1、例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函数数.)0(1ln xxxxln是是x1在区间在区间),0(内的原函数内的原函数.如果在区间如果在区间I内，内，定义：定义：可可导导函函数数)(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()(，那那么么函函数数)(xF就就称称为为)(xf导函数为导函数为)(xf，或或dxxf)(在在区区间间I内内原原函函数数.一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理：原函数存在定理：如如果果函函数数)(xf在在区区间间I内内连连续续，简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(
2、1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例 xxcossin xCxcossin （为任意常数）为任意常数）C使使Ix ，都都有有)()(xfxF .(2)若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxF CCxF)(都都是是)(xf的的原原函函数数.（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，)(xF)(xG)(xf则则CxGxF )()(（为任意常数）为任意常数）C证证 )()()()(xGxFxGxF 0)()(xfxfCxGxF )()(（为任意常数）为任意常数）C任意常数
3、任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义：不定积分的定义：在在区区间间I内内，CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量函函数数)(xf的的带带有有任任意意常常数数项项的的原原函函数数称为称为)(xf在区间在区间I内的内的不不定定积积分分，记记为为 dxxf)(.例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横
4、坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的的一一个个原原函函数数.,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）,1 C所求曲线方程为所求曲线方程为.12 xy函函数数)(xf的的原原函函数数的的图图形形称称为为)(xf的的积积分分曲曲线线.显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()(CxFdxxF.)()(CxFxdF结论：结论：微分运算与求不定积
5、分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.实例实例 xx 11.11Cxdxx 启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式.)1(二、二、基本积分表基本积分表基基本本积积分分表表 kCkxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3(Cxxdx说明：说明：,0 x,ln Cxxdx )ln(,0 xx,1)(1xxx ,)ln(Cxxdx,|ln Cxxdx简写为简写为.ln Cxxdx dxx211)4(
6、;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8(xdx2sec;tanCx xdx2sin)9(xdx2csc;cotCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdxsinh)14(;coshCx xdxcosh)15(;sinhCx 例例4 4 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根据积分公式（根据积分公式（2）Cxdxx 11 dxxgxf)
7、()()1(;)()(dxxgdxxf证证 dxxgdxxf)()(dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、三、不定积分的性质不定积分的性质 dxxkf)()2(.)(dxxfk（k是是常常数数，)0 k例例5 5 求积分求积分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 例例6 6 求积分求积分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxd
8、xx 1112.lnarctanCxx 例例7 7 求积分求积分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 例例8 8 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 说明：说明：以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx ,5)0(y,6 C所求曲线方程为所求曲线方程为.
9、6costan xxy基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：)()(xfxF 不定积分的概念：不定积分的概念：CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、四、小结小结思考题思考题符号函数符号函数 0,10,00,1sgn)(xxxxxf在在 内是否存在原函数？为什么？内是否存在原函数？为什么？),(思考题解答思考题解答不存在不存在.假设有原函数假设有原函数)(xF 0,0,0,)(xCxxCxCxxF但但)(xF在在0 x处处不不可可微微，故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在原函数内不存在原函数.),()(xf
10、结论结论每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数都的函数都没有原函数没有原函数.一、一、填空题：填空题：1 1、一个已知的函数，有一个已知的函数，有_个原函数，其中任意个原函数，其中任意两个的差是一个两个的差是一个_；2 2、)(xf的的_称为称为)(xf的不定积分；的不定积分；3 3、把把)(xf的一个原函数的一个原函数)(xF的图形叫做函数的图形叫做函数)(xf的的_，它的方程是，它的方程是)(xFy ，这样不定积，这样不定积 dxxf)(在几何上就表示在几何上就表示_，它的方程是，它的方程是 CxFy )(；4 4、由由)()(xfxF 可 知，在 积 分 曲 线 族可 知，在
11、 积 分 曲 线 族CxFy )()(是任意常数是任意常数C上横坐标相同的点上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此是处作切线，这些切线彼此是_的；的；5 5、若若)(xf在某区间上在某区间上_，则在该区间上，则在该区间上)(xf的的 原函数一定存在；原函数一定存在；练习题练习题6 6、dxxx_ _；7 7、xxdx2_；8 8、dxxx)23(2_；9 9、dxxx)1)(1(3_；1010、dxxx2)1(=_=_._.二二、求求下下列列不不定定积积分分：1 1、dxxx221 2 2、dxxxx325323 3、dxx2cos2 4 4、dxxxx22sincos2cos5 5、dxxx
12、x)11(26 6、xdxxxx2222sec1sin 三三、一一曲曲线线通通过过点点)3,(2e，且且在在任任一一点点处处的的切切线线的的斜斜 率率等等于于该该点点横横坐坐标标的的倒倒数数，求求该该曲曲线线的的方方程程 .四四、证证明明函函数数xxexexeexxxxsinhcoshcoshsinh,212 都都是是和和的的原原函函数数 .一、一、1 1、无穷多、无穷多,常数；常数；2 2、全体原函数；、全体原函数；3 3、积分曲线、积分曲线,积分曲线族；积分曲线族；4 4、平行；、平行；5 5、连续；、连续；6 6、Cx 2552；7 7、Cx 2332；8 8、Cxxx 223323；9
