1、第一讲函数、极限与连续1一、一、集合及其运算（自己复习）集合及其运算（自己复习）二、实数的完备性和确界存在定理二、实数的完备性和确界存在定理 （去掉，可以不看）（去掉，可以不看）实数集实数集 R 和实数轴上的所有点一一对应和实数轴上的所有点一一对应设 X,Y 是两个非空集合,若存在一个对应规则 f,使得,Xx有唯一确定的Yy与之对应,则称 f 为从 X 到 Y 的映射映射,记作.:YXf y 称为 x 在映射 f 下的像像,记作).(xfy x 称为 y 在映射 f 下的原像原像.集合 X 称为映射 f 的定义域定义域;Y 的子集()()R ff XXxxf)(称为 f 的 值域值域.注注:元
2、素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一.XYfxy1、定义、定义4.三、三、映射和函数映射和函数对映射YXf:若YXf)(,则称 f 为满射满射;XYf)(Xf若,2121xxXxx有)()(21xfxf则称 f 为单射单射;若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射双射 或一一映射一一映射.XY)(Xff定义域定义定义5.设数集,RD则称映射RDf:为定义在D 上的函数,记为Dxxfy,)(称为值域.自变量因变量()(),R fy yf x xD 定义域定义域使表达式或实际问题有意义的自变量集合.对实际问题,书写函数时必须写出定义域；基本初等函数：基本初等函数：常数,幂函数,指
3、数函数,对数函数,三角函数，反三角函数.非基本初等函数：非基本初等函数：分段函数等.1、狄利克雷函数例如：)(xf,1,0 x 为有理数x 为无理数3、符号函数1,sgn0,1,xfxxx 0,=0,0,M$,xM(),f xae-ax +极限存在或有极限极限存在或有极限.时时的的极限极限,记作记作或或时时此时又称当此时又称当()f xlim()xf xa+=()().f xa x+x +()f x时时,函数函数x当当的极限可类似的定义.与当():(,)f xR:(,()fRRbb-xAxfx)(lim,0时时,函数函数的极限的极限,0,0,0X,0X,0X当当当Xx Axfx)(limlim
4、()xf xAXxxX Axf)(Axf)(Axf)(时,有时,有时,有不难证明lim()lim()lim().xxxf xAf xf xAM0MAAOxyA几何解释几何解释:例例 证明1lim sin0.xx证证:111()sin0sin,f xAxxx故,0取1,M当xM时,就有1sin0 x因此1lim sin0.xx定义定义3.2 设函数)(xf在点0 x的某去心邻域内有定义,0,0当00 xx时,有 Axf)(则称常数 A 为函数)(xf当0 xx 时的极限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf当若记作AA几何解释几何解释:OAx0 xy)(xfy 自变量趋于有限时函数的极
5、限 例例 证明224lim4.2xxx证证:Axf)(2442xx欲使,0取,则当02x时,就有244,2xx因此,)(Axf只要2,x224lim4.2xxx2,x定义定义 设函数00(,),xxx00():(,)(0f xxxR是常数），若a时0,(0,),0 xx为当或,aR它与f满足下列关系：使得则称()f x的左极限，记作：存在常数恒有0()().f xa xx00(0)lim()xxf xf xa单侧极限单侧极限 (),f xa类似地定义：类似地定义：的右极限.时函数0 xx()f x000lim()lim()lim().xxxxxxf xaf xf xa+-=显然，00|,xxd
6、 d-0 xx 称之为称之为时时()fx的极限为无穷大，的极限为无穷大，记作记作00,Md d$如果如果类似的可以定义00,xxxx 及,xx 时的无穷大。0lim().xxf x=函数极限的归并原理函数极限的归并原理定理定理3.1 Heine定理定理0:()f U xR设为一函数，则注:此定理只能用来证明极限不存在。0()U x对于,nx中的任何数列0lim()xxf xa(a a为有限或无穷).敛于当0()nxx n时，相应的函数值数列()nf x都收0()U x,nx中的任何数列注:此定理只能用来证明极限不存在。当证明极限存在时，此定理绝对不能用。因为 有无穷多个，我们无法验证所有的数列
