1、2一、基本概念一、基本概念1.取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴轴，横截面的铅垂对称轴为横截面的铅垂对称轴为 y 轴轴，x y 平面为纵向对称平面平面为纵向对称平面B x yA5-1 梁的位移梁的位移 挠度及转角挠度及转角3 yAB xC（1）挠度挠度（w）:横截面形心横截面形心 C (即轴线上的点即轴线上的点)在垂直于在垂直于 x 轴轴 方向的线位移，称为该截面的挠度。方向的线位移，称为该截面的挠度。2.度量梁变形后横截面位移的两个基本量度量梁变形后横截面位移的两个基本量Cw挠度挠度4（2）转角转角（）：横截面对其原来位置的角位移横截面对
2、其原来位置的角位移,称为该称为该 截面的转角。截面的转角。转角转角 yAB xCw挠度挠度C5二、挠曲线二、挠曲线：梁变形后的轴线：梁变形后的轴线 称为挠曲线称为挠曲线。挠曲线方程为挠曲线方程为)(xww 式中式中，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标，w 为该点的挠度。为该点的挠度。挠曲线挠曲线转角转角 yAB xCw挠度挠度C6)(xwwtg三、挠度与转角的关系：三、挠度与转角的关系：挠曲线挠曲线转角转角 yAB xCw挠度挠度C7四、挠度和转角符号的规定四、挠度和转角符号的规定挠度：向下为正，向上为负。挠度：向下为正，向上为负。转角：转角：自自 x 转至转至
3、切线方向切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。顺时针转为正，逆时针转为负。挠曲线挠曲线转角转角 yAB xCw 挠度挠度C8梁的横截面产生两种主要位移：微段变形累加的结果91.齿轮传动 轮齿不均匀磨损，噪声增大，产生振动；加速轴承磨损，降低使用寿命；若变形过大，使传动失效。变形带来的弊端：变形带来的弊端：121210当变形足够大时，可以有效接通电路；当变形足够大时，可以有效接通电路；当变形不够大时，不能有效接通电路；当变形不够大时，不能有效接通电路；2.继电器中的簧片触点簧片工程中，一方面要限制变形，另一方面要利用变形。工程中，一方面要限制变形，另一方面要利用变形。电磁力电磁力11EIM1)(
4、)(1EIxMx横力弯曲时横力弯曲时,M 和和 都是都是 x 的函数的函数。略去剪力对梁的位移。略去剪力对梁的位移的影响的影响,则则一、一、梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程纯弯曲时纯弯曲时曲率曲率与弯矩的关系为与弯矩的关系为5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分12232)1(|)(1wwx由几何关系知由几何关系知,平面曲线的曲率可写作平面曲线的曲率可写作EIxMww)()1(|232)()(1EIxMx13oxoxyyMMMM0wM 0M 0 ,M 0w 0因此因此,M 与与 w 的正负号相反的正负号相反曲线向下凸曲线向下凸 时时：曲线向上凸曲线向上
5、凸 时时:EIxMww)()1(|23214EIxMww)()1(232EIxMw)(此式称为此式称为 近似原因近似原因 :(1)略去了剪力的影响略去了剪力的影响;(2)略去了略去了 w2 项。项。2w与与 1 相比十分微小而可以忽略不计相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为故上式可近似为15再积分一次再积分一次,得挠度方程得挠度方程上式积分一次得转角方程上式积分一次得转角方程若为等截面直梁若为等截面直梁,其抗弯刚度其抗弯刚度 EI 为一常量上式可改写成为一常量上式可改写成)(xMwEI 1d)(CxxMEIw 21dd)(CxCxxxMEIw16二、用积分法求弯曲变形二、用积分法求弯曲变
6、形挠度方程：挠度方程：转角方程：转角方程：式中：积分常数式中：积分常数 C1、C2 可通过梁挠曲线的可通过梁挠曲线的 边界条件边界条件 和和变形变形 连续性条件连续性条件 来确定。来确定。1d)(CxxMEIw 21dd)(CxCxxxMEIw17ABAB在简支梁中，在简支梁中，左右两铰支座处的左右两铰支座处的挠度挠度 wA 和和 wB 都应等于零。都应等于零。在悬臂梁在悬臂梁 中，固定端处的挠度中，固定端处的挠度 w和转角和转角 A 都应等于零。都应等于零。边界条件边界条件wA=0wB=0wA=0 A=018连续性条件连续性条件ABAB 在挠曲线的任一点上，在挠曲线的任一点上，有唯一的挠度和