13、 9、Cxxxx 2325332523、1010、Cxxx 252352342.练习题答案练习题答案二、二、1 1、Cxx arctan；2 2、Cxx 3ln2ln)32(52；3 3、Cxx 2sin；Cxx )tan(cot.4；5 5、Cxx 427)7(4；6 6、Cxarcx cottan.三、三、Cxy ln.问题问题 xdx2cos,2sinCx 解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令xt2,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 一、第一类换元法一、第一类换元法在一般情况下：在一般情况下：设
14、设),()(ufuF 则则.)()(CuFduuf如果如果)(xu （可微）（可微）dxxxfxdF)()()(CxFdxxxf)()()()()(xuduuf 由此可得换元法定理由此可得换元法定理设设)(uf具具有有原原函函数数，dxxxf)()()()(xuduuf 第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 dxxg)(化为化为.)()(dxxxf观察重点不同，所得结论不同观察重点不同，所得结论不同.)(xu 可可导导，则有换元公式则有换元公式定理定理1 1例例1 1 求求.2sin xdx解解（一）（一）xdx2sin )2(2
15、sin21xxd;2cos21Cx 解解（二）（二）xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解解（三）（三）xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 例例2 2 求求.231dxx 解解,)23(23121231 xxxdxx 231dxxx)23(23121 duu 121Cu ln21.)23ln(21Cx dxbaxf)(baxuduufa)(1一般地一般地例例3 3 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu1
16、21Cu ln21.)ln21ln(21Cx 例例4 4 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx 221)1(2111CxCx .)1(21112Cxx 例例5 5 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa 例例6 6 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx 例例7 7 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxe
17、edxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 例例8 8 求求.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 例例9 9 求求.12321dxxx 原式原式 dxxxxxxx 123212321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx 例例1010 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1co
18、tCxx 例例1111 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.例例1212 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin2
19、1Cxx 例例1313 求求解解（一）（一）dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.)cotln(cscCxx （使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形）解解（二）（二）dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 类似地可推出类似地可推出.)tanln(secsec Cxxxdx解解例例1414 设设 求求 .,cos)(sin22xxf
20、 )(xf令令xu2sin,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf 例例1515 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx .2arcsinlnCx 问题问题?125 dxxx解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令txsin,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）二、第二类换元法二、第二类换元
21、法其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函数数.证证设设 为为 的原函数的原函数,)(t)()(ttf 令令)()(xxF 则则dxdtdtdxF )()()(ttf ,)(1t 设设)(tx 是单调的、可导的函数，是单调的、可导的函数，)()()()(xtdtttfdxxf 则有换元公式则有换元公式并且并且0)(t，又又设设)()(ttf 具具有有原原函函数数，定理定理2 2第二类积分换元公式第二类积分换元公式 CxFdxxf)()(,)(Cx )()()()(xtdtttfdxxf )(tf ).(xf 说说明明)(xF为为)(xf的的原原函函数数,例例1616 求求解解).0(122
22、adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 2,2t例例1717 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 例例1818 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2,0t
23、tdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 说明说明(1)(1)以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的三角代换并不是绝对的，需根据被积函数
24、的情况来定情况来定.说明说明(2)(2)例例1919 求求dxxx 251（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）21xt 令令,122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解例例2020 求求解解.11dxex xet 1令令,12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx说明说明(3)(3)当分母的阶较高时当分母的阶较高时,可采用可采用倒代换倒代换.1tx 例例2121 求求dxxx )2(17令令tx1,
25、12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct|21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解例例2222 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1,12dttdx dxttt 22411111（分母的阶较高）（分母的阶较高）dttt 231222121dttt 2tu duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 11313.1131232Cxxxx 说明说明(4)(4)当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最
26、小公倍数最小公倍数）lkxx,ntx n例例2323 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 基基本本积积分分表表;coslntan)16(Cxxdx;sinlncot)17(Cxxdx;)tanln(secsec)18(Cxxxdx;)cotln(csccsc)19(Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa ;ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa .
