y-3)+(y-3)2 2=4=4(2)(2)圆心在直线圆心在直线x-2y-3=0 x-2y-3=0上上,且过点且过点A(2,-3),B(-2,-5)A(2,-3),B(-2,-5)的圆的方程为的圆的方程为_._.【解析解析】(1)(1)选选A.A.根据题意可设圆的方程为根据题意可设圆的方程为x x2 2+(y-+(y-b)b)2 2=1,=1,因为圆过点因为圆过点A(1
10、,2),A(1,2),所以所以1 12 2+(2-b)+(2-b)2 2=1,=1,解得解得b=2,b=2,所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为x x2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1.=1.【巧思妙解巧思妙解】选选A.A.因为圆心在因为圆心在y y轴上轴上,所以排除所以排除C;C;因为因为半径长为半径长为1,1,所以排除所以排除D;D;把点把点A A的坐标代入方程知的坐标代入方程知A A选项选项成立成立.(2)(2)设点设点C C为圆心为圆心,因为点因为点C C在直线在直线x-2y-3=0 x-2y-3=0上上,所以可设所以可设点点C C的坐标为的坐标为(2a+3,a).(2a+3,a
11、).又该圆经过又该圆经过A,BA,B两点两点,所以所以|CA|=|CB|,|CA|=|CB|,即即 22(2a32)a3 22(2a32)a5，解得解得a=-2,a=-2,所以圆心所以圆心C C的坐标为的坐标为(-1,-2),(-1,-2),半径半径r=,r=,故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x+1)(x+1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=10.=10.答案答案:(x+1)(x+1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=10=1010【一题多解微课一题多解微课】本例题本例题(2)(2)还可以采用以下方法求解还可以采用以下方法求解:方法一方法一:设所求圆的标准方程为设所求圆的标准方程为
12、(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2,由题意得由题意得 2222222a3br2a5bra2b30 ，解得解得a=-1,b=-2,ra=-1,b=-2,r2 2=10,=10,故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x+1)(x+1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=10.=10.答案答案:(x+1)(x+1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=10=10方法二方法二:设圆的一般方程为设圆的一般方程为x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0,+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为则圆心坐标为 ,由题意得由题意得 DE()22，DE()2()30,22492D
13、3EF0,4252D5EF0,解得解得D=2,E=4,F=-5.D=2,E=4,F=-5.故所求圆的方程为故所求圆的方程为x x2 2+y+y2 2+2x+4y-+2x+4y-5=0.5=0.答案答案:x x2 2+y+y2 2+2x+4y-5=0+2x+4y-5=0【技法点拨技法点拨】1.1.求圆的方程的两种方法求圆的方程的两种方法(1)(1)直接法直接法:根据圆的几何性质根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半直接求出圆心坐标和半径径,进而写出方程进而写出方程.(2)(2)待定系数法待定系数法:根据题意根据题意,选择标准方程与一般方程选择标准方程与一般方程;根据条件列出关于根据条件列出关于a
14、,b,ra,b,r或或D,E,FD,E,F的方程组的方程组;解出解出a,b,ra,b,r或或D,E,F,D,E,F,代入标准方程或一般方程代入标准方程或一般方程.2.2.确定圆心位置的方法确定圆心位置的方法(1)(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上圆心在过切点且与切线垂直的直线上.(2)(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上圆心在圆的任意弦的垂直平分线上.(3)(3)两圆相切时两圆相切时,切点与两圆圆心共线切点与两圆圆心共线.提醒提醒:解答圆的有关问题解答圆的有关问题,应注意数形结合应注意数形结合,充分运用圆充分运用圆的几何性质的几何性质.【同源异考同源异考金榜原创金榜原创】1.1.圆心在圆心
