1、第十二章 简单的超静定系统12-1 超静定系统的几个基本概念超静定系统的几个基本概念12-2 力法与正则方程力法与正则方程12-3 对称性欲反对称性在求解超静对称性欲反对称性在求解超静定问题中的应用定问题中的应用12-4 空间超静定结构的特殊情形空间超静定结构的特殊情形12-6 结论与讨论结论与讨论12-5 图乘法在求解超静定问题中的应用图乘法在求解超静定问题中的应用*静定问题静定问题：由静力平衡方程：由静力平衡方程可确定全部未知力可确定全部未知力(包括支反包括支反力与内力力与内力)的问题。的问题。静定静定A AF F12.1 12.1 超静定系统的几个基本概念超静定系统的几个基本概念A AF
2、 F 3 32 21 1*静不定问题静不定问题：根据静力平衡方程不能确定全部：根据静力平衡方程不能确定全部未知力的问题。未知力的问题。*静不定度静不定度：未知力数与有效平衡方程数之差。：未知力数与有效平衡方程数之差。一次静不定一次静不定（a）（b）12.1.1 12.1.1 超静定结构的类型超静定结构的类型 1.1.仅在结构外部存在多余约束，仅在结构外部存在多余约束，属属外力超静定问题外力超静定问题；2.2.仅在结构内部存在多余约束，仅在结构内部存在多余约束，属属内力超静定问题内力超静定问题；3.3.结构的内、外部均存在多余约束，结构的内、外部均存在多余约束，属属内、外力超静定问题内、外力超静
3、定问题。1、外力静不定系统 由于外部的多余约束而构成的静不定系统,一般称为外力静不定系统。求解外力静不定系统的基本方法，是解除多余约束，代之以多余约束反力，根据多余约束处的变形协调条件建立补充方程进行求解。解除多余约束后得到的静定结构，称为原静不定系统的静定基本系统，或相当系统。2、内力静不定系统 有些结构，支座反力可以由静力平衡条件全部求出，但无法应用截面法求出所有内力，这类结构称为内力静不定系统。求解内力静不定系统，需要解除杆件或杆系的内部约束。超静定结构：超静定结构：DBCAFDBAFBCAF 12-2 12-2 力法及其正则方程力法及其正则方程一、力法与位移法一、力法与位移法 力法力法
4、：以多余约束力为基本未知量，将变形或位移表示为未以多余约束力为基本未知量，将变形或位移表示为未知力的函数，通过变形协调条知力的函数，通过变形协调条件作为补充方程求来解未知约束力，件作为补充方程求来解未知约束力，这种方法称为这种方法称为力法力法，又叫，又叫柔度法。柔度法。位移法位移法：以结点位移作为基本未知量，将以结点位移作为基本未知量，将力通过本构关系表力通过本构关系表示成位移的函数。通过结点平衡条件，解出未知量，这种方法称示成位移的函数。通过结点平衡条件，解出未知量，这种方法称为为位移法，位移法，又叫又叫刚度法。刚度法。本节以力法为主，不涉及位移法。本节以力法为主，不涉及位移法。二、力法的基
5、本思路：以一例说明二、力法的基本思路：以一例说明 图图(a)(a)是车削工件安有尾顶针的简是车削工件安有尾顶针的简化模型，这是一次静不定系统。求约化模型，这是一次静不定系统。求约束反力。束反力。解除解除B B端约束成悬臂梁（亦可解除左端约束成悬臂梁（亦可解除左端转动约束，简化为简支梁）。端转动约束，简化为简支梁）。1 1、解除多余约束、建立静定基、解除多余约束、建立静定基 在多余约束处加上多余约束反在多余约束处加上多余约束反力力X X1 1及外载荷及外载荷P成（图成（图b b）。）。2 2、建立相当系统、建立相当系统3 3、列出正则方程、列出正则方程与原系统比较，相当系统与原系统比较，相当系统
6、B B点的位移应为零，故有变形点的位移应为零，故有变形协调条件：协调条件：01111 XP 其中其中 1P是外载是外载在多余约束处引起的多余在多余约束处引起的多余约束方向的位移约束方向的位移(图c)，而，而 是是多余约束反多余约束反力引起的多余约束方向的位移力引起的多余约束方向的位移(图d)。11X 11111XX 在计算在计算 时，可在静定基上沿多余约时，可在静定基上沿多余约束方向加一单位力，单位力引起的位移为束方向加一单位力，单位力引起的位移为 (图e)，对线弹性结构应有：，对线弹性结构应有：11 11X 代入变形协调条件，得力法正则方程：代入变形协调条件，得力法正则方程：01111 PX
