1、FFFN1FN2F2F1122FF+-FN：(轴力图轴力图)2-1 画以下各杆的轴力图，并求指定截面上的内力。画以下各杆的轴力图，并求指定截面上的内力。解：求截面内力用截面法，轴载直杆截面上内力为轴力。解：求截面内力用截面法，轴载直杆截面上内力为轴力。(a)在指定截面处将杆件截开，取截开后的杆件在指定截面处将杆件截开，取截开后的杆件各部分之一为隔离体各部分之一为隔离体(比如取右侧部分比如取右侧部分)，画，画出隔离体的受力图，出隔离体的受力图，轴力轴力(内力内力)按其正方向按其正方向画画，由隔离体的平衡条件，有：，由隔离体的平衡条件，有：FN1=F (受拉受拉)FN2=F-2F=-F (受压受压
2、)112FFN1222F2FFN2FN：轴力图画在与受力图对应的位置，注意标注出轴力图画在与受力图对应的位置，注意标注出特征位置内力大小。可用正负标记表示基线某特征位置内力大小。可用正负标记表示基线某一侧的内力值的正负。对水平放置的杆件，习一侧的内力值的正负。对水平放置的杆件，习惯上将正值轴力画在基线以上。惯上将正值轴力画在基线以上。即即:指定截面上轴力的大小等于该截面任一侧所指定截面上轴力的大小等于该截面任一侧所有轴向力有轴向力(包括支反力包括支反力)的代数和。的代数和。(b)如图取隔离体，有：如图取隔离体，有：FN1=2F FN2=2F-2F=0 2F+画内力图时，可用与基线垂直的具有标长
3、的直画内力图时，可用与基线垂直的具有标长的直线段表示该线段所在截面内力值的大小。切记线段表示该线段所在截面内力值的大小。切记不可画成阴影线不可画成阴影线(剖面线剖面线)。2-1 画以下各杆的轴力图，并求指定截面上的内力。画以下各杆的轴力图，并求指定截面上的内力。(c)如图取隔离体，有：如图取隔离体，有：FN1=2F FN2=2F-F=F(d)如图取隔离体，有：如图取隔离体，有：FN1=F FN2=F-qa-2F =F-F-2F=-2F 112FFN122F2FFN2+FFN：2F+3F11 FFN1q=F/a2F22 FFN22F-FFN：+轴力图在集中载荷作用处有突变，突变轴力图在集中载荷作
4、用处有突变，突变值与集中力的大小相等；值与集中力的大小相等；在分布载荷作用处轴力图斜率的值等于在分布载荷作用处轴力图斜率的值等于该处分布载荷的分布集度大小，则分布该处分布载荷的分布集度大小，则分布载荷的起点和终点处为轴力图折点。载荷的起点和终点处为轴力图折点。可由受力与轴力图的特点，检查内力图：2-2 图示杆件由两根木杆粘接而成。欲使其在受拉时，粘接面上的正应力为其切应力的图示杆件由两根木杆粘接而成。欲使其在受拉时，粘接面上的正应力为其切应力的2倍，倍，试问粘接面的位置应如何确定？试问粘接面的位置应如何确定？解：本题实质上是要考察斜截面上的应力。由斜截面应力公式，有：解：本题实质上是要考察斜截
5、面上的应力。由斜截面应力公式，有：2sin2cos2由题义，要求：由题义，要求：2则有：则有：21tan2sin22cos2即粘接面法向的角度为：即粘接面法向的角度为：6.2621tan12-4图示实心圆钢杆图示实心圆钢杆AB和和AC在在A点作用有铅垂向下的力点作用有铅垂向下的力F=35kN。已知杆。已知杆AB和和AC的直径分别的直径分别为为d1=12mm和和d2=15mm，钢的弹性模量，钢的弹性模量E=210GPa。试求。试求A点在铅垂方向的位移。点在铅垂方向的位移。解：求各杆内力，如图取解：求各杆内力，如图取A点为对象，由平衡条件，有：点为对象，由平衡条件，有：NABNACNACNABxF
6、FFFF230sin45sin0求位移，各杆变形与求位移，各杆变形与A点位移之间的几何关系如图：点位移之间的几何关系如图：mmEAlFlACACNACAC104.14/015.0102106.110622.25293求各杆变形求各杆变形(伸长伸长)：AFFNABFNACxykNFkNFFFFFFNACNABNACNABy622.25117.1831230cos45cos0(拉拉)(拉拉)mmEAlFlABABNABAB078.14/012.010210210117.18293 AAlAAAAlAAABAC45cos45tan30tan30cos有有mmllAAABACAy366.130tan1
