1、3.4函数的应用()1.能够运用指数函数、对数函数、幂函数的性质来解决某些简单的实际问题.2.了解和体会函数模型在社会生活及科研中的广泛应用.3.培养学生应用数学的意识以及分析问题、解决问题的能力.1231.指数型函数增长的函数模型指数函数y=ax(a1)经复合可得到的指数型函数,指数型函数变化较快.例如,生活中经常接触的储蓄问题,也就是增长率问题,就是指数型函数.指数型函数增长的快慢随底数的不同而不同.知识拓展复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算做本金,再计算下一期的利息.我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计息的储蓄.在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题,如
2、果基础量为a,平均增长率为r,那么对于时间x的总量y=a(1+r)x,解决平均增长率的问题,可用此公式建立函数式.123【做一做1】在我国西北部,某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为()解析:依题意,知y=(1+10.4%)x,因此是指数函数.答案:D1232.对数型函数增长的函数模型对数函数y=logax(a1)经复合可得到对数型函数,对数型函数增长的特点是先快后慢.【做一做2】以下是三个函数y1,y2,y3随x变化的函数值列表:其中,关于x有可能成对数型函数变化的函数是.解析:根据表中数据,可判断y3增长得比
3、较平缓,符合对数型函数的增长情况.答案:y31233.幂函数型增长的函数模型幂函数y=xn(n0)经过复合可以得到幂函数型函数,其增长变化率也较快.随着x的增大,y=xn(n0)与y=ax(a1)的增长速度比较,y=ax(a1)增长得快.123【做一做3】今有一组实验数据如下:现准备用下列函数中的一个表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是()A.v=log2tD.v=2t-2答案:C一、幂函数、指数函数、对数函数三种函数模型的增长情况比较剖析:一般地,对于指数函数 y=ax(a1)和幂函数y=xn(n0),通过探索可以发现,在区间(0,+)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定变化范围内,a
4、x会小于xn,但由于ax的增长快于xn的增长,因此总存在一个x0,当xx0时,就会有axxn.同样地,对于对数函数y=logax(a1)和幂函数y=xn(n0),在区间(0,+)上,随着x的增长,logax增长得越来越慢,尽管在x的一定变化范围内,logax可能会大于xn,但是由于logax的增长慢于xn的增长,因此总存在一个x0,当xx0时,就会有logax1),y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上,随着x的增大,y=ax(a1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度,而y=logax(a1)的增长速度则会
5、越来越慢,因此,总会存在一个x0,当xx0时,就会有logaxxnax.函数y=ax(0a1),y=logax(0a1),y=xn(n0)都是减函数,它们在区间(0,+)上的递减速度都是先快后慢,y=ax(0a1),y=xn(n0.02=|1.35-1.37|,用y=-0.80.5x+1.4作模拟函数较好.反思对于给出一组数据拟合函数模型的题目,应根据数据找出比较合理的函数模型.根据数据特点,可能有多种结果,因此用哪一个还需结合实情选择.题型一题型二题型三【变式训练3】某地区今年1,2,3月患某种传染病的人数分别为52,61,68人.为了预测以后各月的患病人数,甲选择了模型y=ax2+bx+c
6、,乙选择了模型y=pqx+r,其中y为患病人数,x为月份,a,b,c,p,q,r都是常数.结果4,5,6月份的患病人数分别为74,78,83人,你认为谁选择的模型较好?题型一题型二题型三题型一题型二题型三1 2 3 4 5 61下列所给函数,增长最快的是()A.y=5x B.y=x5C.y=log5xD.y=5x解析:在一次函数、幂函数、对数函数和指数函数中,增长最快的是指数函数y=5x,故选D.答案:D1 2 3 4 5 62某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂1次(由1个分裂成2个),则这种细菌(在培养过程中不考虑死亡等意外情况)由1个分裂成4 096个需经过()A.12小时B.4小时C.
7、3小时D.2小时解析:设共分裂了x次,则有2x=4 096,因此2x=212,即x=12.因为每15分钟分裂1次,所以分裂12次共需1512=180分钟,即3小时.答案:C1 2 3 4 5 63某人在2012年9月1日到银行存入一年期a元,若每到第二年的这一天取出,再连本带利存入银行(假设银行年利率不变,为r%),则到2017年9月1日他可取出存款()A.a(1+r%)6(元)B.a(1+r%)5(元)C.a+6(1+r%)a(元)D.a+5(1+r%)a(元)解析:2013年9月1日可取存款a+ar%=a(1+r%)元,2014年9月1日可取存款a(1+r%)+a(1+r%)r%=a(1+r%)2元,同理可得,2017年9月1日可取存款a(1+r%)5元.答案:B1 2 3 4 5 64某研究小组在一项实验中获得一组关于y,t之间的数据,将其整理后得到的散点图如图所示,下列函数中,最能近似刻画y与t之间的关系的是()A.y=2tB.y=2t2C.y=t3D.y=log2t解析:此曲线符合对数函数的变化趋势.答案:D1 2 3 4 5 6答案:4.9百帕 1 2 3 4 5 66已知某工厂生产某种产品的月产量y(单位:万件)与月份x满足关系y=a0.5x+b,现已知该厂今年1月,2月生产该产品分别为1万件,1.5万件,则此厂3月份该产品的产量为.答案:1.75万件