7、 4.4.解正则方程，求多余约束反力解正则方程，求多余约束反力法法求求得得：可可用用莫莫尔尔定定理理或或其其他他方方与与111 PEIl3311 alEIPaP 3621 )3(2321111allPaXP 1X 求得求得 后，则可解出相当系统所有内力、位移，此相当后，则可解出相当系统所有内力、位移，此相当系统的解即为原系统的解。系统的解即为原系统的解。画画图图示示结结构构的的弯弯矩矩图图。例例1212 811311)2322(2221(138)2322221(1311114221311qaXEIqaqaqaaaEIEIaaaaEIPP ）求解）求解系系统统为为多多余余约约束束，建建立立相相当
8、当）解解：B1qABCaa21XqABCa20M021111 PX ）建建立立正正则则方方程程4242102qaMXMMqaMMPCCCPB ）叠叠加加法法画画弯弯矩矩图图42qaM22qa 22qaPM252qa为为常常数数，求求支支反反力力。图图示示梁梁，例例EI2-2-21llABqD33lEIC llABqD1Xl22ql0MPM系系统统为为多多余余约约束束，建建立立相相当当）解解：C10)1(21111 PXC ）建建立立正正则则方方程程)(2471247)4323132221(132)3221(2311114221311 qlCXEIqllqlllqllEIEIllllEIPP ）
9、求解）求解）据据平平衡衡条条件件，求求得得2ARBR)(1211)(245 qlRqlRBA力力，并并画画弯弯矩矩图图。用用力力法法求求超超静静定定结结构构反反例例3212 P1114 和和利利用用图图乘乘法法求求）求求解解）作作相相当当系系统统为为多多余余约约束束）选选支支座座解解：21BACBllqEIEI2031111 PX ）建建立立正正则则方方程程ACB1Xql11 X0M22qlPM76)231(167)322121111132133211qlXEIqllqllEIEIlEIlllEIPP （14574210210qlMXMMqlXMMPAAACC ）叠叠加加法法画画弯弯矩矩图图1
10、452ql72qlM画画图图示示刚刚架架的的内内力力图图。例例4212 。所以，所以，对称，故只有对称内力对称，故只有对称内力载荷载荷剖开，由于结构对称，剖开，由于结构对称，中间中间解：利用对称性，从解：利用对称性，从03 XCDABCDqllEIEIEIK2X3XqADK2X1X3XqADK2X1Xq0022221211212111 PPXXXX 正则方程为：正则方程为：01Ml102MPM82qlEIqlqllqllEIEIqlqllEIEIlEIlEIlPP487)1823118(116)821(12233322242212211222311 048723201623321242213
11、EIqlXEIlXEIlEIqlXEIlXEIl解得：解得：72512221qlXqlX 362ql362ql182ql182ql2725ql)(M0X72ql5X12qlX3221 3618725220210122022202qlMXMXMMqlMXMMqlXMMPAAAaPDDDKK K2X3XqADK2X1X3Xq矩图。矩图。求超静定刚架并画出弯求超静定刚架并画出弯例例5212 00222221211212111 PPXXXX ）建立正则方程）建立正则方程aaABCDqa建建立立相相当当系系统统为为多多余余约约束束，、选选解解CB)1:2X1X）求解）求解3a01M01M22qa22qa
12、PM434321421322211211qaXXEIqaEIaPP ）画弯矩图）画弯矩图4a02M22qa22qaM42qa力法的基本要点：力法的基本要点：解除结构的多余约束，以多余未知力代替其解除结构的多余约束，以多余未知力代替其作用，得到与原结构相当的系统；作用，得到与原结构相当的系统；利用相当系统在多余约束处的变形协调条件，利用相当系统在多余约束处的变形协调条件，建立用载荷与多余未知力表示的变形协调补充方建立用载荷与多余未知力表示的变形协调补充方程；程；由补充方程解出多余未知力，并通过相当系由补充方程解出多余未知力，并通过相当系统计算原结构的内力、应力、位移等。统计算原结构的内力、应力、
13、位移等。结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为于某一轴，则称此结构为对称结构对称结构。绕对称轴对折后，左右两部分载荷彼此重绕对称轴对折后，左右两部分载荷彼此重合（作用点相对应、数值相等、方向相合（作用点相对应、数值相等、方向相同）。同）。对称载荷对称载荷MMPP123 对称性与反对称性在求解超静定问题中的应用绕对称轴对折后，左右两部分载荷正好相绕对称轴对折后，左右两部分载荷正好相反（作用点相对应、数值相等、方向相反（作用点相对应、数值相等、方向相反）。反）。反对称载荷反对称载荷MMPPNNQQMM在内力中，轴力和弯矩是在内
