1、第五节对 数 函 数【教材基础回顾教材基础回顾】1.1.对数的概念对数的概念如果如果a ax x=N(a0=N(a0且且a1),a1),那么那么x x叫做以叫做以a a为底为底N N的对数的对数,记作记作_._.x=logx=loga aN N2.2.对数的性质与运算法则对数的性质与运算法则(1)(1)对数的运算法则对数的运算法则:如果如果a0a0且且a1,M0,N0,a1,M0,N0,那么那么logloga a(MN)=_;(MN)=_;logloga a =_;=_;logloga aM Mn n=_(nR);=_(nR);=log =loga aM.M.logloga aM+logM+l
2、oga aN NMNmnalog Mnmlogloga aM-logM-loga aN Nnlognloga aM M(2)(2)对数的性质对数的性质 =_;=_;logloga aa aN N=_(a0=_(a0且且a1).a1).(3)(3)换底公式换底公式:log:logb bN=N=(a,b(a,b均大于零且不等于均大于零且不等于1).1).alog NaN NN Naalog Nlog b3.3.对数函数的定义、图象与性质对数函数的定义、图象与性质 定定义义函数函数y=logy=loga ax(a0,x(a0,且且a1)a1)叫做对数函数叫做对数函数图图象象a1a10a10a1 性性
3、质质定义域定义域:_:_值域值域:_:_当当x=1x=1时时,y=0,y=0,即过定点即过定点_当当0 x10 x1时时,y0;,y1x1时时,_.,_.当当0 x10 x0;,y0;当当x1x1时时,_.,_.在在(0,+)(0,+)上为上为_在在(0,+)(0,+)上为上为_(0,+)(0,+)(-,+)(-,+)(1,0)(1,0)y0y0y0y0,a1,N0).N=b(a0,a1,N0).2.2.三个关键点三个关键点对数函数图象的画法对数函数图象的画法画对数函数画对数函数y=logy=loga ax x的图象应抓住三个关键点的图象应抓住三个关键点:(a,1),(1,0),(a,1),(
4、1,0),1(,1).a3.3.换底公式的三个重要结论换底公式的三个重要结论 logloga ablogblogb bclogclogc cd=logd=loga ad.d.ab1log b;log amnaanlog blog b;m4.4.对数函数的图象与底数大小的比较对数函数的图象与底数大小的比较如图如图,作直线作直线y=1,y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数标为相应的底数.故故0cd1ab.0cd1ab0,0cb0,0c1,则则()A.logA.loga aclogclogb bc cB.logB.logc calogalogc cb
5、 bC.aC.ac cbccb b【解析解析】选选B.B.对于选项对于选项A:A:因为因为0c1,0c1,所以所以lg c0,lg cb0,ab0,所以所以lg alg b,lg alg b,但不能确定但不能确定lg a,lg blg a,lg b的正负的正负,所以它们的大小不能确定所以它们的大小不能确定;对于选项对于选项B:B:ablg clg clog c,log clg alg b，cclg alg blog a,log b,lg clg c而而lg alg b,lg alg b,两边同乘以一个负数两边同乘以一个负数 改变不等号改变不等号方向方向,所以选项所以选项B B正确正确;对于选项
6、对于选项C:C:利用利用y=xy=xc c在第一象限内是增函数即可得到在第一象限内是增函数即可得到a ac cbbc c,所以所以C C错误错误;对于选项对于选项D:D:利用利用y=cy=cx x在在R R上为减函数易得上为减函数易得c ca ac0,y0,2x-3y0,x0,y0,2x-3y0,所以所以 所以所以 答案答案:2 22x1 x4()()9y3 yxyx9.y4x9y4，32xlog 2.y2.(1)=_.2.(1)=_.(2)(2)已知已知loglog2 23=a,33=a,3b b=7,=7,则则 的值为的值为_._.22221 log 54log 54log5 3 7log
