1、 正态分布在统计学中是很重要的分布。正态分布在统计学中是很重要的分布。离散型随机变量最多取可列个不同值，人们感兴趣离散型随机变量最多取可列个不同值，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，通常连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，通常感兴趣的是它落在某个区间的概率。感兴趣的是它落在某个区间的概率。它取任何一个它取任何一个实数的概率都为实数的概率都为0 0离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用连续型随机变量的概
2、率分布规律用密度函数（曲线）密度函数（曲线）描述。描述。复习复习100100个产品尺寸的个产品尺寸的频率分布直方图频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535 产品 尺寸（mm)频率频率组距组距各条形状面积有什么特点？各条形状面积有什么特点？为产品在该区间上的频率，所有的面积之和为为产品在该区间上的频率，所有的面积之和为1200200个产品尺寸的个产品尺寸的频率分布直方图频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535 产品产品 尺寸尺寸（mm)mm)频率频率组距组距复习复习样本容量增大时样本容量增大时频率分布直方
3、图频率分布直方图频率组距产品 尺寸(mm)总体密度曲线复习复习产品 尺寸(mm)总体密度曲线频率组距复习复习样本容量增大时样本容量增大时频率分布直方图频率分布直方图 这个试验是英国科学家这个试验是英国科学家高尔顿设计的高尔顿设计的,具体如下具体如下:在一在一块木板上块木板上,订上订上n+1层钉子层钉子,第第1层层2个钉子个钉子,第第2层层3个钉子个钉子,第第n+1层层n+2个钉子个钉子,这些钉子这些钉子所构成的图形跟杨辉三角形所构成的图形跟杨辉三角形差不多差不多.自上端放入一小球自上端放入一小球,任任其自由下落其自由下落,在下落过程中小在下落过程中小球碰到钉子时球碰到钉子时,从左边落下的从左边
4、落下的概率是概率是P,从右边落下的概率是从右边落下的概率是1-P,碰到下一排也是如此碰到下一排也是如此.最最后落入底板中的某个格后落入底板中的某个格.引入引入.,.,图可以画出频率分布直方标为纵坐入各个球槽内的频率值以小球落横坐标以球槽的编号为布规律角度探究一下小球的分我们进一步从频率的况个球槽内的小球分布情落在在各验次数的增加为了更好地考察随着试/组距组距引入引入组距为组距为1 1正态曲线指的是一个函数的图象，这个函数就是连续正态曲线指的是一个函数的图象，这个函数就是连续性随机变量的性随机变量的概率密度函数概率密度函数.34.2,图图线线会会越越来来越越像像一一条条钟钟形形曲曲这这个个频频率
5、率直直方方图图的的形形状状随随着着重重复复次次数数的的增增加加34.2图图Oxy1 1、正态曲线的定义：、正态曲线的定义：新知一新知一.34.2,图图线线会会越越来来越越像像一一条条钟钟形形曲曲这这个个频频率率直直方方图图的的形形状状随随着着重重复复次次数数的的增增加加34.2图图Oxy22()21()2xf xe),(x2 2、正态曲线的函数解析式：、正态曲线的函数解析式：新知一新知一22()21()2xf xe),(x(1)函数的自变量是函数的自变量是x，定义域为，定义域为(-,+)(2)含有两个常数，含有两个常数，和和e(3)含有两个参数，含有两个参数，和和 其中其中为任意的实数，但为任
6、意的实数，但 必须为正数必须为正数连续性随机变量的概率密度函数连续性随机变量的概率密度函数3 3、正态曲线解析式的特点：、正态曲线解析式的特点：新知一新知一(4)解析式前有个正的系数为解析式前有个正的系数为 ，后面是一个以，后面是一个以e为底数的指数型函数，其幂指数为底数的指数型函数，其幂指数 是一个非正是一个非正数，数，在两个位置出现，两者需一致在两个位置出现，两者需一致21222)(x22()21()2xf xe),(x连续性随机变量的概率密度函数连续性随机变量的概率密度函数3 3、正态曲线解析式的特点：、正态曲线解析式的特点：新知一新知一补充例题补充例题14)1(222)(2222222
7、1)(.21)(.22)(.)0(,21)(.1xxxxexfDexfCexfBexfA都是实数函数的是：下列函数是正态密度例并指出两个参数的取值并指出两个参数的取值数。，试写出其概率密度函，：已知变式201补充例题补充例题1/组距组距34.2图图Oxy22()21()2xf xe),(x新知二新知二若用若用X X表示落下的小球第表示落下的小球第1 1次与高尔顿板底部接触时的次与高尔顿板底部接触时的坐标坐标,则则X X是一个随机变量是一个随机变量.X X落在区间落在区间(a,b(a,b的概率的概率（阴影部分的面积阴影部分的面积）为）为:badxxbXaP)()(,0 a b思考：思考：你能否求
