1、第四节平行关系的判定及其性质第四节平行关系的判定及其性质 基础梳理基础梳理1.平行直线(1)定义：_不相交的两条直线叫做平行线(2)公理4：平行于_的两条直线互相平行(3)线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，_的平面和这个平面相交，那么这条直线就和_平行(4)面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的_平行(5)线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于_，那么这两条直线平行2.直线与平面平行(1)定义：直线a和平面a_，叫做直线与平面平行(2)线面平行的判定定理：如果_的一条直线和_的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行(3)面面平行的性质：如果两平面互
2、相平行，那么一个平面内的_平行于另一个平面3.平面与平面平行(1)定义：如果两个平面_，那么这两个平面叫做平行平面(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有_平行于另一个平面，那么这两个平面平行(3)判定定理的推论：如果一个平面内的_分别平行于另一个平面内的_，则这两个平面平行(4)线面垂直的性质：如果两平面垂直于_，则这两个平面平行(5)平行公理：如果两平面平行于_，则这两个平面平行答案：1.(1)同一平面内(2)同一条直线(3)经过这条直线两平面的交线(4)交线(5)同一平面2.(1)没有公共点(2)平面外平面内(3)任意一条直线3.(1)没有公共点(2)两条相交直线(3)两条相交直线两条
3、直线(4)同一直线(5)同一平面 基础达标基础达标1.(教材改编题)已知直线a，b，平面a，满足aa，则使ba的条件为()2.A.ba B.ba且b a3.C.a与b异面 D.a与b不相交4.2.(教材改编题)如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是()5.A.平行 B.相交6.C.在平面内 D.平行或在平面内BD3.(2010湖北)用a，b，c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若ay，by，则ab；若ay，by，则ab.其中正确的命题是()B.C.D.解析：根据平行直线的传递性可知正确；在长方体模型中
4、容易观察出中a，c还可以平行或异面；中a，b还可以相交或异面；是真命题，故C正确C4.有一木块如图所示，点P在平面AC内，棱BC平行于平面AC及棱BC，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，N为()A.0 B.1 C.2 D.无数解析：由题意知，点P与直线BC确定一平面a，设a与面AC交于直线l，由BC平行平面AC及棱BC知，lBCBC，故只有1种锯法B5.在ABC中，AB=5，AC=7，A=60，G为重心，过G的平面a与BC平行，ABa=M，ACa=N，则MN=_.解析：如图，由题意知MN綊BC，BC2=AC2+AB2-2ACABcos A=49+25-275 =39，M
5、N=.2 3932 39312答案：1.B2.D3.C解析：根据平行直线的传递性可知正确；在长方体模型中容易观察出中a，c还可以平行或异面；中a，b还可以相交或异面；是真命题，故C正确4.B解析：由题意知，点P与直线BC确定一平面a，设a与面AC交于直线l，由BC平行平面AC及棱BC知，lBCBC，故只有1种锯法2 395.32/,32222ABcos A=39,2 39.3MNBCBCACABACMN解析：如图，由题意知基础达标基础达标题型一线线平行题型一线线平行【例1】已知四边形ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，且ACBD.求证：四边形EFGH是矩形
6、证明证明：如图，连接BD.EH是ABD的中位线，EHBD，EH=1/2BD.又FG是CBD的中位线，FGBD，FG=1/2BD.FGEH，且FG=EH，四边形EFGH是平行四边形ACBD，HGAC，HEBD，HGHE，平行四边形EFGH为矩形变式变式1-11-1如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，在四棱锥P-ABCD中，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：APGH.证明：如图，连接AC交BD于O，连接MO，四边形ABCD是平行四边形，AO=OC，又PM=MC，APMO.AP 平面DBM，MO平面DBM，AP平面DBM.平面A
7、PGH平面DBM=GH，APGH.题型二线面平行题型二线面平行【例2】(2010浙江改编)如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，ABC=120，E为线段AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成ADE，使平面ADE平面BCDE，F为线段AC的中点求证：BF平面ADE.证明：如图，取AD的中点G，连接GF，GE.由题意易知，FG1/2CD，FG=CD，又BECD，BE=1/2CD，所以FGBE，FG=BE，故四边形BEGF为平行四边形所以BFEG，又EG平面ADE，BF 平面ADE，所以BF平面ADE.变式变式2-12-1(2011潍坊模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面是菱形，对角线AC与B
8、D相交于点O，E、F分别是BC、AP的中点求证：EF平面PCD.证明：如图，取PD的中点G，连接FG、CG，FG是PAD的中位线，FG 1/2 AD.在菱形ABCD中，AD BC，又E为BC的中点，CE FG，四边形EFGC是平行四边形，EFCG.又EF 面PCD，CG面PCD，EF面PCD./题型三面面平行题型三面面平行【例3】如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1.求证：平面AB1C平面A1C1D.变式变式3-13-1如图所示，平面a平面b，点Aa，Ca，点Bb，Db，点E，F分别在线段AB，CD上，且AEEB=CFFD.求证：EFb.证明：当AB，CD在同一平面内时，由ab，a
9、平面ABDC=AC，b平面ABDC=BD，ACBD.AEEB=CFFD，EFBD.又EFb，BDb，EFb.当AB与CD异面时，如图，设平面ACDb=DH，且DH=AC.ab，a平面ACDH=AC，ACDH，四边形ACDH是平行四边形在AH上取一点G，使AGGH=CFFD.又AEEB=CFFD，GFHD，EGBH.又EGGF=G，平面EFG平面b.EF平面EFG，FEb.综上，EFb.链接高考链接高考1.(2010山东)在空间，下列命题正确的是()A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行知识准备：1.理解平行投影
10、、中心投影的概念；2.知道平面与平面的位置关系；3.知道线面平行与垂直的判定与性质答案：D解析：由于两条平行直线的平行投影可以平行也可以重合，因此A不对平行于同一直线的两个平面可以平行也可以相交，故B不对垂直于同一平面的两个平面可以相交也可以平行，故C不对由于垂直于同一平面的两条直线平行，故D正确2.(2010陕西)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E、F分别是PB，PC的中点证明：EF平面PAD；知识准备：知道空间几何体的线面平行定理；解：在PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，EFBC.又BCAD，EFAD.又AD平面PAD，EF 平面PAD.EF平面PAD.
