1、3.1.5 3.1.5 内容小结内容小结第第3 3章章 极限与连续极限与连续3.1 3.1 极极 限限3.1.1 3.1.1 函数的极限函数的极限3.1.2 3.1.2 左极限与右极限左极限与右极限3.1.3 3.1.3 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量3.1.4 3.1.4 极限的性质极限的性质由由上上述述极极限限定定义义，不不难难得得到到如如下下结结论论：lim()xf xA的的充充分分必必要要条条件件是是lim()xf xA且且lim()xf xA.2 2.当当n时时，数数列列nx的的极极限限 定义定义 4 4 如果当如果当n时，数列时，数列nx无限接近于一个无限接近于一个确定的常数
2、确定的常数A，则称常数，则称常数A为数列为数列nx的极限的极限.记为记为 limnnxA（或当（或当n时，时，nxA）.1 1.x0 x时时，)(xf的的极极限限 3.1.2 3.1.2 左极限与右极限左极限与右极限定义定义 5 5 如果如果当当x无限接近于无限接近于定值定值0 x（x可以不等于可以不等于0 x）时，函数时，函数)(xf无限接近于一个确定的常数无限接近于一个确定的常数 A，则称常数则称常数 A 为为函数函数)(xf当当x趋向趋向于于0 x（记为（记为0 xx）时的极限，记为）时的极限，记为 0lim()xxf xA（或当（或当0 xx时，时，Axf)(）.由定义由定义 5 得：
3、讨论得：讨论0 xx时函数时函数)(xf的极限，取决于的极限，取决于0 x的邻近的的邻近的0()x xx处的函数值处的函数值)(xf，而与，而与0 xx时时,)(xf是否是否有定义或如何定义无关。有定义或如何定义无关。由定义由定义 5 5 可知，可知，任意任意0 xR，0limxxCC，00limxxxx.定义定义 6 6 如果当如果当0 xx时，函数时，函数)(xf无限接近于一个确无限接近于一个确定的常数定的常数 A，则称常数，则称常数 A 为函数为函数)(xf当当0 xx时的左极限，时的左极限，记为记为0lim()xxf xA；如果当如果当0 xx时，函数时，函数)(xf无限接近于一个确定
4、的常无限接近于一个确定的常数数 A，则称常数，则称常数 A 为函数为函数)(xf当当0 xx时的右极限，记为时的右极限，记为0lim()xxf xA.2.2.左极限与右极限左极限与右极限左左(右右)极限统称为函数极限统称为函数)(xf的单侧极限的单侧极限.由定义由定义 5 和定义和定义 6 可得，函数可得，函数)(xf的极限与左、右极的极限与左、右极限有以下关系：限有以下关系：0lim()xxf xA的充分必要条件是的充分必要条件是0lim()xxf xA 且且0lim()xxf xA.例例 试求函数试求函数21,(),1,xf xx1100 xxx 在在 0 x和和1x处的极限处的极限.解解
5、 因为因为00lim()lim(1)1xxf xx，而，而200lim()lim0 xxf xx，所以，所以0lim()xf x不存在；因为因为211lim()lim1xxf xx，且，且11lim()lim11xxf x，所以所以1lim()1xf x.3.1.3 3.1.3 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量1.1.无穷小量及其性质无穷小量及其性质定义定义7 7 极限为零的量称为无穷小量，简称无穷小极限为零的量称为无穷小量，简称无穷小.定理定理 1 1 具有极限的函数等于它的极限与一个无具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可以表示为常数与无穷小穷小之和；反之，如果函
6、数可以表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这个函数的极限，即之和，那么该常数就是这个函数的极限，即 0lim()xxf xA的充分必要条件是的充分必要条件是 Axf)(，其中其中是当是当0 xx时的无穷小时的无穷小.2.2.函数极限与无穷小的关系函数极限与无穷小的关系注意注意:定理定理1 1中自变量的变化过程可以换成其他任中自变量的变化过程可以换成其他任何一种情形（何一种情形（x，x，x，0 xx，0 xx）.为了方便，我们常常只用一种情况说明，有为了方便，我们常常只用一种情况说明，有时甚至在极限符号中省略自变量的变化趋势时甚至在极限符号中省略自变量的变化趋势.例例 证明证明coslim0