7、30tan45cos30cos 整理得整理得45Axy30ABlAClA A2-5 图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F，并由作用于地桩的摩擦力所支持。设沿，并由作用于地桩的摩擦力所支持。设沿地桩单位长度的摩擦力为地桩单位长度的摩擦力为 f，且，且 f=k y2，式中，式中，k为常数。试求地桩的缩短量为常数。试求地桩的缩短量。已知地桩的。已知地桩的横截面面积为横截面面积为A，弹性模量为，弹性模量为E，埋入土中的长度为，埋入土中的长度为l。解：地桩所受外载为轴载，且在解：地桩所受外载为轴载，且在F和摩擦力共同作用下平衡。和摩擦力共同作用下平衡。03d
8、302FlkFykyFly则：则：轴力方程为：轴力方程为：330d)(lFyyfyFyN求地桩的缩短量求地桩的缩短量：EAFlyyEAlFyEAyFlllN4dd)(033023333ylFflFk即：即：yFN(y)2-7 简单托架及其受力如图所示，水平杆简单托架及其受力如图所示，水平杆BC 的长度的长度 l 保持不变，斜杆保持不变，斜杆AB 的长度可随夹角的长度可随夹角 的变化而改变。两等直杆由同一材料制造，且材料的许用拉应力与许用压应力相等。要求的变化而改变。两等直杆由同一材料制造，且材料的许用拉应力与许用压应力相等。要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求：（两杆
9、内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求：（1）两杆的夹角）两杆的夹角 值；值；（2）两杆横截面面积的比值）两杆横截面面积的比值解：求各杆内力及应力解：求各杆内力及应力sincoscossin1sincoscossinFllFlFlAlAVBCBCABAB由题义，各杆应力达到许用应力，则：由题义，各杆应力达到许用应力，则：sincossinFAFABCAB要求结构的总重量为最小即结构总体积最小，其体积为：要求结构的总重量为最小即结构总体积最小，其体积为：(拉拉)sinFFNABsinABABNABABAFAFsincosFFNBC(压压)sincosBCBCNBCBCAFAFFF
10、NABFNBCB0ddV令：令：得：得：445474.542tan3cos1BCABAA则：则：即：两杆的夹角即：两杆的夹角 值为值为 两杆横截面面积的比值为两杆横截面面积的比值为445432-9 图示桁架结构，各杆都由两个相同的等边角钢组成。已知材料的许用应力图示桁架结构，各杆都由两个相同的等边角钢组成。已知材料的许用应力=170MPa，试选择杆试选择杆AC和和CD的角钢型号。的角钢型号。解：桁架结构各杆均为二力杆解：桁架结构各杆均为二力杆(拉压杆拉压杆)22639151017021013.311 2mmmFANACAC求杆求杆AC和和CD的轴力：的轴力：求支反力求支反力FAxFAyFB00
11、AxxFFkNFFMBA22012822042200)(kNFFMAyB22012822042200)(EFAyFNACFNAEAFNCEFNACFNCDC由由A点的平衡条件：点的平衡条件：kNFFAyNAC13.311220245cos(拉拉)由由C点的平衡条件：点的平衡条件：kNFFNACNCD22045cos(拉拉)由强度条件：由强度条件：NFA各杆都由两个相同的等边角钢组成各杆都由两个相同的等边角钢组成AA2226364710170210220 2mmmFANCDCD选两根选两根8(806)等边角钢等边角钢选两根选两根7(705)等边角钢等边角钢A=687.5mm2A=939.7 mm
12、22-10 已知混凝土的密度已知混凝土的密度=2.25103kg/m3，许用压应力，许用压应力=2MPa。试按强度条件确定图示混。试按强度条件确定图示混凝土柱所需的横截面面积凝土柱所需的横截面面积 A1 和和 A2。若混凝土的弹性模量。若混凝土的弹性模量E=20GPa，试求柱顶，试求柱顶 A 的位移。的位移。解：混凝土柱各段轴力分别为：解：混凝土柱各段轴力分别为：EglEAllgAFEglEAFlEAxFlliliNiiA2)(2d2222112111)(1211211lxgAlgAFFxgAFFNN(受压受压)(2211max211max1lAlAgFFlgAFFNN取取A1=0.576m2
