1、 2020 届四川省绵阳市高三第二次诊断性测试数学（文）试题届四川省绵阳市高三第二次诊断性测试数学（文）试题 一、单选题一、单选题 1设全集设全集|0Ux x， 2 |1 x Mxee，则，则 U C M （ ） A1,2 B 2, C 0,12, D2, 【答案】【答案】D 【解析】【解析】先确定集合M的元素，再由补集定义求解 【详解】 由题意 2 |1 |02 x Mxeexx， |2 U C Mx x 故选：D 【点睛】 本题考查补集的运算，解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算本题还考查了 指数函数的单调性 2已知已知i为虚数单位，复数为虚数单位，复数z满足满足1 2z ii ，则
2、，则z （ ） A2 i B2i C1 2i D2i 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由除法计算出复数z 【详解】 由题意 12 2 i zi i 故选：A 【点睛】 本题考查复数的除法运算，属于基础题 3已知高一（已知高一（1）班有学生）班有学生 45 人，高一（人，高一（2）班有）班有 50 人，高一（人，高一（3）班有）班有 55 人，现在人，现在 要用分层抽样的方法从这三个班中抽要用分层抽样的方法从这三个班中抽 30 人参加学校人参加学校“遵纪守法好公民遵纪守法好公民”知识测评，则高知识测评，则高 一（一（2）班被抽出的人数为（）班被抽出的人数为（ ） A10 B12 C13 D1
3、5 【答案】【答案】A 【解析】【解析】分层抽样是按比例抽取人数 【详解】 设高一（2）被抽取x人，则 50 30455055 x ，解得10x 故选：A 【点睛】 本题考查分层抽样，属于基础题 4已知向量已知向量1,2a r ，1,bx ，若，若 /ab，则 ，则b （ ） A 5 2 B 5 2 C 5 D5 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据向量平行的坐标运算计算出x，再由模的坐标表示求模 【详解】 /ab，1 2 ( 1)0x ，2x， 22 ( 1)( 2)5b 故选：C 【点睛】 本题考查向量平行的坐标表示，考查向量模的坐标表示属于基础题 5已知已知为任意角，则为任意角，则“
4、 1 cos2 3 ”是是“ 3 sin 3 ”的（的（ ） A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要既不充分也不必要 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 说明命题 1 cos2 3 3 sin 3 和 3 sin 3 1 cos2 3 是否为真即 可 【详解】 2 1 cos212sin 3 a ，则 3 sin 3 ，因此“ 1 cos2 3 ”是“ 3 sin 3 ”的必要 不充分条件 故选：B 【点睛】 本题考查充分必要条件的判断，只要命题p q 为真，则p是q的充分条件，q是p的 必要条件 6已知已知2,0M，P是圆是圆
5、N： 22 4320xxy上一动点，线段上一动点，线段MP的垂直平分的垂直平分 线交线交NP于点于点Q，则动点，则动点Q的轨迹方程为（的轨迹方程为（ ） A 22 1 95 xy B 22 1 59 xy C13? ,? 10akc D 22 1 95 xy 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用6QMQNQPQNPN，确定M点轨迹是椭圆，从而易 求得其方程 【详解】 由题意圆标准方程为 22 (2)36xy，圆心为 ( 2,0)N ，半径为 6， 线段MP的垂直平分线交NP于点Q，QP QM， 6QMQNQPQNPN4MN， Q点轨迹是以,M N为焦点，长轴长为 6 的椭圆， 3,2ac，
6、 22 5bac ， 其轨迹方程为 22 1 95 xy 故选：A 【点睛】 本题考查用椭圆的定义求轨迹方程，属于基础题根据椭圆定义确定动点轨迹是椭圆， 然后求出, a b得标准方程，要注意所求轨迹方程是不是圆锥曲线的标准方程 7已知某产品的销售额已知某产品的销售额y与广告费用与广告费用x之间的关系如下表：之间的关系如下表： x（单位：万 （单位：万 元）元） 0 1 2 3 4 y（单位： 万 （单位： 万 元）元） 10 15 m 30 35 若根据表中的数据用最小二乘法求得若根据表中的数据用最小二乘法求得y对对x的回归直线方程为的回归直线方程为6.59yx，则下列说，则下列说 法中错误的