27、)ln(1)24(2222Caxxdxax ;ln211)21(22Caxaxadxax 三、小结三、小结两类积分换元法：两类积分换元法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)思考题思考题求积分求积分.)1(ln)ln(dxxxxp 思考题解答思考题解答dxxxxd)ln1()ln(dxxxxp)1(ln)ln()ln()ln(xxdxxp 1,)lnln(1,1)ln(1pCxxpCpxxp5 5、dxex2_ _ _ _)1(2xed ；6 6、xdx_ _ _ _ _)ln53(xd；练练 习习 题题7 7、29
28、1xdx=_ _ _ _ _)3arctan(xd；8 8、21xxdx_ _ _ _ _)1(2xd；9 9、dtttsin_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；1 10 0、222xadxx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .二二、求求下下列列不不定定积积分分：（第第一一类类换换元元法法）1 1、dxxaxa；2 2、)ln(lnlnxxxdx；3 3、221.1tanxxdxx；4 4、xxeedx；5 5、dxxx321；6 6、dxxxx4sin1cossin；7 7、dxxxxx3cossincossin；8 8、dx
29、xx2491；9 9、dxxx239；10 10、)4(6xxdx；1111、dxxxx)1(arctan ；12 12、dxxexxx)1(1；1313、dxxx2arccos2110；14 14、dxxxxsincostanln.三、三、求下列不定积分：求下列不定积分：（第二类换元法）（第二类换元法）1 1、21xxdx；2 2、32)1(xdx；3 3、xdx21；4 4、dxxaxx2；5 5、设、设 xdxntan,求证：求证：21tan11 nnnIxnI ,并求并求 xdx5tan.练习题答案练习题答案一、一、1 1、CuF)(;；2 2、taxsec 或或taxcsc；3 3、
30、t1；4 4、21；5 5、-2-2；6 6、51；7 7、31；8 8、；9 9、Ct cos2；10 10、Cxaaxaxa )(arcsin22222.二二、1 1、Cxaaxa 22arcsin；2 2、Cx lnlnln；3 3、Cx )1ln(cos2；4 4、Cex arctan；5 5、Cx 233)1(92；6 6、Cx )arctan(sin212；7 7、Cxx 32)cos(sin23；8 8、Cxx 44932arcsin212；9 9、Cxx )9ln(29222；1 10 0、Cxx 4ln24166；1 11 1、Cx 2)(arctan；1 12 2、Cxex
31、exx )1ln()ln(；1 13 3、Cx 10ln210arccos2；1 14 4、Cx 2)tan(ln21.三、三、1 1、Cxxx )1ln(arcsin212；2 2、Cxx 21；3 3、Cxx )21ln(2；4 4、)2(22arcsin32xaxaaxa +Cxaxxa )2(2.问题问题?dxxex解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续导导数数,vuvuuv ,vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部积分公式分部积分公式一、基本内容一、基本内容例例1 1 求积
32、分求积分.cos xdxx解（一）解（一）令令,cosxu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222显然，显然，选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.vu,解（二）解（二）令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx 例例2 2 求积分求积分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）,xu dvdxex 总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦
33、函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 ,使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)u例例3 3 求积分求积分.arctan xdxx解解令令,arctanxu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 例例4 4 求积分求积分.ln3 xdxx解解,ln xu ,443dvxddxx xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161l
34、n4144Cxxx 总结总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .u例例5 5 求积分求积分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 例例6 6 求积分求积分.sin xdxex解解 xd
35、xexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循环形式注意循环形式例例7 7 求积分求积分 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 tdtt22sectan11 tdtse
36、cCtt )tanln(secCxx )1ln(2 dxxxx21arctanxx arctan12 .)1ln(2Cxx 例例 8 8 已已知知)(xf的的一一个个原原函函数数是是2xe,求求 dxxfx)(.解解 dxxfx)()(xxdf,)()(dxxfxxf,)(2 Cedxxfx ),()(xfdxxf 两边同时对两边同时对 求导求导,得得x,2)(2xxexf dxxfx)(dxxfxxf)()(222xex .2Cex 合理选择合理选择 ，正确使用分部积，正确使用分部积分公式分公式vu,dxvuuvdxvu 二、小结二、小结思考题思考题 在接连几次应用分部积分公式时，在接连几次
37、应用分部积分公式时，应注意什么？应注意什么？思考题解答思考题解答注意前后几次所选的注意前后几次所选的 应为同类型函数应为同类型函数.u例例 xdxexcos第一次时若选第一次时若选xucos1 xdxexcosdxxexexx sincos第二次时仍应选第二次时仍应选xusin2 一、填空题：一、填空题：1 1、xdxxsin_；2 2、xdxarcsin_；3 3、计算、计算 xdxx ln2，u可可设设_ _,dv_；4 4、计算、计算 xdxexcos，u可可设设_ _ _,dv_；5 5、计算、计算 xdxx arctan2，u可可设设_ _,dv_；6 6、计计算算 dxxex，u可
38、可设设_ _ _ _ _ _ _,dv_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .二、二、求下列不定积分：求下列不定积分：1 1、dxxx2cos22；2 2、dxxx23)(ln；练练 习习 题题3、nxdxeaxcos；4、dxex3；5、dxx)cos(ln；6、dxxxex232arctan)1(.三三、已已知知xxsin是是)(xf的的原原函函数数，求求 dxxxf)(.四四、设设 CxFdxxf)()(，)(xf可可微微，且且)(xf的的反反函函数数)(1xf 存存在在，则则 CxfFxxfdxxf )()()(111.一一、1 1、Cxxx sincos；2 2、Cxxx 21
39、arcsin；3 3、dxxx2,ln；4 4、,xe xdxcos；5 5、dxxx2,arctan；6 6、dxexx,.二、二、1、Cxxxxxx sincossin21623；2、Cxxxx 6ln6)(ln3)(ln123；3、Cnxnnxanaeax )sincos(22 4、Cxxex )22(33323；练习题答案练习题答案 5 5、Cxxx )sin(ln)cos(ln2；6 6、Cexxx arctan2121；7 7、Cexexexxxx 22.三、三、Cxxx sin2cos.有理函数的定义：有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之.mm