14、力中，轴力和弯矩是对称内力对称内力，剪力、扭矩为剪力、扭矩为反对称内力反对称内力。对称结构对称结构在对称载荷作用下，在对称载荷作用下，变形对变形对称，称，对称面上对称面上位移对称位移对称，内力对称；内力对称；对称结构对称结构在反对称载荷作用下，在反对称载荷作用下，变形变形对反称，对反称，对称面上对称面上位移反对称，内力位移反对称，内力反对称反对称。特例：特例：在在对称轴对称轴上某些位移、内力为上某些位移、内力为零，可简化计算。零，可简化计算。对称结构对称结构在对称载荷作用下，在对称载荷作用下，对称轴对称轴上值为零上值为零的位移、内力为的位移、内力为：转角、轴转角、轴向位移，剪力、扭矩。向位移，
15、剪力、扭矩。对称结构对称结构在反对称载荷作用下，在反对称载荷作用下，对称对称轴上值为零轴上值为零的位移、内力为：的位移、内力为：扭转角、扭转角、垂直轴向的位移，轴力、弯矩。垂直轴向的位移，轴力、弯矩。根据根据变形及内力对称（或反对称）变形及内力对称（或反对称）、位移位移连续连续、作用力作用力 与反作用力与反作用力性质，推得性质，推得：PC CD D(b)例：例：在等截面圆环直径在等截面圆环直径ABAB的两端，沿直径的两端，沿直径方向作用一对方向相反的力方向作用一对方向相反的力P P。试求直径。试求直径ABAB的长度变化。的长度变化。PPA AB BC CD D0N0N0M0M解：解：利用对称性
16、，该三次静不定问题可利用对称性，该三次静不定问题可转化为转化为图。图。(a)D D2P10XM (c)A Aa一、一、对对称称结结构构上上作作用用对对称称载载荷荷对称轴对称轴PPX1X2X2X3X1X3 pppxxxxxxxxx333323213123232221211313212111对称轴对称轴PP11对称轴对称轴对称轴对称轴11对称轴对称轴11 基本静定系统分别受外载荷和三个单位约束力单独作用时的基本静定系统分别受外载荷和三个单位约束力单独作用时的 弯矩弯矩 、和和 是对称的，而是是对称的，而是 反对称的，可以证明：反对称的，可以证明：pM01M03M02M,p02 032232112
17、于是正则方程可简化为于是正则方程可简化为：ppxxxxx333313122213131110 由此可得出普遍性结论：对称结构由此可得出普遍性结论：对称结构受对称载荷作用，其受对称载荷作用，其内力和位移分布对内力和位移分布对称。称。在对称面上平行于对称面的内力分在对称面上平行于对称面的内力分量（剪力、扭矩）和垂直对称面对位移量（剪力、扭矩）和垂直对称面对位移分量（轴向位移、弯曲的转角）等于零。分量（轴向位移、弯曲的转角）等于零。000321 x,x,x:二、对称结构上作用反对称载荷二、对称结构上作用反对称载荷mm对称轴对称轴X1X2X2X3X1X3 pppxxxxxxxxx33332321312
18、3232221211313212111正则方程正则方程：对称轴对称轴对称轴对称轴11对称轴对称轴11对称轴对称轴1 1mm 基本静定系统分别受外载荷和三个单位约束力单独作用时的弯基本静定系统分别受外载荷和三个单位约束力单独作用时的弯矩矩 和和 是对称的，而是是对称的，而是 和和 反对称的，可以证明：反对称的，可以证明：于是正则方程可简化为于是正则方程可简化为：003331312222313111xxxxxp,x,xx:00231 于是可得到普遍性结论：对称结构受反对称载荷作用，其于是可得到普遍性结论：对称结构受反对称载荷作用，其内力和位移分布反对称。在对称面上，垂直对称面的内力分量内力和位移分
19、布反对称。在对称面上，垂直对称面的内力分量（轴力、弯矩）和平行于对称面的位移分量（挠度、扭转角）（轴力、弯矩）和平行于对称面的位移分量（挠度、扭转角）等于零。等于零。对称静不定结构几何形状对称：若将结构绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的部分将完全重合。对称结构：1.几何形状对称；2.材料对称；3.约束对称。（正）对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的作用点和作用方向将重合，而且每对力数值相等。反对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的数值相等，作用点重合而作用方向相反。对称结构在（正）对称载荷作用下：约束反力、内力及变形对称于对称轴。对称结构在反对称载荷作用下：约束力、内