7、是（法中错误的是（ ） A产品的销售额与广告费用成正相关产品的销售额与广告费用成正相关 B该回归直线过点该回归直线过点2,22 C当广告费用为当广告费用为 10 万元时，销售额一定为万元时，销售额一定为 74 万元万元 Dm的值是的值是 20 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据回归直线方程中x系数为正，说明两者是正相关，求出x后，再由回归方 程求出y，然后再求得m，同样利用回归方程可计算出10x 时的预估值 【详解】 因为回归直线方程中x系数为 6.50，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A 正 确； 又 01234 2 5 x ， 6.5 2922y ，回归直线一定过点(2,22)
8、，B 正确； 10x 时， 6.5 10974y ，说明广告费用为 10 万元时，销售额估计为 74 万元， 不是一定为 74 万元，C 错误； 由 10 153035 22 5 m y ，得20m，D 正确 故选：C 【点睛】 本题考查回归直线方程，回归直线方程中x系数的正负说明两变量间正负相关性，回归 直线一定过中心点( , )x y，回归直线方程中计算的值是预估值，不是确定值 8甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳 的九皇山、 七曲山大庙两个景点去参观考察， 由于时间关系， 每个人
9、只能选择一个景点，的九皇山、 七曲山大庙两个景点去参观考察， 由于时间关系， 每个人只能选择一个景点， 则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A 1 8 B 1 4 C 3 8 D 1 2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】可用列举法写出三人选择景点的各种情形然后计数后可概率 【详解】 两景点用 1，2 表示，三人选择景点的各种情形为：甲 1 乙 1 丙 1 ，甲 1 乙 1 丙 2 ，甲 1 乙 2 丙 1 ，甲 2 乙 1 丙 1 ，甲 2 乙 2 丙 1 ，甲 2 乙 1 丙 2 ，甲 1 乙 2 丙 2 ，甲 2 乙 2
10、 丙 2 共 8 种，其中三人去同一景点的有甲 1 乙 1 丙 1 和甲 2 乙 2 丙 2 两种，所以概 率为 21 84 P 故选：B 【点睛】 本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有的基本事件 9双曲线双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的右焦点为的右焦点为F，过，过F作与双曲线的两条渐近线平作与双曲线的两条渐近线平 行的直线且与渐近线分别交于行的直线且与渐近线分别交于A，B两点，若四边形两点，若四边形OAFB（O为坐标原点）的面为坐标原点）的面积积 为为bc，则双曲线的离心率为（，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B2 C3 D3 【答案】【答案】B 【解析】【解析】把
11、四边形OAFB面积用, ,a b c表示出来，它等于bc，变形后可求得离心率 【详解】 由题意(c,0)F，渐近线方程为 b yx a ，不妨设AF方程为() b yxc a ， 由 () b yxc a b yx a ，得 2 2 c x bc y a ，即( ,) 2 2 c bc A a ，同理( ,) 22 cbc B a ， 2 1 (2) 222 OAFB bcbc Sc aa ，由题意 2 2 bc bc a ，2 c a 故选：B 【点睛】 本题考查求双曲线的离心率求离心率关键是找到关于, ,a b c的一个等式，本题中四边 形OAFB的面积是bc就是这个等式，因此只要按部就班
12、地求出其面积即可得 10已知圆已知圆C： 22 280xyx ，直线，直线l经过点经过点2,2M，且将圆，且将圆C及其内部区域及其内部区域 分为两部分，则当这两部分的面积之差的绝对值最大时，直线分为两部分，则当这两部分的面积之差的绝对值最大时，直线l的方程为（的方程为（ ） A 220xy-+= B260xy C2 20xy D260xy 【答案】【答案】D 【解析】【解析】如图，设设AOB(0)，求出直线l分圆所成两部分面积之差的 绝对值9(sin )S，利用导数确定函数的单调性，确定出当最小时S最大， 由圆的性质知最小时，CMAB，从而可求得直线方程 【详解】 圆C标准方程为 22 (1)