7、2 21【解析解析】(1)(1)原式原式=|log=|log2 25-2|+log5-2|+log2 25 5-1-1=log=log2 25-2-log5-2-log2 25=-2.5=-2.答案答案:-2-2(2)(2)由题意由题意3 3b b=7,=7,所以所以loglog3 37=b.7=b.所以所以 答案答案:22223 76322log 84log(23 7)log 2 21 log 84log 63log(37)2aab2aab2232232log 3log 3 log 72aab.2log 3log 3 log 72aab考向二考向二 对数函数的图象及应用对数函数的图象及应用【
8、典例典例2 2】(1)(2018(1)(2018福州模拟福州模拟)函数函数y=lg|x-1|y=lg|x-1|的图的图象是象是()(2)(2)当当0 x 0 x 时时,4,4x xlog-1a1时不满时不满足条件足条件,当当0a10a1时时,画出两个函数在画出两个函数在 上的图象上的图象,可知可知,f g ,f g ,即即2log2 ,a ,所以所以a a的的取值范围为取值范围为 .1(02，1()21()212222(1)2，【巧思妙解巧思妙解】选选B.B.因为因为0 x ,0 x ,所以所以1414x4x x1,1,所以所以0a1,0a1,排除选项排除选项C,D;C,D;取取a=,x=,a
9、=,x=,则有则有 =2,=1,=2,=1,显然显然4 4x xlogloga ax x不成立不成立,排除选项排除选项A.A.121212124121log2【一题多变一题多变】1.1.若本例若本例(2)(2)变为变为:若不等式若不等式x x2 2-log-loga ax0 x0对对x x 恒成立恒成立,求实数求实数a a的取值范围的取值范围.1(0)2，【解析解析】由由x x2 2-log-loga ax0 x0得得x x2 2logloga ax,x,设设f f1 1(x)=x(x)=x2 2,f f2 2(x)=log(x)=loga ax,x,要使要使x x 时时,不等式不等式x x2
10、 2log1a1时时,显然不成立显然不成立;1(0)2，1(0)2，当当0a10a1时时,如图所示如图所示,要使要使x x2 2logloga ax x在在x x 上恒成立上恒成立,需需f f1 1 f f2 2 ,1(0)2，1()21()2所以有所以有 logloga a ,解得解得a ,a ,所以所以 a1.a1.即实数即实数a a的取值范围是的取值范围是 .21()21211611611)16，2.2.若本例若本例(2)(2)变为变为:当当0 x 0 x 时时,log,loga ax,x,求实求实数数a a的取值范围的取值范围.14x【解析解析】若若 logloga ax x在在x x
11、 成立成立,则则0a1,0a1,且且y=y=的图象在的图象在y=logy=loga ax x图象的下方图象的下方,如图所示如图所示,x1(0,4x由图象知由图象知 所以所以 解得解得 a1.a0lg a+lg b=0(a0且且a1,b0a1,b0且且b1),b1),则函数则函数f(x)=af(x)=ax x与与g(x)=-logg(x)=-logb bx x的图象可能是的图象可能是()【解析解析】选选B.B.因为因为lg a+lg b=0,lg a+lg b=0,所以所以lg ab=0,lg ab=0,所以所以ab=1,ab=1,即即b=,b=,故故g(x)=-logg(x)=-logb bx
12、=x=logloga ax x,则则f(x)f(x)与与g(x)g(x)互为反函数互为反函数,其图象关于直线其图象关于直线y=xy=x对称对称,结合图结合图象知象知,B,B正确正确.1a1alog x2.2.已知函数已知函数f(x)=f(x)=且关于且关于x x的方程的方程f(x)+x-f(x)+x-a=0a=0有且只有一个实根有且只有一个实根,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号12560035125600352xlog x,x0,3,x0，【解析解析】如图如图,在同一坐标系中分别作出在同一坐标系中分别作出y=f(x)y=f(x)与与y=y=-x+a
13、-x+a的图象的图象,其中其中a a表示直线在表示直线在y y轴上的截距轴上的截距,由图可知由图可知,当当a1a1时时,直线直线y=-x+ay=-x+a与与y=f(x)y=f(x)只有一个交点只有一个交点.答案答案:a1a1考向三考向三 对数函数的性质及其应用对数函数的性质及其应用 高频考点高频考点【典例典例3 3】(1)(1)函数函数y=y=的定义域为的定义域为 ()A.(-4,-1)A.(-4,-1)B.(-4,1)B.(-4,1)C.(-1,1)C.(-1,1)D.(-1,1D.(-1,12ln x1x3x4(2)(2018(2)(2018雅安模拟雅安模拟)已知奇函数已知奇函数f(x)f
