1、第六章第六章平面向量及其应用平面向量及其应用6.4 平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2 向量在物理中的应用举例第一篇第一篇 教材过关教材过关有一个人要去火车站坐车,由于时间紧迫,他一跳上出租车,就急着说:“快!快!来不及了!”司机遵照指示,在合法的范围内快开了好几分钟,这个人才发现不太对劲,问道:“我没有说要去哪里吗?”司机回答:“没有啊!你只叫我快开啊!”于是这个人说:“对不起,请掉头,我要去火车站.”问题1:开始的时候顾客为什么不能到达目的地?情景导学情景导学精读教材精读教材必备知识必备知识问题2:要尽快到达目的地应该怎么办?问题1:开始的时候顾客为什么不能到达目的地?
2、答案答案行驶的方向要对,速度在合法的范围内要快.答案答案因为出租车行驶的方向不对.1.向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、全等、相似、长度、夹角等问题.教材研读教材研读2.平面向量在物理中的应用平面向量在物理中的应用(1)物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法和减法相似,可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量,这是力F与位移s的数量积,即W=Fs=|F|s|cos(为F与s的夹角).特别提醒特别提醒建立平面直角坐标系的方法(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上;(2)若图形中有互相垂直
3、的两条直线,则考虑其作为坐标轴;(3)若是对称图形,则将图形的对称中心作为原点、将图形的对称轴作为坐标轴.探究一向量在平面几何中的应用探究一向量在平面几何中的应用互动探究互动探究关键能力关键能力例例1(1)在ABC所在的平面内有一点P,满足+=,则PBC与ABC的面积之比是()A.B.C.D.PAPB PC AB 13122334C(2)如图所示,在正方形ABCD中,P为对角线AC上任意一点,PEAB,PFBC,垂足分别为E,F,连接DP,EF,求证:DPEF.解析解析(1)由+=,得+=0,即=2,所以点P是CA边上的三等分点,如图所示.故=.(2)证明:证法一:设正方形ABCD的边长为1,
4、AE=a(0a1),PAPB PC AB PAPB BAPC PC AP PBCABCSSPCAC23则EP=AE=a,PF=EB=1-a,AP=a,所以=(+)(+)=+2DP EF DA AP EP PF DA EP DA PF AP EP AP PF=acos 180+(1-a)cos 90+a2cos 452+a(1-a)cos 45=-a+a2+a(1-a)=0,所以,即DPEF.证法二:设正方形ABCD的边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,1),设P(x,x),则E(x,0),F(1,x),2DP EF 所以=(x,x-1),=(1-x,x).DP EF 因为=x(1
5、-x)+x(x-1)=0,所以,即DPEF.DP EF DP EF 思维突破思维突破利用向量解决几何问题的常用思路把已知问题转化为向量问题,再通过相应的向量运算去完成,同时,引入平面向量的坐标可以使向量的运算代数化,让平面向量的坐标成为数与形的载体.跟踪训练跟踪训练1-1如图,已知RtOAB中,AOB=90,OA=3,OB=2,M在OB上,且OM=1,N在OA上,且ON=1,P为AM与BN的交点,求AP的长.解析解析设=a,=b,则=b-a,=b-a,=b-a.设=,=.=+=+=b-a,OA OB AM 12NB 13AB AP AM 1-2b aPB NB 1-3baAB AP PB 1-
6、2b a1-3ba1213解得=,|2=,又=a=3,=b=2,AOB=90,11,211,34,53,5AP 451-2b aAP 24 1-5 2b a1625221-4b b aaOA OB|=(舍负),故AP的长为.AP 4 1054 105探究二向量在物理中的应用探究二向量在物理中的应用例例2 (易错题)如图所示,某人用1.5 m长的绳索,施力25 N,把重物沿坡度为30的斜面向上拖了6 m,拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m.求此人对物体所做的功.解析解析因为绳索长为1.5 m,拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m,斜面坡度为30,所以作用力F与斜面之间所成的角满足sin=,所以co
7、s=,记沿斜面向上方向的单位向量为e,则位移s=6e,W=Fs=|F|s|cos=256=30(J),所以此人对物体所做的功为30 J.1.2 sin601.52 3521-sin 1351351313易错点拨易错点拨利用题目中给出的角度直接求功,导致对角度认识不清而致错.1.要求对物体所做的功,可以转化为求解作用力F与物体的位移s两者之间的数量积,关键是求解作用力F与物体的位移s两者之间的夹角的大小.2.用向量法解决物理问题的步骤:(1)把物理问题中的相关量用向量表示;(2)转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决;(3)结果还原为物理问题.跟踪训练跟踪训练2-1 一个质量为m的物体,受