7、转角。有唯一的挠度和转角。19例题例题1：确定梁的连续条件：确定梁的连续条件ABCDFGwwBBBB右左右左,wwCC右左右左右左DDDDww,wwFF右左但是但是FFCC右左右左,20 例题例题2 2：图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁的悬臂梁,在自由端受一在自由端受一集中力集中力 F 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其并确定其最大挠度最大挠度 wmax 和最大转角和最大转角 max.lyABxF21(1)()(xlFxM弯矩方程为弯矩方程为解：解：挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为(2)(FxFlxMEIwx)(xMwEI
8、 lyABxF22(3)212CFxFlxEIw对挠曲线近似微分方程进行积分对挠曲线近似微分方程进行积分 )(FxFlxMEIw)4(622132CxCFxFlxEIw230,00,0yxyx边界条件为边界条件为:C1=0 C2=0将边界条件代入将边界条件代入(3)(4)(3)(4)两式中两式中,可得可得(3)212CFxFlxEIw)4(622132CxCFxFlxEIw24梁的转角方程和挠曲线方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为EIFxEIFlxw22EIFxEIFlxw6232(3)212CFxFlxEIw)4(622132CxCFxFlxEIwC1=0 C2=025 max max
9、 及及 wmaxmax都发生在自由端截面处都发生在自由端截面处EIFlEIFlEIFllx22|222max（）（）EIFlwwlx3|3maxwmaxmaxlyABxF26例题例题3 3：图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁的简支梁,在全梁上受集度为在全梁上受集度为q 的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度并确定其最大挠度 wmax 和最大转角和最大转角 max .lABq272BAqlFF解解:由对称性可知，梁的两个支座力为由对称性可知，梁的两个支座力为lABqAFBF28此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别
10、为此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为 )(2212)(22xlxqqxxqlxMx )(2)(2xlxqxMEIwlABqAFBF29 xlxqxMEIw)(2)(2 )()32(2132cCxlxqEIw)()126(22143dCxCxlxqEIw30 边界条件为边界条件为:,0 x0y,lx 0yxlABqAFBF31 将边界条件代入将边界条件代入 (c),(d)两式得两式得02 C2431qlC 梁的转角方程和挠梁的转角方程和挠度度方程分别为方程分别为)2(24)46(24323323xlxlEIqxwxlxlEIqw32 maxABEIql243 B)2(24)46(2432332
11、3xlxlEIqxwxlxlEIqw在在 x=0 和和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，处转角的绝对值相等且都是最大值，AlABqAFBF33lABqEIqllxww3845)2(4max在在梁跨中点梁跨中点 l/2 处处有有 最大挠度值最大挠度值maxw B AAFBF34例题例题4：图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为EI的简支梁的简支梁,在在D点处受一集中点处受一集中力力F 的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求其的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求其最大挠度和最大转角。最大挠度和最大转角。ABFDabl35lbFFAlaFFB解解:梁的两个支反力为梁的两个支反力为AB
12、FDablAFBF36)0(A1axxlbFxFM两段梁的弯矩方程分别为两段梁的弯矩方程分别为12)()(2lxaaxFxlbFMxABFDablAFBFx37两段梁的挠曲线方程分别为两段梁的挠曲线方程分别为xlbFMEIw111212CxlbFEIw11316DxCxlbFEIw)(12axFxlbFMEIw222222CaxFxlbFEIw2233266DxCaxFxlbFEIw12挠曲线方程挠曲线方程转角方程转角方程挠度方程挠度方程(0 x a)(a x )l38D点的连续条件：点的连续条件：在在 x=a 处处21ww21ww 边界条件边界条件在在处，处，在在 x=0 处，处，01wlx
