1、2 2.2 2.3 3两条直线的位置关系两条直线的位置关系一二一、两条直线相交、平行与重合的条件【问题思考】1.填写下表:(1)两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的位置关系,可以用方程组 的解的个数进行判断,也可用直线方程的系数进行判断,方法如下:一二一二(2)两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2的位置关系可用两直线的斜率和在y轴上的截距来进行判断,具体判断方法如下表所示.一二2.应用斜率判断两条直线的位置关系时应注意什么?提示:应用斜率判断两条直线的位置关系时,应注意:(1)当k1k2时,l1与l2相交,指的是斜率存在的两直线.当两直线斜
2、率都不存在时,两直线平行或重合.当一条直线斜率存在而另一条直线斜率不存在时,两直线相交.(2)k1=k2l1l2成立的条件是:l1,l2的斜率都存在,且l1与l2不重合.3.做一做:下列直线与直线x-y-1=0平行的是()A.x+y-1=0B.x-y+1=0C.ax-ay-a=0D.x-y+1=0或ax-ay-a=0答案:B一二二、两条直线垂直的条件【问题思考】1.填空:(1)设直线l1,l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0(A1,B1不同时为0,A2,B2不同时为0),则l1l2A1A2+B1B2=0.(2)设直线l1,l2的方程分别为y=k1x+b1,y=k2
3、x+b2,则l1l2k1k2=-1.2.(1)与直线y=kx+b(k0)垂直的所有直线可以怎样表示?(2)与直线Ax+By+C=0垂直的所有直线可以怎样表示?提示:(1)与直线y=kx+b(k0)垂直的所有直线可以表示为y=-x+m.(2)与直线Ax+By+C=0垂直的所有直线可以表示为Bx-Ay+m=0.一二3.做一做:若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直,则a等于.一二知识拓展1.过点(x0,y0)且与Ax+By+C=0平行的直线可表示为A(x-x0)+B(y-y0)=0;2.过点(x0,y0)且与Ax+By+C=0垂直的直线可表示为B(x-x0)-A(y-y0)=0;一二思
4、考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)若直线l1与l2的斜率相等,则l1l2.()(2)若直线l1l2,则直线l1与l2的斜率相等.()(3)若直线l1直线l2,则它们的斜率之间一定有 =-1成立.()(4)若两条直线l1,l2的斜率不相等,则这两条直线不平行.()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析判断两条直线的位置关系判断两条直线的位置关系【例1】判断下列各组直线的位置关系,若相交,求出交点的坐标.(1)l1:4x+3y-2=0与l2:x+2y+2=0;思路分析:判断两直线位置关系的解法有三种:一是根据方程组的解的个数判
5、定;二是根据方程的系数间的关系判定;三是化成斜截式方程判定.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析2-3得5x-10=0,所以x=2.将x=2代入得y=-2,所以两直线相交,交点坐标为(2,-2).由得x=3y,代入得y=y+1,即0=1不成立,所以方程组无解,所以两直线平行.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析解法二(1)因为A1=4,B1=3,C1=-2,A2=1,B2=2,C2=2,所以A1B2-A2B1=42-13=50,所以两直线相交.所以两直线的交点坐标为(2,-2).探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析反思感悟1.(1)判断两条直线平行,
6、需要判断其斜率相等(斜率存在时),即k1=k2.两条直线斜率相等,则两条直线可能平行也可能重合,还需要进一步判断截距不相等,即b1b2.如果两条直线的斜率不存在,两条直线的方程为x=a1,x=a2,只需a1a2即可;(2)判断两条直线平行,也可用系数比.2.判断两条直线垂直:(1)如果斜率都存在,那么只需k1k2=-1,如果一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率必等于零,从斜率的角度判断,应注意上面的两种情况;(2)利用A1A2+B1B2=0判断.3.根据方程组解的个数判断两直线位置关系,当x,y的系数是未知数时不好用;利用方程的系数间的关系判定难记忆;化成斜截式易操作.探究一探究二探究三
7、探究四探究五思维辨析变式训练变式训练1已知点A(1,2),B(0,-4),C(-2,6),D(0,18),试判断直线AB和直线CD的位置关系.又因为B(0,-4),D(0,18),所以直线AB的方程为y=6x-4,直线CD的方程为y=6x+18.因为两条直线的斜率相等,纵截距不相等,所以直线AB和直线CD平行.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析利用两条直线的位置关系确定参数利用两条直线的位置关系确定参数【例2】(1)直线l1:(m+2)x+(m2-3m)y+4=0,l2:2x+4(m-3)y-1=0,如果l1l2,求m的值;(2)直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a
8、+3)y=2互相垂直,求a的值.思路分析:既可以用直线一般式方程形式判断,也可以用斜率的关系求解,但需考虑斜率不存在的情况.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析显然l1l2,m=3.故m=-4或m=3.解法二若l1l2,则有或(m+2)(-1)-240,解得m=-4或m=3.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析综上所述,当a=1或a=-3时,l1l2.解法二利用A1A2+B1B2=0,即a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=1或a=-3.反思感悟利用两直线的位置关系求字母参数取值时,提倡直接根据两直线平行、相交或垂直的系数整式条件列方程或不等关系,这样不易丢解或增解;若用比例式
