1、2 2.2 2.2 2直线方程的几种形式直线方程的几种形式一二一、直线方程的几种形式【问题思考】1.直线在坐标轴上的截距是距离吗?提示:“截距”并非指“距离”,它是直线与坐标轴交点的横、纵坐标,可以取一切实数,而距离必须大于或等于零.2.填写下表:一二一二4.两点式表示直线方程的条件是什么?两点式怎样变形就能适用于所有过两点的直线了?一二(3)当直线在两坐标轴上的截距相等时,直线l的斜率k=-1,故常设直线方程为x+y=a.一二5.做一做:在x轴上的截距为2且倾斜角为135的直线方程为()A.y=-x+2B.y=-x-2C.y=x+2D.y=x-2答案:A6.做一做:过点P(3,2)和点Q(4
2、,7)的直线方程为.答案:5x-y-13=0 一二二、几种特殊直线的方程【问题思考】1.在方程Ax+By+C=0(A2+B20)中,当A=0或B=0时方程分别表示怎样的直线?一二2.填空:选用点斜式、斜截式、两点式求直线方程时,要考虑特殊情况下的直线方程(坐标轴所在直线或垂直于坐标轴的直线或经过原点的直线).过点(a,b)且平行于x轴的直线方程为y=b.过点(a,b)且平行于y轴的直线方程为 x=a(平行于y轴的直线的斜率不存在).过原点的直线方程为y=kx或x=0.x轴的方程是y=0.y轴的方程是x=0(y轴的斜率不存在).一二思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的
3、画“”.(1)过点P的直线都可用点斜式写出.()(2)过点P(x0,y0)且与x轴垂直的直线方程是y=y0.()(4)直线的点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的任何直线.()(5)直线的一般式方程可表示任意一条直线.()(6)直线的截距式可表示除过原点外的所有直线.()(7)直线的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程.()(8)任何一条直线的一般式方程均能与其他四种形式(点斜式、两点式、斜截式、截距式)相互互化.()一二答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)探究一探究二探究三探究四探究五一题多解直线方程的点斜式直线方程的点斜式【例1】求满足下列条件的直线的方程:(1)过点
4、P(-4,3),斜率k=-2;(2)过点P(2,-5),且与x轴平行;(3)过点P(3,-1),且与y轴平行.思路分析:利用直线方程的点斜式及特殊位置的直线表示形式解答.解:(1)直线过点P(-4,3),斜率k=-2,由点斜式得y-3=-2(x+4),整理得所求方程为2x+y+5=0.(2)直线过点P(2,-5),且与x轴平行,则斜率k=0,故所求直线方程为y+5=0(x-2),即y=-5.(3)直线与y轴平行,说明斜率不存在,又因为直线过点P(3,-1),所以直线的方程为x=3.探究一探究二探究三探究四探究五一题多解反思感悟利用点斜式求直线方程的步骤如下:(1)确定直线要经过的定点(x0,y
5、0).(2)明确直线的斜率k.(3)由点斜式直接写出直线方程.注意:点斜式使用的前提条件是斜率存在;当斜率不存在时,直线没有点斜式方程,其方程为x=x0.探究一探究二探究三探究四探究五一题多解变式训练变式训练1求斜率是直线x-y+1=0的斜率的3倍,且分别满足下列条件的直线方程:(1)经过点P(3,4);(2)在x轴上的截距是-5.解:由x-y+1=0,得y=x+1,直线x-y+1=0的斜率为1.由题意可得,所求直线的斜率k=3.(1)所求直线的方程是y-4=3(x-3),即3x-y-5=0.(2)由题意知直线经过点(-5,0),所求直线的方程是y-0=3(x+5),即3x-y+15=0.探究
6、一探究二探究三探究四探究五一题多解直线方程的斜截式直线方程的斜截式【例2】已知直线l的斜率为2,在y轴上的截距为m.(1)求直线l的方程;(2)当m为何值时,直线通过(1,1)点?思路分析:(1)直接套用直线的斜截式方程;(2)将点(1,1)代入所设方程求m.解:(1)利用直线的斜截式方程,可得方程为y=2x+m.(2)只需将点(1,1)代入直线y=2x+m,有1=21+m,所以m=-1.探究一探究二探究三探究四探究五一题多解反思感悟对斜截式直线方程的理解要注意以下几点:(1)由直线斜截式方程的推导过程可以看出,在点斜式中若点P(x0,y0)为直线l与y轴的交点,得到的直线方程即为斜截式,因此