13、9xy，圆心为 (1,0)C，半径为 3r ， 直线l交圆于,A B两点，设AOB(0)，如图，则直线l分圆所成两部分 中较小部分面积为 22 1 11 sin 22 Srr，较大部分面积为 22 2 11 (2)sin 22 Srr， 这两部分面积之差的绝对值为 222 21 sin9(sin )SSSrrr， 9( 1 cos )0S ，9(sin )S是减函数，最小时，S最大 在CAB中， 22 2 2 218 cos 218 rABAB r ，AB最小时，cos最大，从而 最小 AB经过点M，由圆的性质知当CMAB时，AB取得最小值.此时 11 2 AB CM k k ，直线l方程为
14、1 2(2) 2 yx ，即260xy 故选：D 【点睛】 本题考查直线与圆相交问题， 解题关键是引入AOB， 借助于扇形面积公式用表 示出两个弓形面积之差的绝对值，再利用导数确定这个绝对值最大时的值，从而确定 直线l的位置，求得其方程本题考查了函数思想的应用 11已知已知 f x为偶函数，且当为偶函数，且当0x时，时， 3 1 cossin 3 xxxfxx，则满足不等，则满足不等 式式 21 2 loglog21fmfmf 的实数的实数m的取值范围为（的取值范围为（ ） A 1 ,2 2 B0,2 C 1 0,1,2 2 D2, 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由偶函数性质把不等式 2
15、1 2 loglog21fmfmf 化为 2 (log)(1)fmf，由导数确定函数( )f x在0,)上的单调性，利用单调性解不等 式 【详解】 ( )f x是偶函数， 1222 2 (log)( log)(log)(log)fmfmfmfm ，则不等式 21 2 loglog21fmfmf 可化为 2 2 (log)2 (1)fmf，即 2 (log)(1)fmf， 0x时， 3 1 ( )cossin 3 f xxxxx， 2 ( )cossincos(sin )fxxxxxxx xx， 令( )sing xxx，则( ) 1 cos0g xx ，( )g x是R上的增函数，当0x时，
16、( )(0)0g xg ， 0x时，( )0fx ，( )f x在0,)上是增函数， 由 2 (log)(1)fmf得 2 log1m ，即 2 1log1m ， 1 2 2 m 故选：A 【点睛】 本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解对数不等式此各种类型不等式的解法是：本 题这种类型的不等式有两种，一种是奇函数，不等式为 12 ( )()0f xf x，转化为 12 ( )()f xfx，一种是偶函数，不等式为 12 ( )()f xf x，转化为 12 ()()f xf x， 然后由单调性去函数符号“f” 12 函数 函数 2 21log2 a afxaxx 在区间在区间 1 0, a 上
17、恰有一个零点， 则实数上恰有一个零点， 则实数a的的 取值范围是（取值范围是（ ） A 1 1 , 3 2 B 1,23, C1,23, D2,3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由零点存在定理 1 (0) ( )0ff a 得23a，但还要验证此时在 1 (0,) a 上是否 只有一个零点，然后讨论(0)0f和 1 ( )0f a 两种情形是否符合题意 【详解】 （1）若由 1 (0) ( )0ff a 得(1 log 2)(1 log 3)0 aa ， lg2lg3 (1)(1)0 lglgaa ， (lglg2)(lglg3)0aa，lg2lglg3a，2 3a 设 2 ( )(21
18、)g xax，( )log (2) a h xax，23a，( )h x在定义域内是增函 数， 作出( )g x，( )h x的示意图，如图 1 (0)( )1gg a ，(0)log 21 a h， 1 ( )log 31 a h a ，( )g x与( )h x的图象在 1 0, a 上只有一个交点，即 ( )f x在 1 0, a 上只有一个零点，符合题意 （2）若(0)0f，则1 log 20 a ，2a如（1）中示意图， 2 ( )log (22)h xx 是增函数，只是(0)(0)1hg，而 11 ( )(0)1( )hhg aa ，( )g x与( )h x的图象 在 1 0,