9、求解,一定要对特殊情况单独讨论.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析变式训练变式训练2已知直线l1:ax+2y+6=0与l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,则实数a的取值是()A.-1或2B.0或1C.-1D.2(2)若直线l1:(2a+5)x+(a-2)y+4=0与直线l2:(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,则()A.a=2B.a=-2C.a=2或a=-2D.a=2,0,-2解析:(1)l1l2,a(a-1)-2=0,a=-1或2.当a=2时,l1与l2重合,a=-1.(2)由题意,得(2a+5)(2-a)+(a-2)(a+3)=0,解得a=2.答案:(1)C(2)C探究一
10、探究二探究三探究四探究五思维辨析求与已知直线平行或垂直的直线方程求与已知直线平行或垂直的直线方程【例3】已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0.求:(1)过点A和直线l平行的直线方程;(2)过点A和直线l垂直的直线方程.思路分析:本题可根据两条直线平行与垂直时斜率间的关系,求出所求直线的斜率后用点斜式求解,也可利用直线系方程来求解.(1)解法一利用直线方程的点斜式求解.即3x+4y-14=0.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析解法二利用直线系方程求解.设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为3x+4y+m=0(m-20).由点A(2,2)在直线l1上,得32+42+m=0,解得m
11、=-14.故直线l1的方程为3x+4y-14=0.(2)解法一设过点A与l垂直的直线为l2,直线l的斜率为kl,直线l2的斜率为即4x-3y-2=0.解法二设过点A且垂直于直线l的直线l2的方程为4x-3y+m=0.因为l2经过点A(2,2),所以42-32+m=0,解得m=-2.故l2的方程为4x-3y-2=0.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析反思感悟以下巧妙的设法望引起大家的注意.1.求与直线y=kx+b平行的直线的方程时,根据两直线平行的条件可设为y=kx+m(mb),然后通过待定系数法,求参数m的值.2.求与直线Ax+By+C=0平行的直线方程时,可设方程为Ax+By+m=0(m
12、C),代入已知条件求出m即可.3.求与直线y=kx+b(k0)垂直的直线方程时,根据两直线垂直的条件可设为y=-x+m(k0),然后通过待定系数法,求参数m的值.4.求与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)垂直的直线时,可巧设方程为Bx-Ay+m=0(A,B不同时为零),然后用待定系数法,求出m.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析变式训练变式训练3求过直线l1:3x+4y-2=0与直线l2:2x+y+2=0的交点且平行于直线5x+4y=0的直线方程.4-得5x+10=0,解得x=-2.将x=-2代入得2(-2)+y+2=0,所以y=2.所以两直线的交点坐标为(-2,2).设与直线5x
13、+4y=0平行的直线方程为5x+4y+c=0(c0),代入(-2,2)得5(-2)+42+c=0,所以c=2.故所求直线方程为5x+4y+2=0.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析平行与垂直的综合应用平行与垂直的综合应用【例4】如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t0.试判断四边形OPQR的形状.思路分析:利用两直线的斜率关系,来研究平行或垂直,对于四边形而言,可以先选取一组对边研究,再选取一组邻边研究,最后下结论.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析所以kOP=kQR,kOR=
14、kPQ,从而OPQR,ORPQ.所以四边形OPQR为平行四边形.又kOPkOR=-1,所以OPOR.故四边形OPQR为矩形.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析反思感悟利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析将例4中的四个点,改为“A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)”,顺次连接A,B,C,D四点,试判断四边形ABCD的形状.解:由题意A,B,C,D四点在平面直角坐标系内的位置如图.所以kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合,所以ABCD,由kADkBC,知AD与BC不平行.又因为kABkAD=(-3)=-1,所以ABAD
15、,故四边形ABCD为直角梯形.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析变式训练变式训练4已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若直线ABCD,求m的值.解:A,B两点的纵坐标不相等,AB与x轴不平行.ABCD,CD与x轴不垂直,-m3,即m-3.当AB与x轴垂直时,-m-3=-2m-4,解得m=-1,而m=-1时,C,D的纵坐标均为-1,CDx轴,此时ABCD,满足题意.当AB与x轴不垂直时,由斜率公式,探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析对称问题对称问题【例5】(1)求点A(3,2)关于点B(-3,4)的对称点C的坐标;(2)求直线3x-y-4=0
