1、1二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 应用应用用多项式近似表示函数用多项式近似表示函数理论分析理论分析近似计算近似计算5.3 泰勒泰勒 (Taylor)公式公式 2特点特点:)(01xp)(0 xf)(0 xf 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立)(xfxy)(xfy o)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分应用中已知近似公式在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题需要解决的问题如何提高精度如何提高精度?如何估计误差如何估计误差?xx 的一次多
2、项式的一次多项式31.求求 n 次近似多项式次近似多项式要求要求:,)(xpn)(0!212xpan,)(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf!21令令)(xpn则则)(xpn)(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan,)(0 xf,)()(00 xfxpn)(01xpan,)(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)()1(nnxxann,)()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa)()()
3、(0202014)0(之间与在nx )()(10nnxxxR )(2)1()(0)(xnRnnnn2.余项估计余项估计)()()(xpxfxRnn令令(称为余项称为余项),)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn10)()(nnxxxRnnxnR)(1()(011 )(1()(011nnxnR1022)()1()(nnxnnR!)1()()1(nRnn则有则有)(0 xRn0)(0 xRn0)(0)(xRnn0 x)01(之间与在xx)102(之间与在x5)()()(xpxfxRnn10)()(nnxxxR!)1()()1(nRnn)0(之间与在xx,0)()1(xpnn10)1()(
4、!)1()()(nnnxxnfxR)()()1()1(xfxRnnn时时的某邻域内的某邻域内当在当在Mxfxn )()1(0)0(之间与在xx10!)1()(nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn6公式公式 称为称为 的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式.)(xf公式公式 称为称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项阶泰勒公式的拉格朗日余项.泰勒中值定理泰勒中值定理:内具有的某开区间在包含若),()(0baxxf1n直到阶的导数阶的导数,),(bax时时,有有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中其中10)1()(!)1
5、()()(nnnxxnfxR则当则当)0(之间与在xx7公式公式 称为称为n 阶泰勒公式的佩亚诺阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项余项.在不需要余项的精确表达式时在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为泰勒公式可写为)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR注意到注意到*可以证明可以证明:阶的连续导数阶的连续导数有直到有直到在点在点nxxf0)(式成立式成立8特例特例:(1)当当 n=0 时时,泰勒公式变为泰勒公式变为)(xf)(0 xf)(0 xxf(2)当当 n=1 时时,泰勒公式变为泰勒公式
6、变为给出拉格朗日中值定理给出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可见可见)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 误差误差)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(!)1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx9称为麦克劳林（称为麦克劳林（Maclaurin）公式）公式.,)10(,00 xx则有则有)(xf)0(fxf)0(1)1(!)1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰
7、勒公式中若取在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(!)1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx)(xf)0(fxf)0(,)()1(Mxfn则有误差估计式则有误差估计式1!)1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的区间上若在公式成立的区间上由此得近似公式由此得近似公式10二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式xexf)()1(,)()(xkexf),2,1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中其中)(xRn!)1(n)10
8、(1nxxe11)sin(xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x!)12(12mxm)(2xRm其中其中)(2xRm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,)1(1m),2,1(m1)1(m)10(12mx!)12(m)cos()1(xm12!)2(2mxmxxfcos)()3(类似可得类似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中其中)(12xRm!)22(m)cos()1(1xm)10(m)1(22mx13)1()1()()4(xxxf)()(xfk)1(x1x2xnx)(xRn其中其中)(xRn11)1(!)1()()1(nn