19、a 上只有一个交点，即 ( )f x在 1 0, a 上只有一个零点，符合题意 （3）若 1 ( )0f a ，则1 log 30 a ，3a ，如（1）中示意图， 3 ( )log (32)h xx 是增函数，此时 11 ( )( )1hg aa ，但(0)1g，而 3 (0)log 21(0)hg ，因此在 1 (0,) 2a 上( )g x与( )h x的图象还有一个交点，即 ( )f x在 1 0, a 上有两个零点，不合题 意 综上，a的取值范围是2,3) 故选：D 【点睛】 本题考查函数零点分布问题( ) f x在闭区间 , m n上只有一个零点， 首先由零点存在定 理( ) (
20、)0f m f n 确定参数范围， 但是此种情形下必须验证在( , )m n上是否是一个零点， 零点存在定理只说明有零点，没有说明有几个零点其次分别讨论( )0f m 和 ( )0f n 两种情形是否满足题意 二、填空题二、填空题 13直线直线l：110axay 与直线与直线4 630xy 平行，则实数平行，则实数a的值是的值是_. 【答案】【答案】2. 【解析】【解析】由两直线平行的条件判断 【详解】 由题意 (1)1 463 aa ，解得2a 故答案为：2 【点睛】 本题考查两直线平行的充要条件，两直线 111 0AxB yC 和 222 0A xB yC 平行， 条件 1221 0ABA
21、 B是必要条件，不是充分条件，还必须有 1221 0ACAC或 1221 0BCB C，但在 222 0A B C 时，两直线平行的充要条件是 111 222 ABC ABC 14某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学这五次某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学这五次 数学成绩的方差是数学成绩的方差是_. 【答案】【答案】30.8. 【解析】【解析】写出茎叶图中的 5 个数据，计算均值后再计算方差 【详解】 五个数据分别是：110，114，119，121，126，其平均值为 110 114 119 121 126 118 5 x ， 方差
22、为 222222 1(110 118) (114 118)(119 118)(121 118)(126 118) 5 s 30.8 故答案为：30.8 【点睛】 本题考查茎叶图，考查方差的计算读懂茎叶图是解题基础 15 函数 函数sin 0, 2 yx 的图象如图所示， 则的图象如图所示， 则 f x在区间在区间, 上上 的零点之和为的零点之和为_. 【答案】【答案】 2 3 . 【解析】【解析】 先求出周期， 确定， 再由点(,1) 6 确定， 得函数解析式， 然后可求出, 上的所有零点 【详解】 由题意 411 () 3126 T ， 2 2 ，又sin(2)1 6 且 2 ， 6 ， (
23、 )sin(2) 6 f xx 由sin(2)0 6 x 得2 6 xk ， 212 k x ，kZ， 在, 内有： 7511 , 1212 1212 ，它们的和为 2 3 【点睛】 本题考查三角函数的零点， 由三角函数图象求出函数解析式， 然后解方程( )0f x 得出零点，就可确定在已知范围内的零点本题也可用对称性求解，由函数周期是 ，区间, 含有两个周期，而区间端点不是函数零点，因此( )f x在, 上 有 4 个零点，它们关于直线 6 x 对称，由此可得 4 个零点的和 16过点过点1,0M 的直线的直线l与抛物线与抛物线C： 2 4yx交于交于A，B两点（两点（A在在M，B之之 间）
24、 ，间） ，F是抛物线是抛物线C的焦点，若的焦点，若4 MBFMAF SS ，则，则 ABF的面积为的面积为_. 【答案】【答案】3. 【解析】【解析】不妨设,A B在第一象限且由设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，由4 MBFMAF SS ，得 21 11 4 22 MF yMF y，从而 21 4yy由,A B M共线及,A B在抛物线上，可求 得 12 ,y y 【详解】 不妨设,A B在第一象限，如图，设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，由题意(1,0)F， 4 MBFMAF SS ， 21 11 4 22 MF yMF y， 21 4yy 又,M A