7、xxx.推论推论 常数与无穷小量之积为无穷小量.3.3.无穷小的性质无穷小的性质性质性质1 1 有限个无穷小的代数和仍然是无穷小.性质性质2 2 有限个无穷小之积仍然是无穷小.性质性质3 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证明明 因因为为xxxxcos1cos，其其中中xcos为为有有界界函函数数，x1为为x时时的的无无穷穷小小量量，由由性性质质 3 3 知知coslim0 xxx.4.4.无穷大量无穷大量（2 2）说一个函数说一个函数)(xf是无穷大，必须指明自变量是无穷大，必须指明自变量 x的变化趋向，如函数的变化趋向，如函数 x1 当当0 x时是无穷大；当时是无穷大；当x时，时，它就
8、不是无穷大，而是无穷小了；它就不是无穷大，而是无穷小了；5.5.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系例例 求求2213lim54xxxx.解解 由于由于22154lim03xxxx，即当，即当1x时时，22543xxx为无穷小，为无穷小，根据根据无穷大与无穷小的关系可知无穷大与无穷小的关系可知，当当1x时，时，22354xxx为无穷大，即为无穷大，即 2213lim54xxxx.性质性质 1 1(惟一惟一性性)若若0lim()xxf xA，0lim()xxf xB，则，则BA.性质性质 2 2(有界性有界性)若若0lim()xxf xA，则在，则在0 x的某个去的某个去心邻域内心邻域内)(
9、xf有界有界.性质性质 3 3(保号性保号性)若若0lim()xxf xA且且0A（或（或0A），），则在则在0 x的某个去心邻域内的某个去心邻域内0)(xf（或（或0)(xf）.推论推论 若在若在0 x的某个去心邻域内，的某个去心邻域内，0)(xf（或（或0)(xf），且），且0lim()xxf xA，则，则 0A （或（或0A）.3.1.4 3.1.4 极限的性质极限的性质 性质性质 4 4（夹逼准则）（夹逼准则）若在若在0 x的某个去心邻域内，有的某个去心邻域内，有 )()()(xhxfxg，00lim()lim()xxxxg xh xA，则则 0lim()xxf xA.3.1.5 3.
10、1.5 内容小结内容小结1 1函数的极限函数的极限2 2左极限与右极限左极限与右极限3 3无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量4 4极限的性质极限的性质3.2.4 3.2.4 内容小结内容小结3.2 3.2 极限的运算极限的运算3.2.1 3.2.1 极限的四则运算法则极限的四则运算法则3.2.2 3.2.2 两个重要极限两个重要极限3.2.3 3.2.3 无穷小的比较无穷小的比较3.2.1 3.2.1 极限的四则运算法则极限的四则运算法则注意：上面的极限中省略了自变量的变化趋势，下同注意：上面的极限中省略了自变量的变化趋势，下同.推论推论 2 2 若若m为正整数，则为正整数，则lim()mf
11、 x=lim()mf x=mA.结论：结论：一般地，一般地，多项式函数在多项式函数在0 x处的极限等于该函数处的极限等于该函数在在0 x处的函数值，即处的函数值，即 01110lim()nnnnxxa xaxa xa=1010100nnnna xaxa xa.例例 求求22232lim2xxxxx.解解 22232lim2xxxxx=22lim(1)(2)lim(1)(2)xxxxxx=22lim(1)1lim(1)3xxxx.结论：结论：对于有理分式函数对于有理分式函数)()(xqxp（其中（其中)(),(xqxp为多项为多项式函数），当式函数），当0 xx时，其极限分为下列几种类型：时，其