13、由强度条件：由强度条件：maxAFN2236311576.0)(128.91025.2102101000mmglFA2236332112664.0)(128.91025.2102576.0128.91025.2101000mmgllgAFA取取A1=0.664m2混凝土柱各段危险截面分别为柱中截面和柱底截面，其轴力分别为：混凝土柱各段危险截面分别为柱中截面和柱底截面，其轴力分别为：x柱底固定，则柱顶位移值等于柱的伸缩量，可用叠加原理计算柱底固定，则柱顶位移值等于柱的伸缩量，可用叠加原理计算93931020212128.91025.2576.0102012101000mm242.21020212
14、128.91025.2664.010201210)12576.08.925.21000(93932-12 图示接头，由两块钢板用四个直径相同的钢铆钉连接而成。已知载荷图示接头，由两块钢板用四个直径相同的钢铆钉连接而成。已知载荷F=80kN，板宽，板宽b=80mm，板厚，板厚=10mm，铆钉直径，铆钉直径 d=16mm，许用切应力，许用切应力 =100MPa，许用挤压应力，许用挤压应力bs=300MPa,许用拉应力许用拉应力=170MPa。试校核接头的强度。试校核接头的强度。(提示：设每个铆钉受力相同提示：设每个铆钉受力相同)解：剪切强度计算：外力过截面组中心，每个铆钉受解：剪切强度计算：外力过
15、截面组中心，每个铆钉受力相同力相同12510)1680(1080)(32222MPadbFAFN综上，接头满足强度要求综上，接头满足强度要求kNFFs204拉伸强度计算：可能的危险截面为拉伸强度计算：可能的危险截面为1-1 和和2-2 截面截面5.9916102044232MPadFAFss挤压强度计算：铆钉与钢板材料相同，挤压面为圆柱面挤压强度计算：铆钉与钢板材料相同，挤压面为圆柱面125101610204/3bsbsbbsMPadFAF112212510)16280(410803)2(4/331111MPadbFAFN2-13 图示圆截面杆件，承受轴向拉力图示圆截面杆件，承受轴向拉力 F
16、作用。设拉杆的直径为作用。设拉杆的直径为d，端部墩头的直径为，端部墩头的直径为D，高度，高度为为h，试从强度方面考虑，建立三者间的合理比值。已知许用应力，试从强度方面考虑，建立三者间的合理比值。已知许用应力=120MPa，许用切应力，许用切应力=90MPa，许用挤压应力，许用挤压应力 bs=240MPa。解：可能发生的破坏为墩头的剪切和挤压破坏、杆件的拉伸破坏，解：可能发生的破坏为墩头的剪切和挤压破坏、杆件的拉伸破坏，合理的尺寸应使剪切面上的切应力、最大挤压应力和杆件横截面上合理的尺寸应使剪切面上的切应力、最大挤压应力和杆件横截面上拉应力之间的比值等于相应的许用应力之间的比值，即：拉应力之间的
17、比值等于相应的许用应力之间的比值，即：4/)1/(4/)(22222dDdFdDFAFbsbbsdhFAFs则有：则有：4/2dFAFN4:8:3120:240:90:bsbs其中：其中：3434dhhdddDdDbs225.12621121:333.0:225.1:dhD即：即：2-14 刚性梁用两根钢杆和悬挂着，受铅垂力刚性梁用两根钢杆和悬挂着，受铅垂力F=100kN作用。已知钢杆作用。已知钢杆AC 和和BD 的直径分别为的直径分别为d1=25mm 和和 d2=18mm，钢的许用应力，钢的许用应力=170MPa，弹性模量，弹性模量E=210GPa。(1)试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形试
18、校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形 lAC，lBD及及 A，B 两点的竖直位移两点的竖直位移A，B。(2)若荷载若荷载F=100kN作用于作用于A点处，试求点处，试求F点的竖直位移点的竖直位移F。(结果表明，结果表明，F=A，事实上这，事实上这是线性弹性体中普遍存在的关系，称为位移互等定理。是线性弹性体中普遍存在的关系，称为位移互等定理。)解解：(1)以以AB杆为对象：杆为对象：各杆满足强度要求各杆满足强度要求135253101008231MPaMPaAFNACACFFFMNBDA310)(FFFMNACB320)(4/3/2211dEFlEAFlACNACACAmmm62.1102510210