25、B共线， 12 12 11 yy xx ，即 12 22 12 11 11 44 yy yy ，把 21 4yy代入得： 11 2 2 1 1 4 1 41 1 4 yy y y ，显然 1 0y ，解得 1 1y ， 2 4y ， 1 2 11 2 MAF S ，4 MBF S，4 13 FABMBFMAF SSS 故答案为：3 【点睛】 本题考查直线与抛物线相交的面积问题 解题关键是善于发现MAF和MBF有共同 的底MF，从而由面积比得出,A B两点的纵坐标比，再由,M A B共线及,A B在抛物 线上，求得,A B的纵坐标，从而得三角形面积 三、解答题三、解答题 17每年的每年的 4 月
26、月 23 日为日为“世界读书日世界读书日”，某调查机构对某校学生做，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读了一个是否喜爱阅读 的抽样调查的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了该调查机构从该校随机抽查了 100 名不同性别的学生（其中男生名不同性别的学生（其中男生 45 名） ，名） ， 统计了每个学生一个月的阅读时间， 其阅读时间统计了每个学生一个月的阅读时间， 其阅读时间t（小时） 的频率分布直方图如图所示：（小时） 的频率分布直方图如图所示： （1）求样本学生一个月阅读时间）求样本学生一个月阅读时间t的中位数的中位数m. （2）已知样本中阅读时间低于）已知样本中阅读时间低于m的女生有的女
27、生有 30 名，请根据题目信息完成下面的名，请根据题目信息完成下面的22列列 联表，并判断能否在犯错误的概率不超过联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为阅读与性别有关的前提下认为阅读与性别有关. 22列联表列联表 男男 女女 总计总计 tm tm 总计总计 附表：附表： 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0 k 2.072 2.706 3.841 其中：其中： 2 2 n adbc K abcdacbd . 【答案】【答案】 （1）10； （2）不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为阅读与性别有关. 【解析】【解析】 （1）频率为 0.5 对应的点的横
28、坐标为中位数； （2） 100 名学生中男生 45 名， 女生 55 名， 由频率分布直方图知， 阅读时长大于等于m 的人数为 50 人，小于m的也有 50 人，阅读时间低于m的女生有 30 名，这样可得列联 表中的各数，得列联表，依据 2 K 公式计算 2 K ，对照附表可得结论 【详解】 （1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为 0.04 5 0.06 50.5 . 所以阅读时间的中位数10m. （2）由题意得，男生人数为 45 人，因此女生人数为 55 人， 由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为100 0.550人， 故列联表补充如下： 男 女 总计 tm 25 25
29、 50 tm 20 30 50 总计 45 55 100 2 K 的观测值 2 10025 3025 20100 50 50 45 5599 k 1.012.706，所以不能在犯错误 的概率不超过 0.1 的前提下认为阅读与性别有关. 【点睛】 本题考查频率分布直方图，考查独立性检验正确认识频率分布直方图是解题基础 18 已知等差数列 已知等差数列 n a的公差的公差2d ， 3 0a ， 且， 且 3 3 为为 4 a与与 7 a的等比中项的等比中项.数列数列 n b 的通项公式为的通项公式为 3 2 n a n b . （1）求数列）求数列 n b的通项公式；的通项公式； （2）记）记 *
30、 nnn cabnN ，求数列，求数列 n c的前的前n项和项和 n S. 【答案】【答案】 （1） 22 2 n n b ； （2） 2 241 n n Snn. 【解析】【解析】（1） 由等差数列的通项公式表示出 47 ,a a， 由等比中项定义求得 1 a， 注意 3 0a 可确定只有一解，从而中得 n a，也即得 n b； （2）由（1）得 1 252n n cn ，用分组求和法可求得 n S 【详解】 （1）由题意得 411 36aada， 711 612aada. 2 11 3 3612aa，解得 1 3a 或 1 15a . 又 31 2 20aa ，得 1 4a ，故 1 3a