8、出小球落你能否求出小球落在（在（a,ba,b上的概率吗？上的概率吗？22()21()2xf xe),(x新知二新知二 .,NX,X.,N,).ondistributinormal(X,dxxbXaPX,ba,22ba,为为则则记记服服从从正正态态分分布布如如果果随随机机变变量量记记作作因因此此正正态态分分布布常常确确定定和和态态分分布布完完全全由由参参数数正正的的分分布布为为则则称称满满足足随随机机变变量量如如果果对对于于任任何何实实数数一一般般地地正正态态分分布布.,;,计可以用样本标准差去估小的特征数动大是衡量随机变量总体波用样本均值去估计可以平的特征数是反映随机变量取值水参数是离散型随机
9、变量吗？则问：若随机变量XNX),(2新知二新知二)21(),2,2()1(2DN求、设随机变量的概率密度函数求、若2),25.0,1()2(N)13()12(,222)()3(8)2(2DERxexx及求的概率分布密度函数是、若随机变量，补充例题补充例题2012-1-2xy-3=-1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2具有具有两头低、中间高、左右对称两头低、中间高、左右对称的的基本特征基本特征22()21(),(,)2xxex 012-1-2xy-3=-1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2（1 1）曲线在）曲线在x
10、轴的上方，与轴的上方，与x轴不相交轴不相交.（2）曲线是）曲线是单峰单峰的的,它关于直线它关于直线x=对称对称.22()21(),(,)2xxex x=x=x=问：若正态曲线是偶函数，当且仅当它所对应的正问：若正态曲线是偶函数，当且仅当它所对应的正态总体的期望值为多少？态总体的期望值为多少？012-1-2xy-3=-1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2（1 1）曲线在）曲线在x轴的上方，与轴的上方，与x轴不相交轴不相交.（2）曲线是）曲线是单峰单峰的的,它关于直线它关于直线x=对称对称.（4）曲线与）曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为1。（3）曲线在）
11、曲线在x=处达到峰值处达到峰值(最高点最高点)1 1 2222()21(),(,)2xxex x=x=x=21,0(（，（，+）（1）当 =时,函数值为最大.(3)的图象关于 对称.（2）的值域为 （4）当 时 为增函数.当 时 为减函数.)(xf)(xfxxx)(xf)(xf012-1-2xy-33=0=1标准正态曲线标准正态曲线=x正态总体正态总体的函数表示式的函数表示式222)(21)(xexf),(x21,0(（，（，+）（1）当 =时,函数值为最大.(3)的图象关于 对称.（2）的值域为 （4）当 时 为增函数.当 时 为减函数.)(xf)(xfxxx)(xf)(xf012-1-2x
12、y-33=0=1标准正态曲线标准正态曲线=x 例例3、标准正态总体的函数为、标准正态总体的函数为（1）证明）证明f(x)是偶函数；是偶函数；（2）求）求f(x)的最大值；的最大值；221(),(,).2xf xex 练习：练习：1、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函数的最大值等于数的最大值等于 ，求该正态分布的概率密度函数，求该正态分布的概率密度函数的解析式。的解析式。14 220 25 301510 xy535122、如图，是一个正态曲线，、如图，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，的概率
13、密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和求出总体随机变量的期望和方差。方差。（5 5）方差相等、）方差相等、均数不等均数不等的正态分布图示的正态分布图示312=0.5=-1=0=1若若 固定固定,随随 值值的变化而的变化而沿沿x轴平轴平移移,故故 称为位置称为位置参数；参数；（6 6）均数相等、）均数相等、方差不等方差不等的正态分布图示的正态分布图示=0.5=1=2=0若若 固定固定,大大时时,曲线曲线“矮而矮而胖胖”；小时小时,曲线曲线“瘦而高瘦而高”,故故称称 为形状参数。为形状参数。越大，曲线越越大，曲线越“矮胖矮胖”，表示总体的分布，表示总体的分布越分散越分散；越小，曲线越越小，曲线