19、35.210100862934/3/1222dEFlEAFlBDNBDBDBmmm56.110181021035.21010046293131183101004232MPaMPaAFNBDBDAB由变形图，可知：由变形图，可知：2-14 刚性梁用两根钢杆和悬挂着，受铅垂力刚性梁用两根钢杆和悬挂着，受铅垂力F=100kN作用。已知钢杆作用。已知钢杆AC 和和BD 的直径分别为的直径分别为d1=25mm 和和 d2=18mm，钢的许用应力，钢的许用应力=170MPa，弹性模量，弹性模量E=210GPa。(1)试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形 lAC，lBD及及
20、A，B 两点的竖直位移两点的竖直位移A，B。(2)若荷载若荷载F=100kN作用于作用于A点处，试求点处，试求F点的竖直位移点的竖直位移F。(结果表明，结果表明，F=A，事实上这，事实上这是线性弹性体中普遍存在的关系，称为位移互等定理。是线性弹性体中普遍存在的关系，称为位移互等定理。)解解：(2)以以AB杆为对象：杆为对象：00)(NBDAFFMFFFMNACB0)(mmdEFlEAFlACNACACAF62.14/32323232211A由变形图，可知：由变形图，可知：FF2-17 图示钢杆图示钢杆,横截面面积横截面面积A=2500mm2,弹性模量弹性模量E=210GPa，线膨胀系数，线膨胀
21、系数 l=12.510-6 C-1，轴向载荷轴向载荷F=200kN，温度升高，温度升高40C。试在下列两种情况下确定杆端的支反力和杆的最大应力：。试在下列两种情况下确定杆端的支反力和杆的最大应力：|max|（1）间隙）间隙=2.1mm；（；（2）间隙）间隙=1.2mm。解：当杆在轴载解：当杆在轴载 F 和温升同时作用下的伸长小于间隙和温升同时作用下的伸长小于间隙 时属于静定问题，否则杆将与时属于静定问题，否则杆将与B端接触成为超静定问题。端接触成为超静定问题。由题义，有：由题义，有：lTEAlFlliNi(1)间隙间隙=2.1mm：0)(200BCFkNFF则有：则有：lmm0714.2300
22、0105.1240250010210150010200633FBFCMPaAF802500102003max(左段各截面左段各截面)(2)间隙间隙=1.2mm：l杆将与杆将与B端接触成为超静定问题端接触成为超静定问题则有：则有：ABCBlFFF有：有：BCNBNFFFFFFlTEAFlEAlFlTEAlFEAlFllBlNNAB)(5.152)(3000250010210)2.10714.2(3kNNFB)(5.47kNFFFBC得得:MPaAFB612500105.1523max(右段各截面右段各截面)2-18 图示刚性梁受均布载荷作用，梁在图示刚性梁受均布载荷作用，梁在A 端铰支，在端铰支
23、，在B点点C和点由两根钢杆和点由两根钢杆BD和和CE支承。已支承。已知钢杆知钢杆BD和和CE的横截面面积的横截面面积A2=200mm2和和A1=400mm2；钢的许用应力；钢的许用应力=160MPa，考虑到，考虑到压杆的稳定性，许用压应力压杆的稳定性，许用压应力c=100MPa。试校核钢杆的强度。试校核钢杆的强度。解：一次超静定问题，以解：一次超静定问题，以AB为对象，有：为对象，有：111211122265438.123NNNNNFFFEAlFEAlF即：即：0323300)(212NNAFFFM2211123llFN1FN230kN/mABC2则有：则有：(压压)kNFN57.387330
24、21kNFN14.322(拉拉)CE杆的强度杆的强度4.964001057.38311cNcMPaAFBD杆的强度杆的强度05.17.1602001014.32322MPaAFN各杆满足强度要求。各杆满足强度要求。2-19一种制作预应力钢筋混凝土的方式如图所示。首先用千斤顶以拉力一种制作预应力钢筋混凝土的方式如图所示。首先用千斤顶以拉力F 拉伸钢筋拉伸钢筋(图图a)，然，然后浇注混凝土后浇注混凝土(图图b)。待混凝土凝固后，卸除拉力。待混凝土凝固后，卸除拉力F(图图c)，这时，混凝土受压，钢筋受拉，形，这时，混凝土受压，钢筋受拉，形成预应力钢筋混凝土。设拉力使钢筋横截面上产生的初应力成预应力钢
25、筋混凝土。设拉力使钢筋横截面上产生的初应力0=820MPa，钢筋与混凝土的弹，钢筋与混凝土的弹性模量之比为性模量之比为 8:1、横截面面积之比为、横截面面积之比为 1:30，试求钢筋与混凝土横截面上的预应力，试求钢筋与混凝土横截面上的预应力 解：由题义钢筋原始长度比混凝土短解：由题义钢筋原始长度比混凝土短,且有：且有：MPaAFNt4.64782019151915011钢筋横截面上钢筋横截面上预应力预应力(拉拉)为：为：01221111519)1(AFAEAEAFNNlEl100混凝土凝固卸除拉力后，钢筋和混凝土所受轴力大小相等，混凝土凝固卸除拉力后，钢筋和混凝土所受轴力大小相等，钢筋受拉，混