13、 02w12ABFDablAFBF代入方程可解得代入方程可解得:021DD)(62221bllFbCC39lEIblFabxA6)(|01将将 x=0 和和 x=l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角分别代入转角方程左右两支座处截面的转角lEIalFabB6)(max当当 a b 时时,右支座处截面的转角绝对值为最大右支座处截面的转角绝对值为最大lEIalFablxB6)(|240323221)(baablx 简支梁的最大挠度应在简支梁的最大挠度应在0w处处01w先研究第一段梁，令先研究第一段梁，令得得0362221lbxlEIFbw41323221)(baablx EIFbl.bllEI
14、Fbw|wxx2322max06420)(391当当 a b时，时，x1 a 最大挠度确实在第一段梁中最大挠度确实在第一段梁中42EIFblblEIFbwC2220625.0)43(48梁中点梁中点 C 处的挠度为处的挠度为EIFbl.bllEIFbw|wxx2322max06420)(391结论结论:在简支梁中在简支梁中,不论它受什么荷载作用不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上只要挠曲线上无无 拐点拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度是能满足工程要求的其精确度是能满足工程要求的.43对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上
15、对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的弯矩方程包含的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程。只增加了（前一段梁的弯矩方程。只增加了（x-a）的项。）的项。对（对（x-a）的项作积分时，应该将（）的项作积分时，应该将（x-a）项作为积分）项作为积分变量。从而简化了确定积分常数的工作。变量。从而简化了确定积分常数的工作。积分法的原则积分法的原则44例题例题5：计算等强度梁的最大挠度：计算等强度梁的最大挠度lFxb(x)hbmaxb145解：解：lxbxb1)(12)()(3hxbxIlxIlxhbhlxb12123131I 为
16、固定端截面的惯性矩为固定端截面的惯性矩lFxb(x)hbmaxb146lxIxI)(FxMlxEIFxxEIMw)(EIFlFlwEI lFxb(x)hbmaxb147lFxb(x)hbmaxb1FlwEI CFlxwEIDCxxFlEIw2248lFxb(x)hbmaxb1CFlxwEIDCxxFlEIw220,wlx0,wlx边界条件：边界条件：49lFxb(x)hbmaxb12,32FlDFlC22322FlxFlxFlEIw2FlFlxwEI转角方程：转角方程：挠度方程：挠度方程：50lFxb(x)hbmaxb1将将 x=0 代入上式得自由端的转角，挠度代入上式得自由端的转角，挠度EI
17、FlwEIFl23max2max515-3 按叠加法求计算梁的挠度和转角按叠加法求计算梁的挠度和转角：梁的变形微小，梁的变形微小，且梁在线弹性范围内工作时，且梁在线弹性范围内工作时，梁在几项荷载（可以是集中力梁在几项荷载（可以是集中力,集中力偶或分布力）集中力偶或分布力）同时作用下的挠度和转角，同时作用下的挠度和转角，就分别等于每一荷载单独就分别等于每一荷载单独 作用下该截面的挠度和转角的叠加。作用下该截面的挠度和转角的叠加。当每一项荷载所当每一项荷载所 引起的引起的（如均沿（如均沿 y 轴方向轴方向 ),),其其(如均在如均在 xy 平面内平面内 )时时,则则这就是叠加原理。这就是叠加原理。
18、52例题例题6 6：一抗弯刚度为一抗弯刚度为 EI 的简支梁受荷载如的简支梁受荷载如 图图 所示。所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度试按叠加原理求梁跨中点的挠度 wC 和支座处横截面的和支座处横截面的转角转角 A,B。ABMlCq53解：将梁上荷载分为两项简单解：将梁上荷载分为两项简单的荷载，如图。的荷载，如图。b,c b,c 所示所示(b)(b)BACqBAMC(C)ABMlCq=+54)()(MwqwwCCC)()(MqAAA)()(MqBBB)(16384524EIMlEIqlEIMlEIql3243()EIMlEIql6243()wcqwcmAqAmBqBm(b)(b)BACqBAMC