20、力及变形反对称于对称轴。建立相当系统建立相当系统三次超静定刚架三次超静定刚架 位移条件位移条件12.4 空间超静定系统的特殊情形空间超静定系统的特殊情形 0,0,0321杆件变形杆件变形根据叠加原理根据叠加原理 000F3333232131F2323222121F1313212111XXXXXXXXX上式称为上式称为力法典型方程力法典型方程。000F3333232131F2323222121F1313212111XXXXXXXXX式中的式中的9个系数个系数 (i，j=1,2,3)和和3个常数项个常数项 (i=1,2,3)都是静定基在单位载荷和原有载荷作用下的位移。都是静定基在单位载荷和原有载荷
21、作用下的位移。ijFi对于梁或刚架结构，只考虑弯矩的影响对于梁或刚架结构，只考虑弯矩的影响 ljiijxEIxMxMd)()(liixEIxMxMd)()(FF由由 的表达式可知的表达式可知 ijjiij12.5 图乘法在求解超静定问题中的应用图乘法在求解超静定问题中的应用例例 图所示简支梁受均布载荷作用，梁的图所示简支梁受均布载荷作用，梁的EI是常量。试求是常量。试求跨中跨中C点的挠度点的挠度 。解在解在C点加铅垂单位力点加铅垂单位力 单位力作用下的单位力作用下的 图图 载荷作用下的载荷作用下的M图图 M图的面积为图的面积为 VCM2428323221qllql形心处所对应的形心处所对应的
22、图中的纵坐标值为图中的纵坐标值为 M32548521llMMCC跨中跨中C处的挠度为处的挠度为 123412V255()2432384CCCMMqllqlEIEIEIEI例例 图所示刚架，抗弯刚度为图所示刚架，抗弯刚度为EI，用图乘法求，用图乘法求C截面的铅截面的铅垂位移垂位移 、水平位移、水平位移 和转角和转角 。解在解在C点分别施加铅垂、点分别施加铅垂、水平单位力和单位力偶，水平单位力和单位力偶，并分别画出载荷弯矩图并分别画出载荷弯矩图及单位载荷弯矩图及单位载荷弯矩图 VCHCC载荷弯矩图分别与单位载荷弯矩图互乘载荷弯矩图分别与单位载荷弯矩图互乘 C截面铅垂位移截面铅垂位移)(872122
23、14323114222VEIqlllqlllqlllqlEICC截面水平位移截面水平位移)(125322132211422HEIqlllqlllqlEIC9.7 计算莫尔积分的图乘计算莫尔积分的图乘法法C截面转角截面转角)(12111211221123113222顺钟向EIqllqllqllqlEIC12.6 结论与讨论结论与讨论12.6.1 应用力法解超静定问题的步骤应用力法解超静定问题的步骤(1)首先选定多余约束，并把多余约束解除，使静不定梁变成静定梁基本静定梁（几何不变）。本图可有多种选择，尽量利用对称性P(2)把解除的约束用未知的多余约束反力来代替。这时基本静定梁上除了作用着原来的荷载
24、外，还作用着未知的多余约束反力。(3)列出基本静定梁在多余约束反力作用处梁变形或的计算式，并与原静不定梁在该约束处的变形进行比较，建立变形谐调方程，求出多余约束反力。(4)在求出多余约束反力的基础上，根据静力平衡条件，解出静不定梁的其它所有支座反力。(5)按通常的方法（已知外力求内力、应力、变形的方法）进行所需的强度和刚度计算。小小 结结:1.1.力法的典型方程是体系的变形协调方程；力法的典型方程是体系的变形协调方程；2.2.柔度系数满足位移互等定理；柔度系数满足位移互等定理；3.3.柔度系数是体系常数；柔度系数是体系常数；4.4.荷载作用时荷载作用时,内力分布与刚度大小无关内力分布与刚度大小
25、无关,与与各杆刚度比值有关各杆刚度比值有关.荷载不变荷载不变,调整各杆刚度调整各杆刚度比可使内力重分布比可使内力重分布.绘出静定基在各单位未知力作用下的弯矩图绘出静定基在各单位未知力作用下的弯矩图 图和图和 图是对称的，图是对称的，图是反对称的。图是反对称的。系数系数 力法典型方程简化为力法典型方程简化为 12.6.2 关于静定基本系统的不同选择关于静定基本系统的不同选择1M2M3M0311303223000F3333F2222121F1212111XXXXX典型方程分为两组，一组只包含对称的未知力典型方程分为两组，一组只包含对称的未知力X1和和X2，另一组只包含反对称的未知力另一组只包含反对称的未知力X3。