14、(x)在在R R上是增函数上是增函数,若若a=-f ,b=f(loga=-f ,b=f(log2 24.1),c=f(24.1),c=f(20.80.8),),则则a,b,ca,b,c的的大小关系为大小关系为()A.abcA.abcB.bacB.bacC.cbaC.cbaD.cabD.ca0,a1),(8-ax)(a0,a1),若若f(x)1f(x)1在在区间区间1,21,2上恒成立上恒成立,则实数则实数a a的取值范围为的取值范围为_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号1256003612560036【解析解析】(1)(1)选选C.C.所以所以-1x1,-1xlog5log2 24.124.1
15、20.80.8,结合函数的单调性有结合函数的单调性有f(logf(log2 25)f(log5)f(log2 24.1)f(24.1)f(20.80.8),),即即abc.abc.2x10,x3x40,21(log)5(3)(3)当当a1a1时时,f(x)=log,f(x)=loga a(8-ax)(8-ax)在在1,21,2上是减函数上是减函数,由由f(x)1f(x)1恒成立恒成立,则则f(x)f(x)minmin=log=loga a(8-2a)1,(8-2a)1,解得解得1a .1a .若若0a10a1f(x)1恒成立恒成立,则则f(x)f(x)minmin=log=loga a(8-a
16、)1,(8-a)1,且且8-2a0,8-2a0,所以所以a4,a4,且且a4,alogxloga ab b的不等式的不等式,借助借助y=logy=loga ax x的单调性求的单调性求解解,如果如果a a的取值不确定的取值不确定,需分需分a1a1与与0a10abxb的不等式的不等式,需先将需先将b b化为以化为以a a为底的对数为底的对数式的形式式的形式.【同源异考同源异考金榜原创金榜原创】命题点命题点1 1比较大小比较大小1.1.已知已知a=loga=log2 25,b=log5,b=log5 5(log(log2 25),c=5),c=则则a,b,ca,b,c的大小关系为的大小关系为()A
17、.abcA.abc B.bcaB.bcaC.cbaC.cba D.bacD.ba2,b=log52,b=log5 5(log(log2 25)(0,1),5)(0,1),c=(1,2),c=(1,2),可得可得bca.bcf(-a),f(a)f(-a),则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是()世纪金榜导学号世纪金榜导学号1256003712560037212log x,x0logx,x0，A.(-1,0)(0,1)A.(-1,0)(0,1)B.(-,-1)(1,+)B.(-,-1)(1,+)C.(-1,0)(1,+)C.(-1,0)(1,+)D.(-,-1)(0,1)D.(-,-1)(0
18、,1)【解析解析】选选C.C.由题意可得由题意可得 或或 解得解得a1a1或或-1a0.-1a0,+2x+30,得得-1x3,-1x0(x+2)=0(a0且且a1)a1)恰有恰有4 4个不个不同的实数根同的实数根,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是()A.A.B.(1,4)B.(1,4)C.(1,8)C.(1,8)D.(8,+)D.(8,+)x2()121(,1)4【解析解析】选选D.D.依题意得依题意得f(x+2)=f(-(2-x)=f(x-2),f(x+2)=f(-(2-x)=f(x-2),即即f(x+4)=f(x),f(x+4)=f(x),则函数则函数f(x)f(x)是以是以4 4为周期的函数为周期的函数,结合题结合题意画出函数意画出函数f(x)f(x)在在x(-2,6)x(-2,6)上的图象与函数上的图象与函数y=logy=loga a(x+2)(x+2)的图象的图象,结合图象分析可知结合图象分析可知,要使要使f(x)f(x)与与y=logy=loga a(x+2)(x+2)的图象有的图象有4 4个不同的交点个不同的交点,则有则有 由此解得由此解得a8,a8,即即a a的取值范围是的取值范围是(8,+).(8,+).aa1,log621,
