1、应力状态与应力状态与强度理论强度理论(stress state and strength theory)应力状态与强度理论应力状态与强度理论1 引引 言言2 平面应力状态平面应力状态3 空间应力状态与广义胡克定律空间应力状态与广义胡克定律4 强度理论的基本概念强度理论的基本概念5 强度理论强度理论1 引引 言言1.1 应力状态的概念应力状态的概念拉压杆拉压杆轴力轴力 FN正应力正应力 扭转轴扭转轴扭矩扭矩 MT切应力切应力 弯曲梁弯曲梁正应力正应力 切应力切应力 max max 纯弯梁纯弯梁弯矩弯矩 M正应力正应力 max 简化简化推广推广弯矩弯矩 M剪力剪力 FQmax max PPmmmm
2、Fm Pm FP新问题！新问题！新方法？新方法？应力状态应力状态强度理论强度理论低碳钢拉伸实验低碳钢拉伸实验铸铁拉伸实验铸铁拉伸实验应力一样，破坏形式不一样，原因？应力一样，破坏形式不一样，原因？1 引引 言言1.1 应力状态的概念应力状态的概念450滑移线滑移线1 引引 言言1.1 应力状态的概念应力状态的概念低碳钢扭转低碳钢扭转铸铁扭转铸铁扭转低碳钢压缩低碳钢压缩铸铁压缩铸铁压缩铸铁拉伸铸铁拉伸应力一样，破坏形式不一样，原因？应力一样，破坏形式不一样，原因？应力不一样，破坏断口类似，原因？应力不一样，破坏断口类似，原因？如何研究？如何研究？mmFF1 引引 言言1.1 应力状态的概念应力状
3、态的概念结论：结论：单向拉伸的横截单向拉伸的横截面存在面存在正应力正应力，斜截面，斜截面有有角应变角应变，存在，存在切应力。切应力。结论：结论：圆轴扭转的横截圆轴扭转的横截面存在面存在切应力切应力，斜截面，斜截面有有线应变线应变，存在，存在正应力。正应力。材料破坏形式不一样，但都材料破坏形式不一样，但都存在一个存在一个破坏面破坏面（滑移面滑移面）结论：结论：材料的材料的破坏面破坏面与该面上的应力相关，且应力取与该面上的应力相关，且应力取极值极值。方法：方法：分析一点（危险点）各个斜截面上的应力情况，找极值。分析一点（危险点）各个斜截面上的应力情况，找极值。1 引引 言言1.1 应力状态的概念应
4、力状态的概念FFmm过一点的不同过一点的不同截面截面上上存在不同的应力存在不同的应力实验结果实验结果分析结果分析结果1 引引 言言1.2 应力状态的研究方法应力状态的研究方法定义：定义：通过一点通过一点所有所有截面上的应力的截面上的应力的集合集合称为该点的称为该点的应力状态应力状态。如何分析？如何分析？一个点没有大小、没有方向，无法描述一个点没有大小、没有方向，无法描述!讨论应力状态时，取一个讨论应力状态时，取一个边长无限小边长无限小的的直角六面体直角六面体，称为，称为单元体单元体。一点可以取一点可以取无穷个无穷个单元体，代表单元体，代表任意任意截面。截面。xyzdydzAdxAdx、dy、d
5、z 0基本变形横截面的应力可以求出，用基本变形横截面的应力可以求出，用横横截面截面和和与之正交的纵截面与之正交的纵截面截取单元体，称为截取单元体，称为原始单元体原始单元体。六个面的应力都可求出六个面的应力都可求出xzdydzAAdxBBAxyzBdxdydz1 引引 言言1.2 应力状态的研究方法应力状态的研究方法用横截面和与之正交的纵向截面截取单元体，称为用横截面和与之正交的纵向截面截取单元体，称为原始单元体原始单元体。y1 引引 言言FMxFllm12MTmx危险截面危险截面在左端（固支端）在左端（固支端）危险截点危险截点在上下表面（在上下表面（1、2点）点）画危险点的画危险点的原始单元体
6、原始单元体12横截面上的应横截面上的应力是否最大？力是否最大？1.2 应力状态的研究方法应力状态的研究方法1）边长无限小，各个侧面上应力可认为）边长无限小，各个侧面上应力可认为均布均布。1 引引 言言xyzdxdydz2）相互平行面上应力）相互平行面上应力等值反向等值反向，等于过一点相应截面上的应力。，等于过一点相应截面上的应力。3）单元体上的）单元体上的斜截面斜截面表示过该点的斜截面。表示过该点的斜截面。4）若已知某单元体上各个面上的应力（）若已知某单元体上各个面上的应力（原始单元体原始单元体），可以利用），可以利用截面法截面法（构件平衡，单元体也平衡），求出（构件平衡，单元体也平衡），求出
