1、 陕西省汉中市重点中学陕西省汉中市重点中学 2019 届高三下学期届高三下学期 3 月联考月联考 数学试卷（文科）数学试卷（文科） 考生注意：考生注意： 1.1.本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150150 分。考试时间分。考试时间 120120 分钟。分钟。 2.2.请将各题答案填写在答题卡上。请将各题答案填写在答题卡上。 3.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。本试卷主要考试内容：高考全部内容。 第第卷卷 一、选择题一、选择题. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
2、合题目要求的. . 1.已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 解不等式化简集合B，根据交集的定义写出AB 【详解】因为，所以. 故选 B. 【点睛】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题 2.设复数（为虚数单位） ，则的虚部是（ ） A. B. C. -4 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案 【详解】， 的虚部是-4， 故选 C. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题 3.双曲线的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案
3、】B 【解析】 【分析】 根据双曲线方程， 可得它的渐近线方程为yx， 结合题意得点在直线yx上， 可得ba 再 利用平方关系算出c3a，由此结合双曲线离心率公式即可算出该双曲线的离心率的值 【详解】双曲线方程为 该双曲线的渐近线方程为yx， 又一条渐近线经过点， ，1，得ba， 由此可得c3a，双曲线的离心率e3， 故选：B 【点睛】 本题考查了双曲线的简单几何性质中的渐近线与离心率， 求双曲线的离心率的值的关键是找到 a， b， c 的关系，属于基础题 4.某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如下表所示： 不喜欢 喜欢 男性青年观众 30 10 女性青年观众 30 50 现要在
4、所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取 人做进一步的调研， 若在“不喜欢的男性青年观众”的人 中抽取了 6 人，则（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】 利用分层抽样的定义，建立方程，即可得出结论 【详解】由题意，解得. 故选 D. 【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，考查学生的计算能力，属于基础题 5.若一个圆锥的轴截面是面积为 1 的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由轴截面是面积为 1 的等腰直角三角形，得到底面半径及母线长即可得到该圆锥的侧面积. 【详解】设圆锥的底面半
5、径为 r，高为 h，母线长为 l， 由题可知，r=h=，则， 侧面积为 故选：A 【点睛】本题考查圆锥的计算；得到圆锥的底面半径是解决本题的突破点；注意圆锥的侧面积的应用 6.阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ） A. 5 B. 26 C. 667 D. 677 【答案】D 【解析】 【分析】 由算法的程序框图，计算各次循环的结果，满足条件，结束程序 【详解】根据程序框图，模拟程序的运行，可得 a1，满足条件a100， 执行循环体，a2，满足条件a100， 执行循环体，a5，满足条件a100， 执行循环体，a26，满足条件a100， 执行循环体，a677，不满足条件a10
6、0，退出循环，输出a的值为 677， 故选：D 【点睛】本题考查了应用程序框图进行简单的计算问题，属于基础题 7.设 ， 满足约束条件，则的最大值是（ ） A. 1 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在y轴上的截距，只需求出可行 域直线在y轴上的截距最大值即可 【详解】由条件画出可行域如图： 表示直线在y轴上的截距，当：平移到过点 A 时，最大， 又由，解得 此时，. 故选 D. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题 8.已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C.