19、(C)ABMlCq=+55例题例题:试试利用叠加法，利用叠加法，求图所示抗弯刚度为求图所示抗弯刚度为 EI 的简支梁跨的简支梁跨中点的挠度中点的挠度 wC 和两端截面的转角和两端截面的转角 A ,B 。l2lABC Cq56解：解：可视为正对称荷可视为正对称荷载与反对称荷载两种情载与反对称荷载两种情况的叠加。况的叠加。l2lABC CqABC Cq/2C CA AB B2q2q57EIqlEIlqwC7685384)2(5441（1）正对称荷载作用下）正对称荷载作用下EIqlEIlqBA4824)2(3311ABC Cq/258（2）反对称荷载作用下）反对称荷载作用下可将可将AC段和段和BC段
20、分别视为受均布线荷载作用且长度段分别视为受均布线荷载作用且长度为为 在跨中在跨中C截面处，截面处，但，但 且该截面的且该截面的 C CA AB B2q2q59EIlqBA24)2()2(32202CwC CA AB B2q2qEIql3843C CA AB B2q2q60将相应的位移进行叠加将相应的位移进行叠加,即得即得EIqlEIqlEIqlBBB38473844833321)(7685421EIqlwwwCCCEIEIEIqlqlqlAAA1283844833332161CBA62例题例题：一抗弯刚度为：一抗弯刚度为 EI 的外伸梁受荷载如图所示的外伸梁受荷载如图所示,试按叠加原理并利用附
21、表试按叠加原理并利用附表,求截面求截面 B 的转角的转角 B 以及以及 A 端和端和BC 中点中点 D 的挠度的挠度 w A 和和 wD 。A AB BC CD Daa2a2 2q qq q63解：将外伸梁沿解：将外伸梁沿 B B 截面截成两段，将截面截成两段，将AB AB 段看成段看成 B B 端端固定的悬臂梁，固定的悬臂梁，BC BC 段看成简支梁段看成简支梁。A AB BC CD Daa2a2 2q qq q642 2q qA AB BB B 截面两侧的相互作用截面两侧的相互作用力为：力为：qaMB2 2qaqaMB2 2 2qa2 2qaqaMB2 B BC CD Dq qA AB B
22、C CD Daa2a2 2q qq q65就是外伸梁就是外伸梁 ACAC 的的 B B，f fD D2 2qaqaMB2 B BC CD Dq q简支梁简支梁 BCBC 的受力情况的受力情况与外伸梁与外伸梁 AC AC 的的 BCBC 段的段的受力情况相同受力情况相同由简支梁由简支梁 BCBC 求得的求得的 B B，w wD DA AB BC CD Daa2 2a2 2q qq q662qaqaMB2 B BC CD Dq q简支梁简支梁 BCBC 的变形就是的变形就是MB B 和均布荷载和均布荷载 q 分别分别引起变形的叠加。引起变形的叠加。q qB BC CD DB BC CD DqaMB
23、2 67(1)(1)求求 B B，wD DwDqBqq qB BC CD DwMBDMBBB BC CD DqaMB2 EIqaEIqlqB324)(33EIqaEIlMMbBB323)(3EIqaEIqlqwD2453845)(44EIqaEIlMMwBBD416)(4268EIqaMBBBqB33EIqaMwqwwBDDD24)()(4由叠加原理得由叠加原理得2 2qaqaMB2 B BC CD Dq q)(BDMwMBBB BC CD DqaMB2)(qwDBqq qB BC CD D692 2q qA AB B(2)(2)求求 wA A由于简支梁上由于简支梁上 B 截面的转动，代动截面
24、的转动，代动 AB 段一起作刚体运段一起作刚体运动，使动，使 A 端产生挠度端产生挠度 w1 1 悬臂梁悬臂梁 AB AB 本身的弯曲变形，使本身的弯曲变形，使 A A 端产生挠度端产生挠度 w2w2w1qaMB2 2 2qa2 2qaqaMB2 A AB BC CD Dq qBA AB BC CD Dq qB70221wawwwBAEIaqw8)2(22EIqaEIqaEIqawA12743444因此，因此，A端的总挠度应为端的总挠度应为由附录由附录 1V 1V 查得查得2 2q qA AB Bw2w1qaMB2 2 2qa2 2qaqaMB2 A AB BC CD Dq qA AB BC