8、到三个水平力的作用后,静止在光滑的水平面上,将其中一个水平向南的力|F|减少,其他力不变,那么该物体在时间t内的位移是()A.0 B.|F|;向南C.|F|;向北 D.|F|;向北3428tm28tm238tmD解析解析物体受力平衡的条件下,水平向南的力|F|减少,则物体在大小为|F|力的作用下向北匀加速运动,根据匀加速运动的位移公式,得该物体在时间t内的位移|s|=t2=|F|,方向向北.3434123|4Fm23t8m1.在ABC中,已知顶点A(4,1),B(7,5),C(-4,7),D为BC的中点,则BC边的中线AD的长是()A.2 B.C.3 D.55 5257 52课堂检测课堂检测评
9、价检测评价检测素养提升素养提升B解析解析 由题意得,BC的中点D的坐标为,又A(4,1),=,|=.3,62AD 5-,52AD 5 522.已知两个力F1,F2的夹角为90,它们的合力大小为10 N,合力与F1的夹角为60,那么|F1|等于()A.5 N B.5 N C.10 N D.5 N32B解析解析由题意,得四边形OABC是矩形,如图,AOB=60,|F1|=|F合|cos 60=10=5(N).123.一条河的宽度为d,一只船从A出发到河的正对岸B处,船速为v1,水速为v2,则船行到B处时,行驶速度的大小为()A.-21v22vB.|v1|2-|v2|2C.D.2212vv2212|
10、-|vvD解析解析如图,由平行四边形法则和解直角三角形的知识,可得|v|2=|v1|2-|v2|2,即|v|=.2212|-|vv4.坐标平面内一只小蚂蚁以速度v=(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处,其所用时间为 .3解析解析设所用时间为t,则=tv,即(7,12)-(4,6)=t(1,2),所以t=3.AB 5.已知ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:ADCE.证明证明以C为坐标原点,CA所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,建立平面直角坐标系(图略).设AC=a,则A(a,0),B(0,a),D,C(0,0),E.=,=,
11、=-aa+a=0,0,2a12,33aaAD-,2aaCE 12,33aaAD CE 132a 23,即ADCE.AD CE 数学运算用向量法或坐标法解决几何问题已知:如图,AD、BE、CF是ABC的三条高.求证:AD、BE、CF交于一点.审:证明三线共点,只需证明一条直线经过另两条直线的交点.素养演练素养演练联:一条直线经过另两条直线的交点,即三线共点,转化为向量共线,利用两直线垂直的数量积为0,借助方程思想列方程组解决.证明:证明一:设AD与BE交于点H,=a,=b,=p.因为ADBC,BECA,所以 ,BC CACH(b-p)a=0ba-pa=0(a+p)b=0ba+pb=0,所以 =0
12、,即 ,因为CH,CF重合,CF过点H,所以AD、BE、CF交于一点.证法二:如图,建立平面直角坐标系,设A(0,a),B(b,0),C(c,0),H(0,m),F(x,y),则=(-c,a),=(b,-a),=(x,y-a),BHCACHBACAAB AF pa+pb=0p(a+b)=0CHBA=(-c,m),=(x-c,y),=(-b,m).因为,所以=(-b,m)(-c,a)=bc+am=0,所以 ,则=-(a,b).CHCF BHBHCABHCACH-,-cbcacam=-由A、B、F共线得,共线,可得 ,由得=(b,-a)(x-c,y)=0,即 ,所以即 ,所以=(a,b),AB A
13、F AB CF AB CF 22,2-,2abcxba bcyaCF 22-,22a bc a bcba2-2a bcabbx+a(y-a)=0b(x-c)+y(-a)=0所以 ,即,而CF、CH有公共点C,所以C、H、F共线,即 AD、BE、CF交于一点.思:利用向量解决几何问题的步骤:(1)向量法的步骤:转化、运算、翻译.(2)坐标法的思想:建立平面直角坐标系,以“算”代“证”.(3)平行问题转化为向量的共线问题;垂直问题转化为数量积为0;线段的长度及夹角问题利用数量积解决.CF CH答案(b-p)a=0ba-pa=0pa+pb=0p(a+b)=0CHBAm=-bx+a(y-a)=0b(x-c)+y(-a)=0F=HA BC cba22-,22abc a bcbaCF 2-2bc abcCH针对训练针对训练如图,已知ABC两边AB、AC的中点分别为M、N,在BN的延长线上取点P,使NP=BN,在CM的延长线上取点Q,使MQ=CM.证明:P、A、Q三点共线.证明证明设=a,=b,AB AC 则=b,=a,由此可得=b-a,=a-b,所以-=+,=-=a-b,=+,=a+a-b=a-b,即=,故,且PA,AQ有公共点A,所以P、A、Q三点共线.AN12AM 12BN NP 12CM MQ12PAANNP PA11-22bb aAQ AM MQAQ 1212PAAQ PAAQ