15、在x x轴上轴上,半径长为半径长为2,2,且过点且过点A(2,1)A(2,1)的圆的方程的圆的方程是是()A.(x-2-A.(x-2-)2 2+y+y2 2=4 B.(x-2+=4 B.(x-2+)2 2+y+y2 2=4=4C.(x-2C.(x-2 )2 2+y+y2 2=4 D.(x-2)=4 D.(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4=4333【解析解析】选选C.C.根据题意可设圆的方程为根据题意可设圆的方程为(x-a)(x-a)2 2+y+y2 2=4,=4,因为圆过点因为圆过点A(2,1),A(2,1),所以所以(2-a)(2-a)2 2+1+12 2=4,=4,解得解得
16、a=2a=2 ,所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x-2(x-2 )2 2+y+y2 2=4.=4.332.2.与与x x轴切于原点且过点轴切于原点且过点(2,1)(2,1)的圆的方程是的圆的方程是_._.【解析解析】设圆心坐标为设圆心坐标为(0,r),(0,r),则方程为则方程为x x2 2+(y-r)+(y-r)2 2=r=r2 2,代入点的坐标求得代入点的坐标求得r=,r=,所以圆的方程为所以圆的方程为x x2 2+答案答案:x x2 2+522525(y).242525(y)24考向二考向二 与圆有关的轨迹问题与圆有关的轨迹问题【典例典例2 2】(1)(2018(1)(2018贵阳
17、模拟贵阳模拟)已知圆已知圆C:(x-1)C:(x-1)2 2+(y-+(y-1)1)2 2=9,=9,过点过点A(2,3)A(2,3)作圆作圆C C的任意弦的任意弦,则这些弦的中点则这些弦的中点P P的的轨迹方程为轨迹方程为_._.(2)(2)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中,已知圆已知圆P P在在x x轴上截得线段轴上截得线段长为长为2 2 ,在在y y轴上截得线段长为轴上截得线段长为2 2 .世纪金榜导学号世纪金榜导学号1256025912560259求圆心求圆心P P的轨迹方程的轨迹方程;若若P P点到直线点到直线y=xy=x的距离为的距离为 ,求圆求圆P P的方程的方程
18、.2322【解析解析】(1)(1)设设P(x,y),P(x,y),圆心圆心C(1,1).C(1,1).因为因为P P点是过点点是过点A A的弦的中点的弦的中点,所以所以 又因为又因为 =(2-x,3-y),=(1-x,1-y).=(2-x,3-y),=(1-x,1-y).所以所以(2-x)(2-x)(1-x)+(3-y)(1-x)+(3-y)(1-y)=0.(1-y)=0.所以所以P P点的轨迹方程为点的轨迹方程为 答案答案:PAPC.PA PC2235(x)y2.242235(x)y224【一题多解一题多解】本题还可以采用以下方法本题还可以采用以下方法:由已知得由已知得,PAPC,PAPC,
19、所以由圆的性质知点所以由圆的性质知点P P在以在以ACAC为直径为直径的圆上的圆上,圆心圆心C(1,1),C(1,1),而而ACAC中点为中点为 ,|AC|=,|AC|=所以半径为所以半径为 .所求动点所求动点P P的轨迹方程为的轨迹方程为 答案答案:3(,2)2222 13 15，522235(x)y2.242235(x)y224(2)(2)设设P(x,y),P(x,y),圆圆P P的半径为的半径为r,r,则则y y2 2+2=r+2=r2 2,x,x2 2+3=r+3=r2 2,所所以以y y2 2+2=x+2=x2 2+3,+3,即即y y2 2-x-x2 2=1.=1.所以所以P P点
20、的轨迹方程为点的轨迹方程为y y2 2-x-x2 2=1;=1;设设P P的坐标为的坐标为(x(x0 0,y,y0 0),),则则 即即|x|x0 0-y-y0 0|=1.|=1.所以所以y y0 0=x=x0 01.1.当当y y0 0=x=x0 0+1+1时时,由由y y0 02 2-x-x0 02 2=1,=1,得得(x(x0 0+1)+1)2 2-x-x0 02 2=1,=1,所以所以 所以所以r r2 2=3,=3,00 xy2,2200 x0,y1,所以圆所以圆P P的方程为的方程为x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=3;=3;当当y y0 0=x=x0 0-1-1时时,由