25、CD Dq qBB715-5 梁的刚度校核梁的刚度校核 提高梁的刚度的措施提高梁的刚度的措施一、梁的刚度一、梁的刚度校核校核maxlwlw式中：式中：wmax 为梁上最大的挠度；为梁上最大的挠度；l 为梁的跨长；为梁的跨长；w/l 为为 梁的许可挠度与的跨长比值。梁的许可挠度与的跨长比值。max72梁的位移（挠度和转角）除了与梁的支承和荷载情况有梁的位移（挠度和转角）除了与梁的支承和荷载情况有关外，还取决于以下三个因素：关外，还取决于以下三个因素：材料材料 梁的位移与材料的弹性模量梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比；成反比；截面截面 梁的位移与截面的惯性矩梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比；
26、成反比；跨长跨长 梁的位移与跨长梁的位移与跨长 l 的的 n 次幂次幂成正比。成正比。)(xMEIw二、提高梁的刚度的措施二、提高梁的刚度的措施731.增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度 EI工程中常采用工字形工程中常采用工字形,箱形截面箱形截面为了减小梁的位移，可采取下列措施为了减小梁的位移，可采取下列措施2.调整跨长和改变结构调整跨长和改变结构设法缩短梁的跨长，将能显著地减小其挠度和转角。设法缩短梁的跨长，将能显著地减小其挠度和转角。这是提高梁的刚度的一个很又效的措施。这是提高梁的刚度的一个很又效的措施。)(xMEIw74桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了桥式起重机的钢梁通常采用
27、两端外伸的结构就是为了缩短跨长而减小梁的最大挠度值。缩短跨长而减小梁的最大挠度值。ABq75ABqABq1q1同时，由于梁的外伸部分的同时，由于梁的外伸部分的自重作用，将使梁的自重作用，将使梁的 AB 跨跨产生向上的挠度，从而使产生向上的挠度，从而使AB跨向下的挠度能够被抵消跨向下的挠度能够被抵消一部分，而有所减小。一部分，而有所减小。增加梁的支座也可以减小增加梁的支座也可以减小梁的挠度。梁的挠度。765-6 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能一、梁在纯弯曲时的应变能一、梁在纯弯曲时的应变能lmm 梁在纯弯曲时，各横截面梁在纯弯曲时，各横截面的弯矩的弯矩 M 都等于外力偶矩都等于外力偶矩 m，在
28、线弹性范围内有，在线弹性范围内有EIMk1EIlMl曲率：曲率：圆心角：圆心角：77EIlml m m 与与 m 成线性关系成线性关系外力偶所做的功外力偶所做的功mW21纯弯曲时梁的应变能纯弯曲时梁的应变能EIlMEIlmWVme22212278dxMM+dM二、横力弯曲时梁的应变能二、横力弯曲时梁的应变能横力弯曲时梁的应变能包含两部分：横力弯曲时梁的应变能包含两部分：弯曲应变能弯曲应变能 和和 剪切应变能。剪切应变能。在工程中常用的梁，剪切应变能比弯曲应变能小的多，在工程中常用的梁，剪切应变能比弯曲应变能小的多，因而因而剪切应变能剪切应变能不计。不计。取一微梁段取一微梁段因弯矩的增量是一阶无
29、穷小，因弯矩的增量是一阶无穷小，可略去不计。可略去不计。79所以这段梁的应变能为所以这段梁的应变能为xEIxMed2)(dV2全梁的应变能为全梁的应变能为xEIxMled2)(V2式中：式中：M(x)为梁任横截面上的弯矩表达式。为梁任横截面上的弯矩表达式。dxMM+dMEIlMEIlmWVme22212280由于由于于是于是)(xMwEI xwEIxEIwEIVlled)(2d2)(22 以上应变能的公式只有当梁在线弹性范围内工作时才适用。以上应变能的公式只有当梁在线弹性范围内工作时才适用。81例题例题：弯曲刚度为：弯曲刚度为 EI 的梁悬臂受一集中荷载的梁悬臂受一集中荷载 F 作用。试求作用
30、。试求梁内的应变能梁内的应变能 Ve，并利用功能原理求，并利用功能原理求 A 端的挠度端的挠度 wA。ABFlwA82解：由功能原理，荷载作功等于梁内的应变能解：由功能原理，荷载作功等于梁内的应变能荷载作功为荷载作功为A21FwW ABFlwA83ABFlxEIxMVled2)(2xFxxM)(EIlFdxEIFxVle62)(3202wA84EIlFFwA62132EIFlwe33A 端的挠度端的挠度挠度与力的指向一致，即向上。挠度与力的指向一致，即向上。ABFlxwA85思考题思考题:试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状(2)由约束性质及连续光滑性确定挠曲线的大致形状及位置。(1)由M 的方向确定轴线的凹凸性;思考题思考题1:思考题思考题2:86思考题1答案选择：87思考题2：