12、极限分为下列几种类型：(1)(1)分式的分子分母的极限都存在，且分母极限不分式的分子分母的极限都存在，且分母极限不为零，则函数在为零，则函数在0 x处的极限等于该函数在处的极限等于该函数在0 x处的函数值处的函数值.(2)(2)分子极限不为零，分母极限为零，不能直接运分子极限不为零，分母极限为零，不能直接运用商的极限运算法则，通常是先计算其倒数的极限，再用商的极限运算法则，通常是先计算其倒数的极限，再运用无穷大与无穷小的关系得到其结果运用无穷大与无穷小的关系得到其结果.(3)(3)分子、分母极限皆为零，称为分子、分母极限皆为零，称为0 0型，不能直接型，不能直接运用商的极限运算法则，而是先将分
13、子、分母因式分解，运用商的极限运算法则，而是先将分子、分母因式分解，然后消去无穷小因子，再计算得到其结果然后消去无穷小因子，再计算得到其结果.一般地，有理分式函数，当一般地，有理分式函数，当x时，分子、分母是时，分子、分母是无穷大，称为“无穷大，称为“”型，可得以下结论：”型，可得以下结论：若若00,nmabmn，、为正整数，则为正整数，则 11101110limnnnnmmxmma xaxa xab xbxb xb=,0,.mmamnbmnmn 例例 求求极极限限212limnnn.解解 因因为为2/)1(21nnn，所所以以 212limnnn=11lim22nnn.1 1.第第一一个个重
14、重要要极极限限0sinlim1xxx 3.2.2 3.2.2 两个重要极限两个重要极限注意：注意：第一个重要极限特点：第一个重要极限特点：（1）它是）它是“00”型；型；（2）形式必须一致，即）形式必须一致，即()0sin()lim()xxx中的三个中的三个)(x必必须是一样的须是一样的,)(x是指同一个变量或表达式是指同一个变量或表达式.例例 计算计算 201 coslimxxx.解解 201 coslimxxx=220sin2limxxx=20sin12lim22xxx =20sin12lim22xxx=21121.2 2.第第二二个个重重要要极极限限1lim(1)exxx 注意注意:第二
15、个重要极限特点：第二个重要极限特点：（1 1）它它是是1型型；（2 2）形式必须一致，即）形式必须一致，即 1lim(1)xxx或或 1()0lim(1()xxx中的三个中的三个)(x应该是一样的应该是一样的.)(x是指是指同一个变量或表达式同一个变量或表达式.因而，因而，10lim(1)exxx.例例 计计算算21lim(1)xxx.解解 21lim(1)xxx=121lim(1)xxx=11221lim(1)exxx.定定义义 1 1 设设)(x和和)(x是是当当0 xx时时的的两两个个无无穷穷小小，若若 （1 1）0()lim0()xxxx，则则称称当当0 xx时时，)(x是是比比)(x
16、高高阶阶的的无无穷穷小小，记记为为 xox)(，（0 xx）；（2 2）0()lim()xxxx，则则称称当当0 xx时时，)(x是是比比)(x低低阶阶的的无无穷穷小小；（3 3）0()lim0()xxxCx，则则称称当当0 xx时时，)(x与与)(x是是同同阶阶无无穷穷小小.当当C=1 1 时时，则则称称)(x与与)(x是是等等价价无无穷穷小小.记记为为 xx，（0 xx）.3.2.3 3.2.3 无穷小的比较无穷小的比较定定理理2 2 如如果果当当0 xx时时，)(x)(x，)()(xx，且且0()lim()xxxx存存在在，则则0()lim()xxxx也也存存在在，且且 0()lim()
17、xxxx=0()lim()xxxx.利用定理利用定理2，在求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都，在求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，以达到化简计算的目的可用等价无穷小来代替，以达到化简计算的目的.例例 求求0sin4limtan2xxx.解解 当当0 x时时，xxxx22tan,44sin，所所以以 0sin4limtan2xxx=04lim2xxx=2.3 3 无穷小的比较无穷小的比较3.2.4 3.2.4 内容小结内容小结1 1 极限的四则运算法则极限的四则运算法则2 2 两个重要极限两个重要极限3.3.4 3.3.4 内容小结内容小结3.3 3.3 函数的连续