21、由y y0 02 2-x-x0 02 2=1,=1,得得(x(x0 0-1)-1)2 2-x-x0 02 2=1,=1,所以所以 所以所以r r2 2=3,=3,所以圆所以圆P P的方程为的方程为x x2 2+(y+1)+(y+1)2 2=3.=3.综上所述综上所述,圆圆P P的方程为的方程为x x2 2+(y+(y1)1)2 2=3.=3.00 x0,y1,【误区警示误区警示】在求与圆有关的轨迹方程时在求与圆有关的轨迹方程时,一定要做到一定要做到该分类讨论的要分类讨论该分类讨论的要分类讨论,该舍去的点一定要舍去该舍去的点一定要舍去.【一题多变一题多变】若将本例若将本例(1)(1)中点中点A(
22、2,3)A(2,3)换成圆上的点换成圆上的点B(1,4),B(1,4),其他条件不变其他条件不变,则这些弦的中点则这些弦的中点P P的轨迹方程为的轨迹方程为_._.【解析解析】设设P(x,y),P(x,y),圆心圆心C(1,1).C(1,1).当点当点P P与点与点B B不重合时不重合时,因为因为P P点是过点点是过点B B的弦的中点的弦的中点,所以所以 又因为又因为 =(1-x,4-y),=(1-x,1-y).=(1-x,4-y),=(1-x,1-y).所以所以(1-x)(1-x)(1-x)+(4-y)(1-x)+(4-y)(1-y)=0.(1-y)=0.所以点所以点P P的轨迹方程为的轨迹
23、方程为(x-1)(x-1)2 2+PBPC.PBPC259(y)24；当点当点P P与点与点B B重合时重合时,点点P P满足上述方程满足上述方程.综上所述综上所述,点点P P的轨迹方程为的轨迹方程为(x-1)(x-1)2 2+答案答案:(x-1)(x-1)2 2+259(y).24259(y)24【技法点拨技法点拨】与圆有关的轨迹问题的四种求法与圆有关的轨迹问题的四种求法【同源异考同源异考金榜原创金榜原创】1.1.以线段以线段AB:x+y-2=0(0 x2)AB:x+y-2=0(0 x2)为直径的圆的方程为直径的圆的方程为为()A.(x+1)A.(x+1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2
24、=2=2B.(x-1)B.(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=2=2C.(x+1)C.(x+1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=8=8D.(x-1)D.(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=8=8【解析解析】选选B.B.直径的两端点分别为直径的两端点分别为(0,2),(2,0),(0,2),(2,0),所以圆心为所以圆心为(1,1),(1,1),半径为半径为 ,故圆的方程为故圆的方程为(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=2.=2.22.2.已知过已知过A(0,1)A(0,1)和和B(4,a)B(4,a)且与且与x x轴相切的圆只有一个轴相切的圆
25、只有一个,求求a a的值及圆的方程的值及圆的方程.世纪金榜导学号世纪金榜导学号1256026012560260【解析解析】设所求圆的方程为设所求圆的方程为x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0,+Dx+Ey+F=0,因为点因为点A,BA,B在此圆上在此圆上,所以所以E+F+1=0,E+F+1=0,4D+aE+F+a,4D+aE+F+a2 2+16=0,+16=0,又知该圆与又知该圆与x x轴轴(直线直线y=0)y=0)相切相切,所以由所以由=0=0D D2 2-4F=0,4F=0,由由,消去消去E,FE,F可得可得:(1-a)D:(1-a)D2 2+4D+a+4D+a2 2-a+16=
26、0,-a+16=0,由题意方程有唯一解由题意方程有唯一解,当当a=1a=1时时,D=-4,E=-5,F=4;,D=-4,E=-5,F=4;当当a1a1时由时由=0=0可解得可解得a=0,a=0,这时这时D=-8,E=-17,F=16.D=-8,E=-17,F=16.综上可知综上可知,所求所求a a的值为的值为0 0或或1,1,当当a=0a=0时圆的方程为时圆的方程为x x2 2+y y2 2-8x-17y+16=0;-8x-17y+16=0;当当a=1a=1时时,圆的方程为圆的方程为x x2 2+y+y2 2-4x-4x-5y+4=0.5y+4=0.14考向三考向三 与圆有关的最值问题与圆有关
27、的最值问题 高频考点高频考点【典例典例3 3】(1)(1)已知实数已知实数x,yx,y满足方程满足方程x x2 2+y+y2 2-4x+1=0,-4x+1=0,则则世纪金榜导学号世纪金榜导学号1256026112560261 的最大值为的最大值为_;_;y-xy-x的最大值和最小值分别为的最大值和最小值分别为_;_;x x2 2+y+y2 2的最大值和最小值分别为的最大值和最小值分别为_._.yx(2)(2018(2)(2018厦门模拟厦门模拟)设点设点P(x,y)P(x,y)是圆是圆:x:x2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1=1上上的动点的动点,定点定点A(2,0),B(-2,0),A