26、凝土受压，且：钢筋受拉，混凝土受压，且：)(2)(1ctll即：即：102211ElAElFAElFNNMPaAFAFtNNc6.2130301122混凝土横截面混凝土横截面上预应力上预应力(压压)为：为：3-1 试作图示各轴的扭矩图试作图示各轴的扭矩图(单位单位:kNm)。2-+2T:1-+2T:+T:-0.5112+T:moa3-2圆轴的直径圆轴的直径d=100mm，承受扭矩，承受扭矩T=100kNm，试求距圆心，试求距圆心 d/8、d/4及及d/2处的切应力，并绘处的切应力，并绘出横截面上切应力的分布图。出横截面上切应力的分布图。解解：由扭转切应力公式：由扭转切应力公式：MPaddTdI
27、Tpd1271.08101003283283348/dTMPaddTdITpd2551.04101003243243344/MPadTWTpd5091.0101001616333max2/横截面上切应力的分布如图横截面上切应力的分布如图3-11 图示阶梯形圆轴，装有三个皮带轮，轴径图示阶梯形圆轴，装有三个皮带轮，轴径d1=40mm、d2=70mm。已知由轮。已知由轮3输入的功率输入的功率P3=30kW，由轮，由轮1和轮和轮2输出的功率分别为输出的功率分别为P1=13kW 和和P2=17kW，轴的转速，轴的转速n=200r/min，材料，材料的许用切应力的许用切应力=60MPa，切变模量，切变模
28、量G=80GPa，许用扭转角，许用扭转角=2/m，试校核该轴的强度与，试校核该轴的强度与刚度。刚度。解解：计算扭力矩：计算扭力矩：/77.104.010801807.6203218049maxmGITpACACNmnPM7.6202001395499549114.4904.0167.62031maxMPaWTpACAC作扭矩图，危险截面在作扭矩图，危险截面在 AC 段或段或 DB 段：段：NmnPM7.811200179549954922NmnPM4.1432200309549954933-620.71432.4T:(Nm)3.2107.0164.143232maxMPaWTpDBDB该轴满足
29、强度与刚度要求该轴满足强度与刚度要求3-13 已知钻探机钻杆的外径已知钻探机钻杆的外径D=60mm，内径，内径d=50mm，功率，功率P=7.35kW，转速，转速n=180r/min，钻，钻杆入土深度杆入土深度l=40m，材料的，材料的G=80GPa，=40MPa。假设土壤对钻杆的阻力沿长度均匀分布，。假设土壤对钻杆的阻力沿长度均匀分布，试求：（试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩；（）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）A、B两截面的相对扭转角。两截面的相对扭转角。解解：求扭力矩：求扭力矩NmM9.38918035.
30、79549076.17)6/5(1 06.09.3891643maxmaxMPaWTpmNmlMmMlm/75.9409.3890000（1）设阻力矩分布集度为）设阻力矩分布集度为 m0，由钻杆的平衡条件：，由钻杆的平衡条件：-389.9T：(Nm)（2）作扭矩图，危险截面为）作扭矩图，危险截面为 A 截面：截面：x（3）如图取坐标系，有：）如图取坐标系，有：xmxT0)(pplplpABGIlMGIlmxxGImxGIxT22dd)(02000048.8148.0)6/5(1 06.010802409.38932449弧度3-16 如图所示，将空心圆杆（管）如图所示，将空心圆杆（管）A套在实
31、心圆杆套在实心圆杆B的一端。两杆在同一横截面处有一直径相的一端。两杆在同一横截面处有一直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一角，现在杆角，现在杆B上施加扭力偶使之扭转，将杆上施加扭力偶使之扭转，将杆A和和B的两的两孔对齐，装上销钉后卸去所施加的扭力偶。试问两杆横截面上的扭矩为多大？已知两杆的极孔对齐，装上销钉后卸去所施加的扭力偶。试问两杆横截面上的扭矩为多大？已知两杆的极惯性矩分别为惯性矩分别为 IpA和和 IpB，且材料相同，切变模量为，且材料相同，切变模量为G。解解：一次超静定：一次超静定：TTTBABABpAApBpBpABApBBpAAlIlIIGITT