31、 . 32125 n ann . 322 22 n an n b . （2）由（1）可知， 1 252n nnn cabn . 12nn Sccc 1 2 3 1 125 1 2 n n 325 21 2 n nn 2 241 n nn. 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式，考查等比中项的定义，考查分组求和法以及等差数列和 等比数列前n项和公式，掌握等差数列与等比数列的通项公式和前n项和公式是解题基 础 19在在ABC中，内角中，内角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a，b，c.已知已知 sinsinsinsinABabcCB. （1）求）求A； （2）若）若D为为BC边上一点，且边上一
32、点，且ADBC，2 3BCAD，求，求sinB. 【答案】【答案】 （1） 2 3 A ； （2） 1 2 . 【解析】【解析】 （1）由正弦定理把角的关系转化为边的关系，再由余弦定理可求得A； （2）把ABC的面积用两种方法表示建立AD与三角形各边的关系，由 2 3BCAD ，即即 2 3 a AD 代入可得 2 3abc，再代入余弦定理 222 2cosabcbcA中可求得bc，从而可得 6 BC ，于是得sinB的值 【详解】 （1）在ABC中，由正弦定理得 ababc cb，即 222 abcbc. 由余弦定理得 222 1 cos 22 bca A bc ， 结合0A，可知 2 3
33、A . （2）在ABC中， 11 sin 22 ABC SAB ACBACBC AD ，即 3 2 bca AD . 由已知 2 3BCAD ，可得 2 3 a AD . 在ABC中，由余弦定理得 222 2cos120abcbc， 即 22 3bcbcbc，整理得 2 0bc，即bc， 6 AB . 1 sinsin 62 B . 【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，第（2）问解题关键是把三角形面积 用两种方法表示而建立等式： 11 sin 22 ABC SbcABC AD 20已知椭圆已知椭圆C： 2 2 1 2 x y，动直线，动直线l过定点过定点2,0且交椭圆且交椭圆
34、C于于A，B两点（两点（A， B不在不在x轴上）轴上）. （1）若线段）若线段AB中点中点Q的纵坐标是的纵坐标是 2 3 ，求直线，求直线l的方程；的方程； （2）记）记A点关于点关于x轴的对称点为轴的对称点为M，若点，若点,0N n满足满足MN NB ，求，求n的值的值. 【答案】【答案】 （1）220xy； （2）1n . 【解析】【解析】 （1）设 11 ,A x y， 22 ,B x y，直线AB：2xty，直线方程与椭圆方 程联立消元得y的二次方程，由判别式得t的取舍范围，由韦达定理得 1212 ,yyy y， 利用AB中点纵坐标是 2 3 可求得t，只要满足即可； （2）由题意 1
35、1 ,M xy，MN NB ，说明M，N，B三点共线，即 MNMB kk. 这样可求出n，化为只含 12 ,y y的式子后代入（1）中的 1212 ,yyy y就可求得n 【详解】 （1）设 11 ,A x y， 22 ,B x y，直线AB：2xty. 由 22 2 22 xty xy 消去x得 22 2420tyty. 2 20t ，解得2t 或2t . 由韦达定理得 12 2 4 2 t yy t ， 12 2 2 2 y y t . AB中点Q的纵坐标是 2 3 ， 12 4 3 yy ，代入解得1t 或2t . 又 2t 或 2t ，得2t . 直线l的方程为 220xy. （2）由
36、题意得 11 ,M xy， 由MN NB ，知M，N，B三点共线， 即 MNMB kk. 121 121 0yyy nxxx ， 即 121 121 yyy nxxx ， 解得 121 1 21 yxx nx yy . 将 11 2xty， 22 2xty，代入得 12 12 2 2 ty y n yy . 由有 12 2 4 2 t yy t ， 12 2 2 2 y y t . 将代入得到1n . 【点睛】 本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是“设而不求”的思想方法，解题时注意体会 21已知函数已知函数 2 1 2ln 2 xfxaxx ，其中，其中aR. （1）讨论函数）讨论函数 f