16、关于点P(2,-1)对称的直线l的方程;(3)求点A(2,2)关于直线2x-4y+9=0的对称点B的坐标.思路分析:(1)利用中点坐标公式列方程求解;(2)根据所求直线上任意一点关于点P(2,-1)的对称点的坐标均满足已知直线方程来求解;(3)利用中点坐标公式及垂直关系联合列式求解.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析解:(1)设C(x,y),由中点坐标公式得 故所求的对称点的坐标为C(-9,6).(2)取直线l上任一点(x,y),则它关于点P(2,-1)的对称点(4-x,-2-y)在直线3x-y-4=0上.所以3(4-x)-(-2-y)-4=0.所以3x-y-10=0.所以所求直线l的方程
17、为3x-y-10=0.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析(3)设B(a,b)是A(2,2)关于直线2x-4y+9=0的对称点,根据直线AB与已知直线垂直,且线段AB的中点在已知直线2x-4y+9=0上,则有所以所求的对称点B的坐标为(1,4).探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析反思感悟1.对于点关于点的对称,只需运用中点坐标公式即可.2.对于直线关于点的对称,根据所求直线与已知直线平行可先设出方程,然后利用已知直线上任取一点的对称点一定在所求直线上即可求出方程.结论为l:Ax+By+C=0关于点P(x0,y0)对称的直线方程是A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0.3.对于点关于直
18、线的对称,一般按下列步骤处理.若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线段P1P2的中点在对称轴l上,而且连接P1,P2的直线垂直于对称轴l.可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中A0,x1x2).探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析变式训练变式训练5求直线a:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线b的方程.(方法一)在a:2x+y-4=0上取点A(2,0),设A关于l的对称点为B(x0,y0),故由两点式得直线b的方程为2x+11y+16=0.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析(方法二)设b上的动点P(x,y
19、)关于l:3x+4y-1=0的对称点为Q(x0,y0),整理得2x+11y+16=0,即2x+11y+16=0为直线b的方程.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析因忽视了两条直线垂直的特殊情况而致误【典例】求经过点A(2,1)且与直线2x+ay-10=0垂直的直线l的方程.错解因为所求直线与2x+ay-10=0垂直,整理得ax-2y-2a+2=0.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你怎么防范?提示:漏掉了当a=0时这一特殊情况的讨论,其实斜率为0的直线与斜率不存在的直线也是相互垂直的,但却不能用k1k2=-1来求.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析正解1:当a=0
20、时,已知直线化为x=5,此时直线斜率不存在,则所求直线l的斜率为0,因为直线l过点A(2,1),所以直线l的方程为y-1=0(x-2),即y=1.因为直线l与已知直线垂直,设直线l的斜率为k,即ax-2y-2a+2=0.所求直线l的方程为y=1或ax-2y-2a+2=0.又y=1是ax-2y-2a+2=0的一个特例,故所求直线l的方程为ax-2y-2a+2=0.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析正解2:根据与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.因此根据题意可设所求方程为ax-2y+m=0,又因为该直线过点A(2,1),所以2a-2+m=0,即m=2-2a.所以所求
21、方程为ax-2y-2a+2=0.防范措施1.在判断方程中含参数的直线的位置关系时,应注意讨论直线的斜率是否存在,避免遗漏.2.在使用“k1k2=-1”来解决直线垂直问题时一定要弄清k1k2=-1的使用条件是两直线斜率均存在且不为零.3.上述正解2的设法就避免了讨论.设解很巧妙.因此大家在结合已知条件设直线方程时一定要综合考虑,先保证解答正确,再从方法的多样性上进行归纳总结.123451.直线l1与l2为两条不重合的直线,则下列命题:若l1l2,则斜率k1=k2;若斜率k1=k2,则l1l2;若倾斜角1=2,则l1l2;若l1l2,则倾斜角1=2.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4
22、解析:错,正确.答案:C123452.若点A(3,-4)与点A(5,8)关于直线l对称,则直线l的方程是()A.x+6y+16=0 B.6x-y-22=0C.6x+y+16=0D.x+6y-16=0答案:D123453.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是()A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0解析:因为所求直线与直线x-2y-2=0平行,所以所求直线斜率k=,排除C,D.又直线过点(1,0),排除B.答案:A123454.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m=.解析:因为直线x-2y+5=0与直线2x+
23、my-6=0互相垂直,答案:1 123455.(1)求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程;(2)求过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.解:(1)(方法一)设直线l的斜率为k,因为l与直线3x+4y+1=0平行,(方法二)设与直线3x+4y+1=0平行的直线的方程为3x+4y+m=0(m1).又因为l经过点(1,2),所以31+42+m=0,即m=-11.所以所求直线l的方程为3x+4y-11=0.12345(方法一)设过P点与l3垂直的直线方程为4x+3y+n=0,代入P点坐标得40+32+n=0,n=-6,所以直线l的方程为4x+3y-6=0.