32、TGITlGITl由平衡条件：由平衡条件：由变形协调条件：由变形协调条件：4-1 求图示各梁指定截面求图示各梁指定截面1-1、2-2、3-3上的剪力和弯矩。这些截面分别是梁上上的剪力和弯矩。这些截面分别是梁上A、B或或C点的点的紧邻截面。紧邻截面。解解：求支反力：求支反力：971qlFFAys97qlFAy21qlM 由截面法由截面法：FAy972qlFFAys973qlFFAys22227203qllFqlMAy22327203qllFqlMAy2)3(2)(xaqxM4-2 列出图示各梁的剪力和弯矩方程，并绘其剪力图和弯矩图，并确定列出图示各梁的剪力和弯矩方程，并绘其剪力图和弯矩图，并确定
33、|FS|max，|M|max 及其及其所在截面的位置。所在截面的位置。解解：如图建立坐标系：如图建立坐标系：454qaFqaFByAyax204)(qaFxFAysxFAyABFByxqaxFxMAy4)(axa32)3()(xaqxFs22maxmaxqaMqaFsqaqa/4-+FS:qa2/2-M:最大剪力在最大剪力在 B 支座右侧截面，最大弯矩在支座右侧截面，最大弯矩在 B 截面。截面。4-3 利用微分关系，快速画出图示各梁的剪力图和弯矩图。利用微分关系，快速画出图示各梁的剪力图和弯矩图。+qaFs:qa2qa2/2+M:-+5qa/43qa/4qa/4Fs:+-9qa2/32qa2/
34、4qa2M:15-+105Fs:(kN)-2040101.25M:(kNm)4-4 画图示带有中间绞各梁的剪力图和弯矩图。（提示：在中间绞处拆开求其作用力）。画图示带有中间绞各梁的剪力图和弯矩图。（提示：在中间绞处拆开求其作用力）。解解：求支反力：求支反力：232qaFqaFBD作内力图作内力图+-qaqa/2Fs:+-qa2/2qa2/2M:FDFB4-7 若已知图示各简支梁的剪力图，且梁上均无集中力偶作用，试画各梁的弯矩图和载荷图。若已知图示各简支梁的剪力图，且梁上均无集中力偶作用，试画各梁的弯矩图和载荷图。解解：+M:qqqqa2qa2/2qa2/24-8 梁的正方形截面若处于图示二种不
35、同位置时，试求它们的弯矩之比。设两者的最大弯曲梁的正方形截面若处于图示二种不同位置时，试求它们的弯矩之比。设两者的最大弯曲正应力相等。正应力相等。解解：求各截面的抗弯截面模量：求各截面的抗弯截面模量：61234hWhIzaza212/26/33hhWWMMzbzabazbbbzaaaWMWMmaxmax由弯曲正应力公式：由弯曲正应力公式：1222/21234hhIWhIzbzbzb由题义：由题义：maxmaxbazbbzaaWMWM即即得得4-10 图示圆截面梁，外伸部分为空心管，试作其弯矩图，并求其最大弯曲正应力。图示圆截面梁，外伸部分为空心管，试作其弯矩图，并求其最大弯曲正应力。解解：作弯
36、矩图作弯矩图kNFAy357.3144732/31max11max1maxDMWMz由弯矩图，可能的危险截面为由弯矩图，可能的危险截面为5kN 集中力集中力作用处截面和作用处截面和B支座右侧截面：支座右侧截面：FAyFByABkNFBy643.7141070.91.3430.029M:(kNm)-+MPaPa3.6306.010343.1323332/)1(432max22max2maxDMWMzMPaPa1.6260/451 06.0109.032433MPa3.63),max(2max1maxmax4-12 图示为铸铁水平梁的横截面，若其许用拉伸应力图示为铸铁水平梁的横截面，若其许用拉伸应
37、力 t=20MPa，许用压缩应力，许用压缩应力c=80MPa，试求该截面可承受的最大正弯矩之值。，试求该截面可承受的最大正弯矩之值。解解：如图取坐标系，求形心主轴：如图取坐标系，求形心主轴(中性轴中性轴)位置位置mmASyyzc83.7050751001505.87507575100150123)83.7075(10015012150100zI)(854.25)(1017.795859.2580322maxkNmNmyIMyIMzcczc求截面对中性轴的惯性矩求截面对中性轴的惯性矩yzz0y1=ycy2mmy17.7983.7015024623105859.25)83.705.87(50751