7、的图象关于直线对称 D. 在处取得最大值 【答案】C 【解析】 【分析】 根据分段函数的表达式结合三角函数值及其性质，对选项一一作出判断 【详解】对 A 选项：, 不满足故 A 不正确； 对 B 选项：,不满足，故 B 不正确； 对 C 选项：因为，所以的图象关于直线对称. 故 C 正确； 对 D 选项：,不满足，不是 f（x）的最大值，故 D 不正确； 故选 C. 【点睛】本题主要考查正余弦函数值及其性质：奇偶性、对称性及函数的最值，属于基础题 9.函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先判断函数的奇偶性，再根据特殊函数值即可求出 【详解】因为，
8、所以，即为偶函数，排除 B，D. 取，排除 C. 故选 A. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性，以及函数值的变化情况是关键，属于基础题. 10.在中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， 为钝角，点 是边 的中点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先由正弦定理将已知化简得， 再利用中线的向量定理得到， 平方运算得， 可得 的面积. 【详解】由正弦定理将边化为角得到：， 即，又 B 为三角形的内角，sinB， ，. 因为， 所以， 即， 当时，解得， 所以的面积为. 故选 D. 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了三角形中线
9、的求法、三角形面积公式，属于中档题. 11.已知抛物线 ：，直线过点，且与抛物线 交于 ， 两点，若线段 的中点恰好为点 ，则 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可知设M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，代入抛物线方程作差求得：，由中点坐 标公式可知：x1+x24，y1+y24，代入求得直线MN的斜率 【详解】设，代入 ：，得， （1）-（2）得. 因为线段的中点恰好为点 ，所以， 从而，即的斜率为. 故选 C. 【点睛】本题考查中点弦所在直线的斜率求法，考查“点差法”的应用，中点坐标公式的应用，考查运算能 力，属于中档题 12.已知，函数
10、的最小值为 6，则（ ） A. -2 B. -1 或 7 C. 1 或-7 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 将化简成，利用基本不等式求得最小值，即可得到 a. 【详解】 ， （当且仅当时等号成立） ， 即，解得或 7. 故选 B. 【点睛】本题考查了函数的最值，考查了基本不等式的应用，将函数进行合理变形是关键，属于中档题. 第第卷卷 二、填空题二、填空题. .把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. . 13.已知向量 ， 不共线，如果，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用向量共线定理即可得出 【详解】因为，所以，则，所以. 故答案为. 【点睛】本题考查了向量的运算
11、和共线定理，属于基础题 14.若，则 _ 【答案】 【解析】 【分析】 由两边同时平方，利用同角三角函数关系式能求出 sin2 【详解】因为，所以，即. 故答案为. 【点睛】本题考查三角函数值的求法，是基础题，注意同角三角函数关系式的合理运用 15.已知函数满足，则曲线 在点处的切线方程为_ 【答案】 【解析】 【分析】 先求得 f(x)及 f(1),再求导求得即为切线的斜率，最后利用点斜式写出曲线在点处的切线方程. 【详解】令，则，所以，即. 且， 又， . 所以切线方程为， 即. 故答案为. 【点睛】本题考查了函数解析式的求法，考查了导数的运算法则和导数几何意义，属于中档题 16.某几何体
12、的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据几何体的三视图得出该几何体是如图的三棱锥，过其中两个面的外心分别作面的垂线交于 O，即为外接 球的球心，结合正弦定理及勾股定理可求出它的半径与表面积 【详解】由三视图可推知，几何体的直观图为三棱锥如图： 令的外心为 ，的外心为 ， 过 E、F 分别作面 BCD、面 ABD 的垂线，交于 O，则 O 到点 A、B、C、D 的距离相等， 的外接球的球心为 ，半径为 ，且平面，平面. 又是顶角为的等腰三角形，由正弦定理得，可得， 所以，外接球的表面积为. 故答案为. 【点睛】本题考查了根据几何体的三视图还原几何体，考
13、查了棱锥的外接球问题，其中找球心是解题的关键， 是中档题 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17.已知数列为等差数列，且， ，依次成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前 项和为，若，求 的值. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可 得到所求通项公式； （2）求得bn（） ，运用裂项相消求和可得Sn，解方程可得n 【详解】 （1）设数列的公差为 ，因为， 所以，解得. 因为，依次成等比数列，所以， 即
14、，解得. 所以. （2）由（1）知， 所以， 所以 ， 由，得. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比中项性质，考查裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属 于基础题 18.随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活.在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网 上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以 网购是非常方便的购物方式.某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数 （单位：人）与时间 （单位： 年）的数据，列表如下： 1 2 3 4 5 24 27 41 64 79 （1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合 与的关系
15、，请计算相关系数并加以说明（计算结果 精确到 0.01）.（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合） 附：相关系数公式 ，参考数据. （2）建立 关于的回归方程，并预测第六年该公司的网购人数（计算结果精确到整数）. （参考公式： ，） 【答案】(1)见解析；(2) 网购人数约为 91 人 【解析】 【分析】 （1）由已知数据求得r值，由r值接近 1 可得y与t的线性相关程度很高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t的关系 （2）求出 与 的值，得到线性回归方程，取t6 求得y值得答案 【详解】 （1）由题知， 则 . 故 与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合. （2）由（1）得， .