14、越“瘦高瘦高”，表示总体的分布，表示总体的分布越集中越集中.的意义的意义产品 尺寸(mm)x1x2总体平均数总体平均数反映总体随机变量的反映总体随机变量的 平均水平平均水平x3x4平均数=产品 尺寸(mm)总体平均数总体平均数反映总体随机变量的反映总体随机变量的 平均水平平均水平总体标准差总体标准差反映总体随机变量的反映总体随机变量的 集中与分散的程度集中与分散的程度平均数平均数 的意义的意义1 2 例例4 4、把一个正态曲线、把一个正态曲线a a沿着横轴方向向右移动沿着横轴方向向右移动2 2个单个单位，得到新的一条曲线位，得到新的一条曲线b b。下列说法中不正确的是。下列说法中不正确的是（）
15、A.A.曲线曲线b b仍然是正态曲线；仍然是正态曲线；B.B.曲线曲线a a和曲线和曲线b b的最高点的纵坐标相等的最高点的纵坐标相等;C.C.以曲线以曲线b b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a a为为概率密度曲线的总体的期望大概率密度曲线的总体的期望大2;2;D.D.以曲线以曲线b b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a a为为概率密度曲线的总体的方差大概率密度曲线的总体的方差大2 2。C C新知四新知四正态曲线下的面积规律（重要）正态曲线下的面积规律（重要）1 1、X X轴与正态曲线所夹面积恒等于轴与正态曲线所夹面积恒
16、等于1 1 2 2、对称区域、对称区域面积相等。面积相等。S1S2X=概率概率-a-a+a+aS3S4 对称区域对称区域面积相等。面积相等。S(-x1,-x2)-x1 -x2 x2 x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)X=新知四新知四正态曲线下的面积规律（重要）正态曲线下的面积规律（重要）概率概率新知五新知五特殊区间的概率特殊区间的概率-a+ax=若若XN ,则对于任何实数则对于任何实数a0,概率概率 2(,),()()aaPaxax dx ()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.PXPXPX特别地有（熟记）特别地有（熟记）新知五新知五特殊区间的概率特殊区间的概率
17、我们从上图看到，正态总体在我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有以外取值的概率只有4.6，在，在 以外以外取值的概率只有取值的概率只有0.3。2,23,3 由于这些概率值很小（一般不超过由于这些概率值很小（一般不超过5 ），），通常称这些情况发生为通常称这些情况发生为小概率事件小概率事件。()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.PXPXPX新知五新知五特殊区间的概率特殊区间的概率例例5、在某次数学考试中，考生的成绩、在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个正服从一个正态分布，即态分布，即 N(90,100).（1）试求考试成绩）试求考试成绩 位于区间位于区间(70,
18、110上的概率是上的概率是多少？多少？（2）若这次考试共有）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩名考生，试估计考试成绩在在(80,100间的考生大约有多少人？间的考生大约有多少人？2、已知、已知XN(0,1)，则，则X在区间在区间 内取值的概率内取值的概率等于（等于（）A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.02283、设离散型随机变量、设离散型随机变量XN(0,1),则则 =,=.4、若、若XN(5,1),求求P(5X6)，P(6X7).(,2)(0)P X(22)PX D0.50.9544练习：练习：1、已知一次考试共有、已知一次考试共有60名同学参加，考生的
19、名同学参加，考生的成绩成绩X ，据此估计，大约应有，据此估计，大约应有57人的分人的分数在下列哪个区间内？（数在下列哪个区间内？（）A.(90,110 B.(95,125 C.(100,120 D.(105,1152(100,5)C0)(),(2 aXPaNX为一个实数，则若20/320/3作业：作业：1 1、袋中有、袋中有5 5个大小相同的小球，其中个大小相同的小球，其中1 1个小球个小球和和4 4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球数黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球数X X的期望和方差的期望和方差(必须先求分布列必须先求分布列)23()1(3)43()11(2XPNXXPNX，求，、设，求，、设