18、性函数的连续性3.3.1 3.3.1 函数的连续性定义函数的连续性定义3.3.2 3.3.2 初等函数的连续性初等函数的连续性3.3.3 3.3.3 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质定义定义 1 1 设函数设函数)(xfy 在点在点0 x的某个邻域内有定的某个邻域内有定义，如果当自变量义，如果当自变量x在点在点0 x处的增量处的增量x趋于零时，函数趋于零时，函数)(xfy 相应的增量相应的增量00()()yf xxf x 也趋于零，即也趋于零，即 0lim0 xy ，则称函数则称函数)(xfy 在点在点0 x处连续，并且称点处连续，并且称点0 x为函数为函数)(xfy 的连续点的连
19、续点.3.3.1 3.3.1 函数的连续性定义函数的连续性定义1.1.连续连续注注意意：在在定定义义 1 1 中中，0 xxx，0yf xf x ，因因而而，0 x 即即0 xx ，0y即即 0f xf x.定义定义 2 2 设函数设函数)(xfy 在在0 x的某个邻域内有定义，若的某个邻域内有定义，若00lim()()xxf xf x，则称函数，则称函数)(xfy 在在0 x处连续处连续.相应于函数相应于函数)(xf在点在点0 x处的左、右极限的概念，有：处的左、右极限的概念，有：若函数若函数)(xfy 在点在点0 x处有处有00lim()()xxf xf x（或（或00lim()()xxf
20、 xf x），则称函数），则称函数)(xfy 在点在点0 x处左连续（或处左连续（或右连续）右连续）.结论结论：定定义义 3 3 设设函函数数)(xf在在 0 x的的某某个个去去心心邻邻域域内内有有定定义义，若若函函数数)(xf在在 0 x处处不不连连续续，则则点点 0 x称称为为函函数数)(xf的的间间断断点点.若若点点 0 x为为函函数数)(xf的的间间断断点点，则则至至少少有有下下列列三三种种情情形形之之一一出出现现：（1 1）)(xf点点0 x处处没没有有定定义义；（2 2）0lim()xxf x不不存存在在；（3 3）00lim()()xxf xf x.2.2.间断间断定定义义 4
21、4（间间断断点点的的分分类类）设设 0 x为为)(xf的的一一个个间间断断点点，如如果果当当0 xx时时，)(xf的的左左、右右极极限限都都存存在在，则则称称 0 x为为)(xf的的第第一一类类间间断断点点；否否则则，称称 0 x为为)(xf的的第第二二类类间间断断点点.若若 0 x为为)(xf的的第第一一类类间间断断点点，则则 （1 1）当当0lim()xxf x与与0lim()xxf x不不相相等等时时，称称 0 x为为)(xf的的跳跳跃跃间间断断点点；（2 2）当当0lim()xxf x与与0lim()xxf x相相等等，即即0lim()xxf x存存在在时时，称称 0 x为为)(xf的
22、的可可去去间间断断点点.证证明明 因因为为0lim()xf x=01lim sin0(0)xxfx，所所以以)(xf在在0 x处处连连续续.例例 设设)(xf=21xx 110 xx，讨论，讨论)(xf在在1x处的连处的连续性续性.解解 函数函数)(xf的图像如图的图像如图 3.3.1 所示所示.因为因为1)1(f，而而 11limlim12xxf xx，211limlim1xxf xx，得得1lim()xf x不存在，所以不存在，所以1x是间断点是间断点.由于左右极限存在但不相等，因此它是第一类间断点，由于左右极限存在但不相等，因此它是第一类间断点，且为跳跃间断点且为跳跃间断点.另外，若另外
23、，若0lim()xxf x，则，则称称0 x为为)(xf的无穷间断点，无的无穷间断点，无穷间断点属于第二类间断点穷间断点属于第二类间断点.例如例如)(xf=21(1)x在在1x处没处没有定义，且有定义，且211lim(1)xx，则，则称称1x为为)(xf的无穷间断点的无穷间断点.图图3.3.1 xy12定理定理 1 1（连续的四则运算法则）（连续的四则运算法则）若函数若函数)(xf和和)(xg在点在点0 x处连续，则它们的和处连续，则它们的和)(xf+)(xg、差、差)(xf-)(xg、积积)()(xgxf以及商以及商)()(xgxf（当（当0()0g x时）在点时）在点0 x处都连处都连续续