16、 所以 与的回归方程为. 将带入回归方程，得， 所以预测第 6 年该公司的网购人数约为 91 人. 【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生读取图表的能力及运算求解能力，是中档题 19.在四棱柱中，底面为平行四边形， 平面，. （1）证明：平面平面； （2）若直线与底面所成角为 ， ， ， 分别为，的中点，求三棱锥的体积. 【答案】(1)见证明；(2) 【解析】 【分析】 （1）推导出D1D平面ABCD，D1DBC，ADBD，由ADBC，得BCBD，从而BC平面D1BD，由此能证明平 面D1BC平面D1BD （2）由平面得，可以计算出，再利用锥体体积公式求得，根据等体积法即 为. 【详解】 （1
17、）平面，平面， . 又， ， ，. 又， . 又，平面，平面， 平面，而平面， 平面平面； （2）平面， 即为直线与底面所成的角，即， 而，. 又， . 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的定义及求法，考查了三棱锥体积的常用求法，涉及空间中 线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20.顺次连接椭圆 ：的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为 的菱形. （1）求椭圆 的方程； （2）过点的直线与椭圆 交于 ， 两点，其中 为坐标原点，求. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）利用已知建立 a，b 的方程，解出 a，b 即可. （2）先考虑斜率不存
18、在时，则与不存在，可设直线为，与椭圆联立，利用韦达定理结合条 件解得 k，再利用弦长公式计算即可. 【详解】 （1）由题可知， 解得，. 所以椭圆 的方程为. （2）设， 当直线斜率不存在时，明显不符合题意，故设的方程为， 代入方程，整理得. 由，解得， 所以，. ， 解得. . 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，设而不求，利用韦达定理是解决此类问题 的常见方法，考查运算能力，属于中档题 21.已知函数. （1）设是函数的极值点，求 的值，并求的单调区间； （2）若对任意的，恒成立，求 的取值范围. 【答案】(1) 在和上单调递增，在上单调递减. (2) 【解析】 【分
19、析】 （1）求出函数的导数，利用函数的极值，推出m，然后求出函数的解析式，通过导函数的符号，求解函数的 单调区间 （2）求出导函数，对 m 分类讨论分别判断函数的单调区间以及极值，求解即可 【详解】 （1），. 因为是函数的极值点， 所以，故. 令， 解得或. 所以在和上单调递增，在上单调递减. （2）， 当时，则在上单调递增， 又，所以恒成立； 当时，易知在上单调递增， 故存在，使得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，则，这与恒成立矛盾. 综上，. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性、极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算 能力 22.选修 4-4：坐标系与参数方程
20、 在直角坐标系中，曲线:（，为参数）.在以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极 轴的极坐标系中，曲线：. （1）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程； （2）若直线的方程为，设与的交点为 ， ，与的交点为 ， ，若的面积为， 求 的值. 【答案】(1) 是以为圆心， 为半径的圆. 的极坐标方程.(2) 【解析】 【分析】 （1）消去参数得到的普通方程.可得的轨迹. 再将，带入的普通方程，得到的极坐标方程. （2） 先得到的极坐标方程， 再将，代入， 解得， ， 利用三角形面积公式表示出 的面积，进而求得 a. 【详解】(1)由已知得：平方相加消去参数得到=1，即，的 普通方程：. 是以为圆心
21、， 为半径的圆. 再将，带入的普通方程，得到的极坐标方程. （2）的极坐标方程， 将，代入，解得， ， 则的面积为，解得. 【点睛】本题考查了直角坐标系下的参数方程、普通方程与极坐标方程的互化，考查了极坐标方程的应用， 属于基础题. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数. （1）解不等式； （2）若关于 的不等式的解集不是空集，求 的取值范围. 【答案】(1) (2) 或 【解析】 【分析】 （1）分类讨论去绝对值，分别解得每一段的解集，取并集即可. （2）直接利用绝对值三角不等式求得最小值，解得 a 的范围即可. 【详解】 （1）由题意可得， 当时，得，无解； 当时，得，即； 当时，得，即. 所以不等式的解集为. （2）， 则由题可得， 解得或. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值不等式的几何意义及应用，考查了分类讨论思想， 属于中档题.