7、斜截式为点斜式的特殊情况.(2)直线与x轴垂直时,斜率不存在,不能用直线方程的斜截式表示.因此,斜截式方程不能表示与x轴垂直的直线.(3)斜截式方程y=kx+b的特点:左端y的系数恒为1,右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,截距实质上为直线与y轴交点的纵坐标,直线与y轴的交点与原点的距离为|b|.探究一探究二探究三探究四探究五一题多解(1)将本例的条件“在y轴上的截距为m”改为“在x轴上的截距为m”,如何求直线的方程?(2)将本例的条件不变,试问m为何值时,直线与坐标轴所围成的三角形的面积为1?(1)解:直线在x轴上的截距为m,即直线过点(m,0
8、),又已知直线的斜率为2,则由直线的点斜式方程,可得所求直线方程为y-0=2(x-m),即y=2x-2m.探究一探究二探究三探究四探究五一题多解直线方程的两点式直线方程的两点式【例3】(1)求过两点(2,-5)和(-2,3)的直线的两点式方程;(2)求过两点A(0,0),B(1,1)的直线方程.探究一探究二探究三探究四探究五一题多解反思感悟在使用直线方程的两点式时要注意以下两点:(1)当直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时,不能用两点式求出它的方程,若x1=x2,y1y2,则直线方程为x-x1=0;若y1=y2,x1x2,则直线方程为y-y1=0.(2)直线方程的两点式不能表
9、示与坐标轴垂直的两类直线.若变形为(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),此时可表示过任意两点的直线的方程.探究一探究二探究三探究四探究五一题多解变式训练变式训练2已知直线2x1-3y1=4,2x2-3y2=4,则过点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线l的方程是()A.2x-3y=4B.2x-3y=0C.3x-2y=4D.3x-2y=0答案:A探究一探究二探究三探究四探究五一题多解直线方程的截距式直线方程的截距式【例4】已知点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,求xy的最大值.探究一探究二探究三探究四探究五一题多解反思感悟对直线的截距式方程应注意
10、以下几点:(1)在方程 中,要求a0,b0,即两个截距都不为0,因此它不能表示过坐标原点或平行于x轴、y轴的直线.(2)当题目条件中涉及截距相等或互为相反数时,若选用截距式来求解,注意截距都为0,即直线过原点这种情况.探究一探究二探究三探究四探究五一题多解变式训练变式训练3在x,y轴上的截距分别是-3,4的直线方程是()A.4x+3y-12=0B.4x-3y+12=0C.4x+3y-1=0D.4x-3y+1=0解析:根据直线方程的截距式写出直线方程 =1,化简得4x-3y+12=0,故选B.答案:B探究一探究二探究三探究四探究五一题多解直线方程的一般式直线方程的一般式【例5】(1)若直线Ax+
11、By+C=0经过第一、第二和第四象限,则()A.AB0,且BC0B.AB0,且BC0C.AB0D.AB0,且BC0,d0,a0,dcC.b0,acD.b0,ac答案:C 1234564.已知直线l的斜率为6,且在两坐标轴上的截距之和为10,则直线l的方程为.答案:6x-y+12=01234565.已知ABC三个顶点为A(2,8),B(-4,0),C(6,0),求过点B且将ABC面积平分的直线方程.解:因为AC中点D的坐标为(4,4),所以直线BD即为所求.由直线的1234566.已知直线的斜率为 ,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,求l的方程.解:设l的方程为y=x+b,则分别令x=0,y=0,可得直线l与y轴的交点坐标为(0,b),与x轴的交点坐标为(-6b,0),