24、.3.3.2 3.3.2 初等函数的连续性初等函数的连续性1.1.初等函数的连续性初等函数的连续性 定理定理 2 2（复合函数的连续性）（复合函数的连续性）设函数设函数)(xu在点在点0 x处连续，且处连续，且00()ux，而函数，而函数)(ufy 在点在点0u处连续处连续.如如果在点果在点0 x的某个邻域内复合函数的某个邻域内复合函数)(xf有定义，则复合函有定义，则复合函数数)(xf在点在点0 x处连续处连续.由基本初等函数的连续性、连续的四则运算法则以由基本初等函数的连续性、连续的四则运算法则以及复合函数的连续性可知：及复合函数的连续性可知：结论：结论：(1)(1)求初等函数的连续区间就
25、是求其定义区间；求初等函数的连续区间就是求其定义区间；(2)(2)关于分段函数的连续性，除按上述结论考虑关于分段函数的连续性，除按上述结论考虑每一段函数的连续性外，还必须讨论分段点处的连续每一段函数的连续性外，还必须讨论分段点处的连续性性.定理定理3 3 初等函数在其定义域内是连续的初等函数在其定义域内是连续的.如果函数如果函数)(xf在点在点0 x处连续，则处连续，则00lim()()xxf xf x，即求连，即求连续函数续函数)(xf在点在点0 x处的极限可归结为计算点处的极限可归结为计算点0 x处的函数值处的函数值.2.2.利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限例例 计算计算421
26、3lim2xxx.解解 4213lim2xxx =4(213)(213)(2)lim(2)(2)(213)xxxxxxx =4(21 9)(2)lim(4)(213)xxxxx =42(4)(2)4lim3(4)(213)xxxxx.定理定理 4 4 设复合函数设复合函数)(xfy在点在点0 x的某个去心邻的某个去心邻域内有定义，若函数域内有定义，若函数)(xu当当0 xx时的极限存在且时的极限存在且00lim()xxxu，而函数，而函数)(ufy 在点在点0u处连续，则复合函数处连续，则复合函数)(xfy当当0 xx时的极限存在，且时的极限存在，且 000lim()lim()()xxxxfx
27、fxf u.3.3.复合函数求极限的方法复合函数求极限的方法例例 计算计算0ln(1)limxxx.解解 0ln(1)limxxx=1100limln(1)lnlim(1)lne1xxxxxx.3.3.3 3.3.3 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质例如函数例如函数xysin在闭区间在闭区间20，上连续，它在上连续，它在12处的函数值为处的函数值为12sin，是最大值，而它在，是最大值，而它在232处的函数处的函数值为值为123sin，是最小值，是最小值.小结：若函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间小结：若函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，则它在该区间上未必能取得最
28、大值和最小值断点，则它在该区间上未必能取得最大值和最小值.推论的几何意义是：若连续函数推论的几何意义是：若连续函数)(xf在在ba，的端点的端点处的函数值异号，则处的函数值异号，则函数函数)(xf的图像与的图像与 x 轴轴至少有一个交至少有一个交点点 （如图（如图3.3.2所示）所示）.图图3.3.2 x21y,A a f a,B b f bab例例 证明方程证明方程32410 xx 在在)10(，内至少有一个实内至少有一个实数数根根.证明证明 设设32()41f xxx，因为因为)(xf在在)(，内内连续，所以，连续，所以，它在它在10，上连续，且上连续，且01)(xf，02)1(f，由推论知，至少存在一点由推论知，至少存在一点)10(，使得，使得0)(f，即方程，即方程32410 xx 在区间在区间)10(，内至少有一个实数根内至少有一个实数根.3.3.4 3.3.4 内容小结内容小结1.1.函数的连续性定义函数的连续性定义2.2.初等函数的连续性初等函数的连续性3.3.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质