40、mmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其其中中m、n都都是是非非负负整整数数；naaa,10及及mbbb,10都都是是实实数数，并并且且00 a，00 b.一、有理函数的积分一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn 这有理函数是这有理函数是真分式真分式；,)2(mn 这有理函数是这有理函数是假分式假分式；利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和.例例1123 xxx.112 xx难点难点 将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.（
41、1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为kax)(,)()(121axAaxAaxAkkk 有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：其其中中kAAA,21都都是是常常数数.特殊地：特殊地：,1 k分解后为分解后为;axA（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 则分解后为则分解后为042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其其中中iiNM,都都是是常常数数),2,1(ki.特殊地：特殊地：,1 k分解后为分解后为;2qpxxNMx 真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分
42、式之和的待定系数法待定系数法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx ,3)23(,1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 12)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数CBA,取取,0 x1 A取取,1 x1 B取取,2 xBA,并将并将 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2 2例例3 3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(
43、12ACxCBxBA ,1,02,02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得例例4 4 求积分求积分 .)1(12dxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112.)1ln(11lnCxxx 解解例例5 5 求积分求积分 解解.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxxx 2211511251)21ln(52.arctan51)1ln(51)21ln(522Cxxx 例例6 6 求积分求积分解解.11632dxeeexxx 令
44、令6xet ,ln6tx ,6dttdx dxeeexxx 63211dttttt61123 dtttt )1)(1(162dttttt 2133136Ctttt arctan3)1ln(23)1ln(3ln62dttttt 2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx 23)1ln(3ln6 ttdttttd 2221131)1(说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：现三类情况：)1(多项式；多项式；;)()2(naxA;)()3(2nqpxxNMx 讨论积分讨论积分,)(2 dxqpxxNMxn,42
45、222pqpxqpxx 令令tpx 2,422pqa ,2MpNb 则则 dxqpxxNMxn)(2 dtatMtn)(22 dtatbn)(22,222atqpxx ,bMtNMx 记记,1)2(n dxqpxxNMxn)(2122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn这三类积分均可积出这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.,1)1(n dxqpxxNMx2)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab 三角有理式的定义：三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和
46、常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx,2tan12tan22xx ,2sin2coscos22xxx 二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分2sec2tan1cos22xxx ,2tan12tan122xx 令令2tanxu ,12sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （万能置换公式）（万能置换公式）例例7 7 求积分求积分.cossin1sin dxxxx解解,12
47、sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由万能置换公式由万能置换公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(112222duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan)1ln(212u Cu|1|ln2tanxu 2x|2sec|lnx.|2tan1|lnCx 例例8 8 求积分求积分.sin14 dxx解（一）解（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan8
48、32tan24133Cxxxx 解（二）解（二）修改万能置换公式修改万能置换公式,xutan 令令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx 解（三）解（三）可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式.dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc )(cot xd.cot31cot3Cxx 结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法,便知万能置换不一定便知万能置换不一定是最佳方法是最佳方法,故三角有理式的计算中先考故三角有理式的计算中先考虑其它手段虑其它手段
49、,不得已才用万能置换不得已才用万能置换.例例9 9 求积分求积分.sin3sinsin1 dxxxx解解2cos2sin2sinsinBABABA dxxxxsin3sinsin1 dxxxxcos2sin2sin1 dxxxx2cossin4sin1 dxxx2cossin141 dxx2cos141 dxxxxx222cossincossin41 dxx2cos141 dxxdxxxsin141cossin412 dxx2cos141 dxxxdxsin141)(coscos1412 dxx2cos141xcos41 2tanln41x.tan41Cx 讨论类型讨论类型),(nbaxxR)
50、,(necxbaxxR 解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号.例例1010 求积分求积分 dxxxx11解解 令令txx 1,12txx 三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 例例1111 求积分求积分.1113 dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt|1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 说明说明 无理函数去根号