38、27550m正弯矩作用下截面上边缘有最大压应力，上边缘有最大拉应力：正弯矩作用下截面上边缘有最大压应力，上边缘有最大拉应力：)(225.7)(1083.705859.2520311maxkNmNmyIMyIMzttzt)(225.7)225.7,854.25min(kNmM4-15求图示梁中隔离体（图中阴影部分）各个面上的正应力和切应力的合力。求图示梁中隔离体（图中阴影部分）各个面上的正应力和切应力的合力。解解：左侧面：左侧面：kNmMkNFs48400F)(103.02.0205.02.010403233*maxkNxbAFxISFxfFszzs右侧面右侧面：)(202kNFFs)(2403
39、.02.043.02.01048622123kNWMhbFzkNmMkNFs5040)(202kNFFs)(2503.02.043.02.01050622123kNWMhbFz上侧面上侧面(中性层中性层)：下侧面及前后侧面下侧面及前后侧面(自由表面自由表面)：00FF4-18图示悬臂梁由三块图示悬臂梁由三块50mm100mm的木板胶合而成，在其自由端作用有横力的木板胶合而成，在其自由端作用有横力F。若已知木材。若已知木材的的 =10MPa、=1MPa，胶合缝上的，胶合缝上的 1 =0.35MPa，梁长，梁长l=1m，试求许可载荷，试求许可载荷F。解解：危险截面为固定端处：危险截面为固定端处：m
40、axmaxzzWFlWMFFFlMsmaxmaxkNNlWFz75.3615.01.0101026由正应力强度条件：由正应力强度条件：由切应力强度条件：由切应力强度条件：2323maxmaxAFAFskNNAF1031.015.01023 26由胶合缝上切应力强度条件：由胶合缝上切应力强度条件：1*max1bIFSbISFzzzzskNNSbIFzz94.305.01.005.0121.015.01.01035.036*1kNF75.3)94.3,10,75.3min(4-20 当横力当横力F直接作用在图示简支梁直接作用在图示简支梁AB的中点时，梁内最大正应力超标的中点时，梁内最大正应力超标3
41、0%，为了安全，在，为了安全，在其中部配置图示辅助简支梁其中部配置图示辅助简支梁CD，试求其最小长度，试求其最小长度a。解解：横力直接作用梁跨中和配置辅助梁后主梁内最大横力直接作用梁跨中和配置辅助梁后主梁内最大弯矩分别为弯矩分别为:4)(41max0maxalFMFlMmla39.13.163.03.13.03.11max0max1max0maxallMM由题义：由题义：即：即：5-2 试用积分求图示各梁的挠度和转角方程，并计算各梁截面试用积分求图示各梁的挠度和转角方程，并计算各梁截面A的挠度与转角。已知各梁的的挠度与转角。已知各梁的EI为常量。为常量。解解：取坐标系求弯矩方程取坐标系求弯矩方
42、程(分段函数分段函数)20(22389)(22lxqxqlxqlxM)20(lx 分别作两次积分：分别作两次积分：xxy)2(2)2/(22389)(222lxllxqqxqlxqlxM1322164389)(CxqxqlxqlxEI)2(lxl133222)2/(664389)(DlxqxqxqlxqlxEI2143221244169)(CxCxqxqlxqlxEIy21443222)2/(24244169)(DxDlxqxqxqlxqlxEIy边界条件：边界条件：)2/()2/()2/()2/(0)0(0)0(121211lllylyy5-2 试用积分求图示各梁的挠度和转角方程，并计算各梁
43、截面试用积分求图示各梁的挠度和转角方程，并计算各梁截面A的挠度与转角。已知各梁的的挠度与转角。已知各梁的EI为常量。为常量。)20(lx 由边界条件：由边界条件：xxy011 CD)41827(24)(221xlxlEIqxx)2(lxl)2448(48)(222xlxlEIqlx)21227(48)(2221xlxlEIqxxy)641928(384)(32232xlxxllEIqlxy则有：则有：022 CD)(4825)()(12845)(3242EIqllEIqllyyAA5-3 用叠加法求图示各梁指定截面处的挠度与转角，用叠加法求图示各梁指定截面处的挠度与转角，(a)求求 yC 、C