9、xxnn)10(kxk)1)(1()1()1()1()0()(kfk),2,1(k!2 )1(!n)1()1(n14)1()1ln()()5(xxxf已知已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中其中)(xRn11)1(1)1(nnnxxn)10(1)1(n类似可得类似可得)()(xfkkkxk)1(!)1()1(1),2,1(k15三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差误差1!)1()(nnxnMxRM 为为)()1(xfn在包含在包含 0,x 的某区间上的上界的某区间上的上界.需解问题的类型需解问题的类型:1)已知已知 x 和误差限和误差
10、限,要求确定项数要求确定项数 n;2)已知项数已知项数 n 和和 x,计算近似值并估计误差计算近似值并估计误差;3)已知项数已知项数 n 和误差限和误差限,确定公式中确定公式中 x 的适用范围的适用范围.)(xf)0(fxf)0(2!2)0(xf nnxnf!)0()(16已知已知例例1.计算无理数计算无理数 e 的近似值的近似值,使误差不超过使误差不超过.106解解:xe!)1(nxe1nx令令 x=1,得得e)10(!)1(!1!2111nen)10(由于由于,30ee欲使欲使)1(nR!)1(3n610由计算可知当由计算可知当 n=9 时上式成立时上式成立,因此因此e!91!211171
11、8281.2xe1x!33x!nxn!22x的麦克劳林公式为的麦克劳林公式为17说明说明:注意舍入误差对计算结果的影响注意舍入误差对计算结果的影响.本例本例若每项四舍五入到小数点后若每项四舍五入到小数点后 6 位位,则则 各项舍入误差之和不超过各项舍入误差之和不超过,105.076总误差为总误差为6105.076106105这时得到的近似值不能保证误差不超过这时得到的近似值不能保证误差不超过.106因此计算时中间结果应比精度要求多取一位因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .e!91!211118例例2.用近似公式用近似公式!21cos2xx计算计算 cos x 的近似值的近似值,使其精确到
12、使其精确到 0.005,试确定试确定 x 的适用范围的适用范围.解解:近似公式的误差近似公式的误差)cos(!4)(43xxxR244x令令005.0244x解得解得588.0 x即当即当588.0 x时时,由给定的近似公式计算的结果由给定的近似公式计算的结果能准确到能准确到 0.005.192.利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限例例3.求求.43443lim20 xxxx解解:由于由于x431243 x21)1(243x 2)(14321x!21)1(2121243)(x)(2xo用洛必塔法则用洛必塔法则不方便不方便!2x用泰勒公式将分子展到用泰勒公式将分子展到项项,11)1(!)1()(
13、)1(nnxxnnnx!n)1()1(n)1(x1x2x!2 )1()10(x3421)1(243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 2011)1(!)1()()1(nnxxnnnx!n)1()1(n)1(x1x2x!2 )1()10(3.利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式例例4.证明证明).0(82112xxxx证证:21)1(1xx21x2)121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx)10(3225)1(161821xxxx)0(82112xxxx21内容小结内容小结1
14、.泰勒公式泰勒公式其中余项其中余项)(0nxxo当当00 x时为麦克劳林公式时为麦克劳林公式.)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR)0(之间与在xx222.常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式,xe,)1ln(x,sin x,cosx)1(x3.泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1)近似计算近似计算(3)其他应用其他应用求极限求极限,证明不等式证明不等式 等等.(2)利用多项式逼近函数利用多项式逼近函数,xsin例如234224642024612!)12()1(9!917
15、!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy xsin泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近2412!)12()1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsin42246420246xysin!9!7!5!39753xxxxxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近25思考与练习思考与练习 计算计算.3cos2lim402xxexx)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xo
16、xxex127)(lim4441270 xxoxx解解:原式原式26,1,0)(上具有三阶连续导数在设函数xf,0)(,2)1(,1)0(21fff.24)(,f使使一点一点)(xf)(21之间与在其中x,1,0 x由题设对由题设对证证:备用题备用题 1.321)(!31 xf)(21f221)(x)(!2121f )(2121xf有有)(21f221)(x)(!2121f 321)(!31 xf内至少存在证明)1,0(且且得分别令,1,0 x27),0(211)(21f)1,(2123211)(!3)(f3212)(!3)(f )0(1f)(21f22121)(!2)(f)1(2f22121)(!2)(f 1下式减上式下式减上式,得得 )()(48112 ff )()(48112 ff )(241 f )10(令令)(,)(max)(12 fff 24)(f28e)10(!)1(!1!2111nen两边同乘两边同乘 n!en!=整数整数+)10(1ne假设假设 e 为有理数为有理数qp(p,q 为正整数为正整数),则当则当 时时,qn 等式左边为整数等式左边为整数;矛盾矛盾!2.证明证明 e 为无理数为无理数.证证:2n 时时,当当故故 e 为无理数为无理数.等式右边不可能为整数等式右边不可能为整数.
