1、1 1.1 1.3 3空间向量的坐标与空间直角坐标系空间向量的坐标与空间直角坐标系核心素养 1.在理解空间向量基本定理的基础上掌握空间向量正交分解的原理及坐标表示.(数学抽象)2.能正确地运用空间向量的坐标,进行向量的线性运算与数量积运算.(数学运算)3.初步学会用坐标的方法解决立体几何中的简单几何问题.(逻辑推理、直观想象)思维脉络激趣诱思知识点拨我们所在的教室是一个立体图形,即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为坐标原点,沿着三条墙缝作射线可以得到三条坐标轴,有了这三条坐标轴,就可以形成一个可以度量的三维空间,也就是建立了空间直角坐标系(类比平面直角坐标系).如果将图中的小鸟所在的树枝
2、看成“向量”,平行移动这个“向量”,那么它的坐标有变化吗?树枝的端点坐标有变化吗?激趣诱思知识点拨1.空间中向量的坐标一般地,如果空间向量的基底e1,e2,e3中,e1,e2,e3都是单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基底为单位正交基底;在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解,而且,如果p=xe1+ye2+ze3,则称有序实数组(x,y,z)为向量p的坐标,记作p=(x,y,z),其中x,y,z都称为p的坐标分量.激趣诱思知识点拨微练习已知向量p在基底a,b,c下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在基底i,j,k下的坐标是()A.(12,
3、14,10)B.(10,12,14)C.(14,12,10)D.(4,3,2)解析:由题意知p=8a+6b+4c=8i+8j+6j+6k+4k+4i=12i+14j+10k,故向量p在基底i,j,k下的坐标为(12,14,10).答案:A激趣诱思知识点拨2.空间向量的运算与坐标的关系空间向量a,b,其坐标形式为a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).向量运算向量表示坐标表示加法a+ba+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)减法a-ba-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)数乘aa=(x1,y1,z1)数量积abab=x1x2+y1y2+z1z2激趣诱思知识点拨特别地,(
4、1)如果,v是两个实数,那么a+vb=(x1+vx2,y1+vy2,z1+vz2).激趣诱思知识点拨微练习(1)已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则4a+2b等于()A.(16,0,4)B.(8,-16,4)C.(8,16,4)D.(8,0,4)解析:4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+(-4,8,0)=(8,0,4).答案:D(2)向量a=(2,-3,),b=(1,0,0),则cos=.激趣诱思知识点拨激趣诱思知识点拨微练习已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若ab,则()答案:D 激趣诱思知识点拨4.空间直角坐标系为了确定空间点
5、的位置,在平面直角坐标系xOy的基础上,通过原点O,再作一条数轴z,使它与x轴,y轴都垂直,这样它们中的任意两条都互相垂直.轴的方向通常这样选择:从z轴的正方向看,x轴的正半轴沿逆时针方向转90能与y轴的正半轴重合,这样就在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做坐标原点.每两条坐标轴分别确定的平面xOy,yOz,zOx叫做坐标平面,三个坐标平面把不在坐标平面内的点分成八个卦限,如图所示.激趣诱思知识点拨名师点析(1)空间中的点与三个实数组成的有序实数组之间,有了一一对应关系,空间一点M的位置完全由有序实数组(x,y,z)确定,因此将(x,y,z)称为点M的坐标,记作M(x,y,z).此时
6、,x,y,z都称为点M的坐标分量,且x称为点M的横坐标(或x坐标),y称为点M的纵坐标(或y坐标),z称为点M的竖坐标(或z坐标).(2)八个卦限中的点的坐标符号也有一定的特点:(+,+,+);:(-,+,+);:(-,-,+);:(+,-,+);:(+,+,-);:(-,+,-);:(-,-,-);:(+,-,-).激趣诱思知识点拨微练习(1)点P(1,2,1)关于xOz平面的对称点的坐标是()A.(1,-2,1)B.(-1,-2,1)C.(1,2,-1)D.(-1,-2,-1)(2)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,取D点为原点建立空间直角坐标系,O,M分别是AC,DD
7、1的中点,写出下列向量的坐标:激趣诱思知识点拨答案:(1)A(2)(-2,0,1)(1,1,2)激趣诱思知识点拨5.空间直角坐标系中两点之间距离公式及中点坐标设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间直角坐标系中的两点,则激趣诱思知识点拨微练习已知点A(-3,1,5)与点B(4,3,1),则AB的中点坐标是()答案:B 探究一探究二探究三素养形成当堂检测空间向量坐标的计算空间向量坐标的计算例1(1)已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则(2a+3b)(a-2b)=_.答案:(1)-244(2)C 探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 对于空间向量坐标的计算有
8、以下两种途径:(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.本探究中例题就是用给出的向量坐标直接套用数量积相关公式求解.对于(1)问中运算方法还可以先求出2a+3b与a-2b的坐标再计算.(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量按坐标形式设出来,然后通过建立方程组,解方程(组)求出其坐标.变式中的求参问题便属于这一类型题目.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且满足条件(c-a)(2b)=-2,则x=.解析:据题意,有c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),故(c-a)2b