28、(2,0),B(-2,0),则则 的最大值为的最大值为_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号1256026212560262PA PB 【解析解析】(1)(1)原方程可化为原方程可化为(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=3,=3,表示以表示以(2,0)(2,0)为圆心为圆心,为半径的圆为半径的圆.的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设所以设 =k,=k,即即y=kx.y=kx.当直线当直线y=kxy=kx与圆相切时与圆相切时(如图如图),),斜率斜率k k取取最大值或最小值最大值或最小值,此时此时 ,解得解得k=k=.所以所以 的最大值为的最大值为
29、 .3yx322k0k13yx3yx答案答案:3y-xy-x可看作是直线可看作是直线y=x+by=x+b在在y y轴上的截距轴上的截距.如图所示如图所示,当当直线直线y=x+by=x+b与圆相切时与圆相切时,纵截距纵截距b b取得最大值或最小值取得最大值或最小值,此时此时 =,=,解得解得b=-2b=-2 ,所以所以y-xy-x的最大值的最大值为为-2+,-2+,最小值为最小值为-2-.-2-.20b23666答案答案:-2+,-2-2+,-2-66方法一方法一:x:x2 2+y+y2 2表示圆上的一点与原点距离的平方表示圆上的一点与原点距离的平方,由由平面几何知识知平面几何知识知,在原点和圆
30、心连线与圆的两个交点处在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为又圆心到原点的距离为2.2.所以所以x x2 2+y+y2 2的最大值是的最大值是(2+)(2+)2 2=7+4 ,x=7+4 ,x2 2+y+y2 2的最小值是的最小值是(2-)(2-)2 2=7-4 .=7-4 .3333方法二方法二:由由x x2 2+y+y2 2-4x+1=0,-4x+1=0,得得(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=3.=3.设设 (为参数为参数),),则则x x2 2+y+y2 2=(2+cos)=(2+cos)2 2+(sin)+(sin)2 2=7
31、+4 cos.=7+4 cos.所以当所以当cos=-1cos=-1时时,(x,(x2 2+y+y2 2)minmin=7-4 ,=7-4 ,当当cos=1cos=1时时,(x,(x2 2+y+y2 2)maxmax=7+4 .=7+4 .答案答案:7+4 ,7-4 7+4 ,7-4 x23cos,y3sin3333333(2)(2)由题意由题意,知知 =(2-x,-y),=(-2-x,-y),=(2-x,-y),=(-2-x,-y),所以所以 =x =x2 2+y+y2 2-4,-4,由于点由于点P(x,y)P(x,y)是圆上的点是圆上的点,故其坐故其坐标满足方程标满足方程x x2 2+(y
32、-3)+(y-3)2 2=1,=1,故故x x2 2=-(y-3)=-(y-3)2 2+1,+1,所以所以 =-(y-3)=-(y-3)2 2+1+y+1+y2 2-4=6y-12.-4=6y-12.易知易知2y4,2y4,所以所以,当当y=4y=4时时,的值最大的值最大,最大值为最大值为6 64-12=12.4-12=12.答案答案:1212PA PBPA PBPA PBPA PB【技法点拨技法点拨】求解与圆有关的最值问题的方法求解与圆有关的最值问题的方法(1)(1)借助几何性质求与圆有关的最值问题借助几何性质求与圆有关的最值问题,根据代数式根据代数式的几何意义的几何意义,借助数形结合思想求
33、解借助数形结合思想求解.形如形如=形式的最值问题形式的最值问题,可转化为动直线斜率可转化为动直线斜率的最值问题或转化为线性规划问题的最值问题或转化为线性规划问题;形如形如t=ax+byt=ax+by形式的最值问题形式的最值问题,可转化为动直线截距可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题的最值问题或转化为线性规划问题;ybxa形如形如(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2形式的最值问题形式的最值问题,可转化为动点可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题到定点的距离的平方的最值问题.(2)(2)建立函数关系式求最值建立函数关系式求最值根据题中条件列出相关的函数关系式根据题