44、；(b)求求yC 、A、B。解解：(a)将将AB段视为刚化，相当于固定端段视为刚化，相当于固定端EIqlEIaqlayBCBC2424322322EIaqlEIaMC201EIaqlEIaMyC2222201将将 BC 段视为刚化，段视为刚化，AB 梁相当于受均布载荷和一梁相当于受均布载荷和一端集中力偶同时作用的简支梁，分别计算端集中力偶同时作用的简支梁，分别计算q(1)ql2ql2(2)(3)EIqlEIaqlEIlaMayBCBC3333333033)(24)127(324223322221EIalaqlEIaqlEIaqlEIaqlyyyyCCCC)(24)247(3242332221E
45、IalqlEIqlEIqlEIaqlCCCC5-3 用叠加法求图示各梁指定截面处的挠度与转角，用叠加法求图示各梁指定截面处的挠度与转角，(a)求求 yC 、C；(b)求求yC 、A、B。解解：(b)分别计算各力单独作用时位移，然后叠加分别计算各力单独作用时位移，然后叠加EIFlEIlMyCM1616320EIFlEIFlEIFlyBFAFCF161648223EIFlEIlMEIFlEIlMBMAM66332020)(121648333EIFlEIFlEIFlyyyCMCFC)(4819316222EIFlEIFlEIFlAMAFA)(4811616222EIFlEIFlEIFlBMBFB5-
46、4 滚轮在图示两种梁上滚动。若要求滚轮在梁上恰好走一条水平路径，试问梁的轴线预先滚轮在图示两种梁上滚动。若要求滚轮在梁上恰好走一条水平路径，试问梁的轴线预先应弯成怎样的曲线？已知梁的应弯成怎样的曲线？已知梁的EI为常数。为常数。解解：由题义，梁轴线上任一点的纵坐标等于滚轮移到此由题义，梁轴线上任一点的纵坐标等于滚轮移到此处时该点的挠度大小，由受集中力作用的悬臂梁在集中处时该点的挠度大小，由受集中力作用的悬臂梁在集中力作用点的挠度公式，得：力作用点的挠度公式，得：EIFxy335-8 试求图示梁的约束反力，并画出剪力图和弯矩图。试求图示梁的约束反力，并画出剪力图和弯矩图。解解：一次超静定梁，解除
47、一次超静定梁，解除B 端约束，代之以约束反力，由端约束，代之以约束反力，由约束处的位移条件，有约束处的位移条件，有03)2/()2/(2)2/(3020EIlFEIllMEIlMyByB)(890lMFBy则：则：即：即：M0FBy)(8)(8900MMlMFAAy进而可画出内力图进而可画出内力图Fs：9M0/8l-M：M0/87M0/169M0/16-+解解：由梁变形的微分方程由梁变形的微分方程llxMyEIxM4)26()(0 5-11 跨长为跨长为l、刚度、刚度EI为常数的简支梁，挠曲线方程为为常数的简支梁，挠曲线方程为 ，试确定梁上外载。，试确定梁上外载。lEIlxxMxy4)()(2
48、300dd)(22xMxq由梁平衡微分方程由梁平衡微分方程弯矩方程为一段连续函数，则梁内无集中力和集中力偶，且有：弯矩方程为一段连续函数，则梁内无集中力和集中力偶，且有：00)(2)0(MlMMM则梁受力如图：则梁受力如图：M0M0/25-14 一悬臂梁一悬臂梁AB在自由端受横力在自由端受横力F作用，因其刚度不足，用一短梁加固如图所示，试计算梁作用，因其刚度不足，用一短梁加固如图所示，试计算梁AB的最大挠度的减少量。设二梁的弯曲刚度均为的最大挠度的减少量。设二梁的弯曲刚度均为EI。（提示：如将二梁分开，则二梁在。（提示：如将二梁分开，则二梁在C点点的挠度相等。）的挠度相等。）解解：一次超静定梁
49、，解除一次超静定梁，解除B 端约束，代之以约束反力，端约束，代之以约束反力，由约束处的位移条件，有由约束处的位移条件，有EIFlEIlFEIllFEIlFyCCCB192254852)2/()2/(3)2/(3323EIlFyllEIlFEIlFyCCCC3)2/()2/3(6)2/(3)2/(32231FFC45AB 梁最大挠度在自由端，加固后最大挠度的减少量就是梁最大挠度在自由端，加固后最大挠度的减少量就是 FC 单独作用于悬臂梁单独作用于悬臂梁AB时自由端的挠度。时自由端的挠度。即：即：FFC加固后加固后AB 梁最大挠度的大小为梁最大挠度的大小为EIFlEIFlEIFlyB6413192253333A-2 试求图示平面图形对试求图示平面图形对x轴和轴和y轴的惯性矩。轴的惯性矩。解解：组合图形，可视为矩形挖去两个半圆：组合图形，可视为矩形挖去两个半圆641264212122434321dbhdbhIIIxxx)(2222212100AbIIIIIyyyyyy616641232243bddbdhb8)322(16)988(2122243ddbdhb