9、=2(1-x)=-2,解得x=2.答案:2探究一探究二探究三素养形成当堂检测空间向量平行、垂直的坐标表示空间向量平行、垂直的坐标表示 探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 1.判断空间向量垂直或平行的步骤.(1)向量化:将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行.(2)对于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直;根据x1=x2,y1=y2,z1=z2(R)或 (x2,y2,z2都不为0)判断两向量是否平行.2.求出参数值后还要再回归到原题检验解的可行性,解决平行或垂直时用的坐标,含参数的还要注意分类讨
10、论思想的应用.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究 若将本例改为“若ka-b与ka+2b互相垂直”,求k的值.解:由题意知ka-b=(k+1,k,-2),ka+2b=(k-2,k,4),(ka-b)(ka+2b),(ka-b)(ka+2b)=0,探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测空间向量的夹角与长度的计算空间向量的夹角与长度的计算例3棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.探究一探究二探究三素养形成当堂检测(1)证明:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,
11、y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 通过分析几何体的结构特征,建立适当的坐标系,使尽可能多的点落在坐标轴上,以便写点的坐标时便捷.对于正方体载体常用的建系方法一般如例题中所述.建立坐标系后,写出相关点的坐标,然后再写出相应向量的坐标表示,把向量坐标化,然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练3 如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,BCA=90,棱AA1=2,N为A1A的中点.(1)求BN的长;(2)建立直角坐标系,求探究一探究二探究三素养形成当堂检
12、测解:如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Cxyz.探究一探究二探究三素养形成当堂检测思想方法思想方法用坐标法解决平行或垂直问题用坐标法解决平行或垂直问题案例 1设向量a=(1,x,1-x),b=(1-x2,-3x,x+1),求满足下列条件时,实数x的值.(1)ab;(2)ab.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)当x=0时,a=(1,0,1),b=(1,0,1),a=b,满足ab.当x=1时,a=(1,1,0),b=(0,-3,2),不满足ab,x1.探究一探究二探究三素养形成当堂检测案例 2如图,正方形ABCD和四边形ACEF所
13、在平面互相垂直,CEAC,EFAC,AB=,CE=EF=1.求证:(1)AF平面BDE;(2)CF平面BDE;探究一探究二探究三素养形成当堂检测证明:(1)如图,设AC与BD交于点G,连接EG.EFAG,且EF=1,AG=AC=1,四边形AGEF为平行四边形,AFEG.EG平面BDE,AF平面BDE,AF平面BDE.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测归纳提升1.解决此类问题要熟练掌握向量平行和垂直的条件,借助此条件可将立体几何中的平行、垂直问题转化为向量的坐标运算.在应用坐标形式下的平行条件时,一定注意结论成立的前提条件,在条件不明确时要分类讨论.2.这两个案
14、例渗透了分类讨论、转化、数形结合等多种数学思想.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.已知M(5,-1,2),A(4,2,-1),O为坐标原点,若 ,则点B的坐标应为()A.(-1,3,-3)B.(9,1,1)C.(1,-3,3)D.(-9,-1,-1)答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4)关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标是()A.(0,0,0)B.(2,-1,-4)C.(6,-3,-12)D.(-2,3,12)解析:设对称点为P3,则点M为线段PP3的中点,设P3(x,y,z),由中点坐标公式,可得x=22-(-2)=6,y=2(-1)
15、-1=-3,z=2(-4)-4=-12,所以P3(6,-3,-12).答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.(多选)已知a=(2,-3,1),则下列向量中不与a平行的是()A.(1,1,1)B.(-4,6,-2)C.(2,-3,5)D.(-2,-3,5)解析:若ab,b0,必有b=a.则b=(-4,6,-2)时,b=-2(2,-3,1)=-2a,所以ab.经检验,其他向量均与a不平行.答案:ACD探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是.解析:依题意得(ka+b)(2a-b)=0,所以2k|a|2-kab+2ab-|b|2=0,而|a|2=2,|b|2=5,ab=-1,探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测6.在棱长是2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点.应用空间向量方法求解下列问题.(1)求EF的长.(2)证明:EF平面AA1D1D;(3)证明:EF平面A1CD.