34、中条件列出相关的函数关系式,再根据函数知识再根据函数知识或基本不等式求最值或基本不等式求最值.【同源异考同源异考金榜原创金榜原创】命题点命题点1 1借助几何性质求最值的问题借助几何性质求最值的问题1.1.已知已知M(x,y)M(x,y)为圆为圆C:xC:x2 2+y+y2 2-4x-8y+15=0-4x-8y+15=0上任意一点上任意一点.世纪金榜导学号世纪金榜导学号1256026312560263(1)(1)求求x+2yx+2y的最大值的最大值.(2)(2)求求 的最大值和最小值的最大值和最小值.y4x1【解析解析】原方程可化为原方程可化为(x-2)(x-2)2 2+(y-4)+(y-4)2
35、 2=5,=5,表示以表示以(2,4)(2,4)为圆心为圆心,为半径的圆为半径的圆.(1)(1)令令t=x+2y,t=x+2y,则则y=y=可看作是直线可看作是直线y=-x+y=-x+t t在在y y轴上的截距轴上的截距.当直线当直线y=-x+ty=-x+t与圆相切时与圆相切时,纵纵截距截距 t t取得最值取得最值,此时此时 解得解得t=5t=5或或t=15.t=15.所以所以t=x+2yt=x+2y的最大值为的最大值为15.15.5111xtt222，121212121222|22 4t|521 ，(2)(2)的几何意义是圆上一点与点的几何意义是圆上一点与点(-1,4)(-1,4)连线的斜率
36、连线的斜率,所以设所以设 =k,=k,即即y-4=k(x+1).y-4=k(x+1).当直线当直线y=kx+k+4y=kx+k+4与圆相与圆相切时切时,斜率斜率k k取最大值或最小值取最大值或最小值,此时此时 解得解得k k2 2=,=,即即k=k=,所以所以 的最大值为的最大值为 ,最小最小值为值为-.-.y4x1y4x122k4k45k1，5452y4x15252命题点命题点2 2建立函数关系求最值的问题建立函数关系求最值的问题2.2.设点设点P(x,y)P(x,y)是圆是圆:(x-3):(x-3)2 2+y+y2 2=4=4上的动点上的动点,定点定点A(0,2),A(0,2),B(0,-
37、2),B(0,-2),则则|的最大值为的最大值为_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号1256026412560264PAPB【解析解析】由题意由题意,知知 =(-x,2-y),=(-x,-2-y),=(-x,2-y),=(-x,-2-y),所所以以 +=(-2x,-2y),+=(-2x,-2y),由于点由于点P(x,y)P(x,y)是圆上的点是圆上的点,故其故其坐标满足方程坐标满足方程(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=4,=4,故故y y2 2=-(x-3)=-(x-3)2 2+4,+4,所以所以 易知易知1x5,1x5,所以所以,当当x=x=5 5时时,|+|,|+|的值最大的值最大
38、,最大值为最大值为2 =10.2 =10.答案答案:1010PA PBPA PB22PAPB4x4y2 6x5.PA PB6 55 核心素养系列（五十一）核心素养系列（五十一）直观想象直观想象圆的方程应用中的核心素养圆的方程应用中的核心素养以学过的圆的相关知识为基础以学过的圆的相关知识为基础,借助曲线的方程感借助曲线的方程感知一类问题共同特征的知一类问题共同特征的“直观想象直观想象”,然后利用然后利用“直观直观想象想象”解决新问题解决新问题.【典例典例】如图如图,在等腰在等腰ABCABC中中,已知已知|AB|=|AC|,B(-1,|AB|=|AC|,B(-1,0),AC0),AC边的中点为边的
39、中点为D(2,0),D(2,0),则点则点C C的轨迹所包围的图形的的轨迹所包围的图形的面积为面积为_._.【解析解析】由已知由已知|AB|=2|AD|,|AB|=2|AD|,设点设点A(x,y),A(x,y),则则(x+1)(x+1)2 2+y y2 2=4(x-2)=4(x-2)2 2+y+y2 2,所以点所以点A A的轨迹方程为的轨迹方程为(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=4(y0),4(y0),设设C(x,y),C(x,y),由由ACAC边的中点为边的中点为D(2,0)D(2,0)知知A(4-x,A(4-x,-y),-y),所以所以C C的轨迹方程为的轨迹方程为(4-x-3)(4-x-3)2 2+(-y)+(-y)2 2=4,=4,即即(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=4(y0),=4(y0),所以点所以点C C的轨迹所包围的图形面积的轨迹所包围的图形面积为为4.4.答案答案:44