7、都满足此定理。例例 证明：证明：不存在。不存在。01limsinxx(1)1;2nxn (2)1;22nxn (3)1;22nxn (4)1;2nxn 函数极限的性质函数极限的性质定理定理3.2 设0lim(),xxf xa则0 x(1)唯一性唯一性.()f x时，0,0,M当处是局部有界的，即().f xM在的极限是唯一的.0(,),xU x(2)局部有界性局部有界性.使得0 xx()f x恒有定理定理3.3 若0lim(),xxf xa(2)局部保序性局部保序性.;ab0lim().xxg xb若 使得(3)夹逼性夹逼性.0,0(,),xU x0(,),xU x0,a0,(1)局部保号性局
8、部保号性.则使得若()f x都与a 同号.0,若则()(),f xg x0(,),xU x恒有使得都有()()(),f xxg x且a b,则0lim().xxxaj=00lim(),lim(),xxxxf xAg xB定理定理 3.4(有理运算法则)其中设定理定理 3.5(复合运算法则)设则(3)0lim()()xxf xg x00lim()lim()xxxxf xg x;AB(1)(2)0lim()()xxf x g x=00lim()lim()xxxxf xg x=;AB0()lim()xxf xg x=00lim()lim()xxxxf xg x=,AB(0).B()()()yfgxf
9、 g x=是由复合而成，与()yf u=()ug x=复合函数中，若定义在fg0()U x都有并且则使得000lim(),lim(),xxuug xuf ua=00,d$00(,),xU xd 0,()g xu00lim()lim().xxuuf g xf u=例例 求2311lim.1xxx解解:23221111(1)(1)12limlimlim.1(1)(1)13xxxxxxxxxxxxx22522214125limlim1.41xxxxxxxxxx+=+例例 求求2225lim.4xxxxx+解解:例例 求求32112lim.28xxx骣-桫-解解:23322221122841limli
10、mlim.288242xxxxxxxxxxx骣骣骣+-+鼢珑-=鼢珑鼢珑桫桫-+桫六、两个重要极限六、两个重要极限 1sinlim.10 xxx注 1lim(1)exxx2.例例 求.tanlim0 xxx解解:xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例 求201coslim.xxx解解:原式=22202sinlimxxx22021 sinlim2xxx1222021sinlim2xxx骣=桫例例 求2lim(1).xxx解解:2lim(1)xxx.(2)122lim(1)xxx1lim x2122(1)xx21e例例 求10lim(
11、1).xxx解：令 则当110lim(1)lim(1)e.xttxtx1,xt=0 x故时，.t注注.两个重要极限1sinlim)1(0e)11(lim)2(或e)1(lim10注注:代表相同的表达式思考与练习思考与练习;_sinlim.1xxx;_1sinlim.2xxx;_1sinlim.30 xxx;_)11(lim.4nnn0101elimx例例 求.)cos(sinlim11xxxx解解:原式=2)cos(sinlim211xxxx2)sin1(lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin1 函数极限的存在准则函数极限的存在准则确界定义确界定义设有函数设有函数()R f:
12、,fARR若其值域sup()sup()inf()inf().x Ax Ax Ax Af xR ff xR ff上的上(下)确界，记作有上是()()R ff A的上(下)界(下)界，则称 f在A上有上(下)界，并称()R f在A上的上(下)界，称的上(下)确界是 f 在 A如果如果 f 在在A上既有上界又有下界，则称上既有上界又有下界，则称 f 在在A 上上有界.定理定理3.6 单调有界准则单调有界准则(1)设有函数 f 在区间上单调增上单调增(减减),)()R有上有上(下下)界界,则则存在.lim()xf x每一点的单侧极限存在.(2)设函数 f 是区间 I 上单调函数，则 f 在 I 内即定理定理3.7 Cauchy 收敛定理收敛定理其中其中存在的存在的是任一函数是任一函数,则则设设0:()f U xR0lim()xxf x充分必要条件是充分必要条件是恒有恒有0,0,ed$120,(,),x xU xd12()(),f xf xe-00(,)().U xU xd62P56 1，11(1),12偶,13(1)(2)(6)(7),17(1)(2)