37、x的单调性；的单调性； （2） 若） 若3a， 记函数， 记函数 f x的两个极值点为的两个极值点为 1 x， 2 x（其中（其中 21 xx） ， 求） ， 求 21 f xf x 的最大值的最大值. 【答案】【答案】 （1）当 2 2a 时， f x在0,上单调递增；当 2 2a 时，函数 f x 在 2 8 0, 2 aa 和 2 8 , 2 aa 上单调递增， 在 22 88 , 22 aaaa 上单调递减； （2） 3 2ln2 2 . 【解析】【解析】 （1）求出导函数( )fx，由( )0fx 得增区间，由( )0fx 得减区间，注意 题中函数定义域是(0,)，因此对二次三项式
38、2 8xax分类情况为第一类： 0a 或 0，第二类0a且 （2）与极值点有关的问题，不是直接代入极值点，而是用 12 ,x x表示极值点，由 12 ,x x是 方程 2 20xax的解，得 12 xxa， 12 2x x . 2 21222 1 ()( )2ln 2 f xf xxxax 2 111 1 (2ln) 2 xxax 22 2 2121 1 1 2ln 2 x xxa xx x 22 221 1 2ln 2 xxx x 22 221 112 2ln xxx xx x 221 112 2ln xxx xxx .不妨设 12 xx ，引入变量 2 1 x t x ，则1t ， 21
39、()( )f xf x就转化 为t的函数，由3a求得t的范围，由导数知识可得所求最大值 【详解】 （1） 2 22 0 xax xax xx fx . 令 2 2g xxax，则 2 8a . 当0a 或0 ，即 2 2a 时，得 0fx 恒成立， f x在0,上单调递增. 当 0 0 a ，即 2 2a 时， 由 0fx ，得 2 8 0 2 aa x 或 2 8 2 aa x ； 由 0fx ，得 22 88 22 aaaa x . 函数 f x在 2 8 0, 2 aa 和 2 8 , 2 aa 上单调递增， 在 22 88 , 22 aaaa 上单调递减. 综上所述，当 2 2a 时，
40、 f x在0,上单调递增； 当 2 2a 时，函数 f x在 2 8 0, 2 aa 和 2 8 , 2 aa 上单调递增， 在 22 88 , 22 aaaa 上单调递减. （2）由（1）得，当 2 2a 时， f x有两极值点 1 x， 2 x（其中 21 xx）. 则 1 x， 2 x为 2 20xag xx的两根， 12 xxa， 12 2x x . 22 2 212121 1 1 2ln 2 x f xf xxxa xx x 2222 221221 1112 2ln2ln 2 xxxxxx xxx x 221 112 2ln xxx xxx . 令 2 1 1 x tt x ， 则
41、21 1 2lnf xf xh ttt t . 由3a，得 2 2 12 12 19 2 22 xxa t x xt ， 即 2 2520tt，解得2t . 2 2 222 12121 10 ttt tttt h t ， h t在2,上单调递减， max 3 22ln2 2 h th. 即 21 f xf x的最大值为 3 2ln2 2 . 【点睛】 本题考查用导数研究函数的单调性，函数的极值点以及与极值点有关的最值在求单调 区间时要注意分类讨论在研究极值点有关的最值问题时，常常设极值点为 12 ,x x，由 极值点的定义得出函数中参数与 12 ,x x的关系，即用 12 ,x x表示参数，并
42、代入待求（证） 式，同时设 2 1 x t x （本题） ，可把待求（证）式转化为t的函数式，从而再利用导数的 知识确定这个函数得出结论这类题难度较大，对学生的思维能力、推理论证能力、转 化与化归能力要求较高 22在平面直角坐标系中，曲线在平面直角坐标系中，曲线 1 C的参数方程为的参数方程为 1cos sin xr yr （0r ，为参数） ，为参数） ， 以坐标原点以坐标原点O为极点，为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1 C经过点经过点2, 3 P ，曲，曲 线线 2 C的直角坐标方程为的直角坐标方程为 22 1xy. （1）求曲线）求曲线 1 C的普通方程，曲线的普通方程，曲线 2 C的极坐标方程；的极坐标方程； （2） 若） 若 1, A ， 2, 6 B 是曲线是曲线 2 C上两点， 当上两点， 当0, 4 时， 求时， 求22 11 OAOB 的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （1） 2 2 13xy，