7、任意斜截面任意斜截面上的应力。上的应力。应力状态分析应力状态分析1.2 应力状态的研究方法应力状态的研究方法单元体的特点：单元体的特点：主平面：主平面：切应力为零的面。切应力为零的面。主应力：主应力：主平面上的正应力。主平面上的正应力。过任一点总存在一个过任一点总存在一个特殊的单元体特殊的单元体，相互垂直的各侧面上相互垂直的各侧面上切应力为零切应力为零，该单，该单元体为元体为主单元体主单元体，存在，存在三个主应力三个主应力。用用1、2、3表示，且按代数值排列表示，且按代数值排列1 2 3。应力状态分析的主要应力状态分析的主要目的目的：找：找主单元体主单元体和和主应力主应力1、2、3。11223
8、3主应力定理：主应力定理：过任一受力点，总有三个互相垂直的面为主平面。过任一受力点，总有三个互相垂直的面为主平面。1 引引 言言1.2 应力状态的研究方法应力状态的研究方法三个主应力均不为零的应力状态，称三个主应力均不为零的应力状态，称为为三向应力状态三向应力状态（空间应力状态）。（空间应力状态）。1 引引 言言1.3 应力状态的分类应力状态的分类yxzxyzzxzyxzxy123主单元体主单元体有两个主应力不为零的应力状态，称有两个主应力不为零的应力状态，称为为二向应力状态二向应力状态（平面应力状态）。（平面应力状态）。只有一个主应力不为零的应力状态，只有一个主应力不为零的应力状态，称为称为
9、单向应力状态单向应力状态。yzyxxzxzzxzyxzxyyyzyyx1 引引 言言yxyxyxyyyx三个主应力均不为零的应力状态，称三个主应力均不为零的应力状态，称为为三向应力状态三向应力状态（空间应力状态）。（空间应力状态）。有两个主应力不为零的应力状态，称有两个主应力不为零的应力状态，称为为二向应力状态二向应力状态（平面应力状态）。（平面应力状态）。yxy xxyx x1.3 应力状态的分类应力状态的分类yxyxxyx1 引引 言言有两个主应力不为零的应力状态，称有两个主应力不为零的应力状态，称为为二向应力状态二向应力状态（平面应力状态）。（平面应力状态）。只有一个主应力不为零的应力状
10、态，只有一个主应力不为零的应力状态，称为称为单向应力状态单向应力状态。xxx单向压缩应力状态单向压缩应力状态1.3 应力状态的分类应力状态的分类yx单向拉伸应力状态单向拉伸应力状态1 引引 言言有两个主应力不为零的应力状态，称有两个主应力不为零的应力状态，称为为二向应力状态二向应力状态（平面应力状态）。（平面应力状态）。纯剪切应力状态纯剪切应力状态x只有一个主应力不为零的应力状态，只有一个主应力不为零的应力状态，称为称为单向应力状态单向应力状态。y yx xy1.3 应力状态的分类应力状态的分类xxyxyyxxyy应力状态与强度理论应力状态与强度理论1 引引 言言2 平面应力状态平面应力状态3
11、 空间应力状态与广义胡克定律空间应力状态与广义胡克定律4 强度理论的基本概念强度理论的基本概念5 强度理论强度理论2 平面应力状态平面应力状态2.1 任意斜截面的应力任意斜截面的应力yzyyzzxyxzyzxz xxyx已知：已知：某单元体（原始单元体）某单元体（原始单元体）要求：要求：任意斜截面的应力任意斜截面的应力方法：方法：截面法（平衡条件）截面法（平衡条件）123目的：目的：分析应力极值，找主单元体，分析应力极值，找主单元体，确定确定主应力主应力1、2、3对象：对象：空间应力状态非常复杂，先对空间应力状态非常复杂，先对简单的简单的平面应力状态平面应力状态进行分析。进行分析。分析方法：分
12、析方法：1）解析法；）解析法；2）图解法。）图解法。y y yzxxyyxxyxyxy2 平面应力状态平面应力状态2.1 任意斜截面的应力任意斜截面的应力对象：对象：平面应力状态平面应力状态方法：方法：截面法截面法截：截：用与应力平面垂直的假想平面截开用与应力平面垂直的假想平面截开正应力：正应力：拉为正、压为负拉为正、压为负跟外法线方向一致为正跟外法线方向一致为正yyx xx取：取：任取一部分，用剖线表示内部任取一部分，用剖线表示内部代：代：用用正的正的应力来代替丢掉部分的作用应力来代替丢掉部分的作用符号的规定：符号的规定：方位角方位角yn方位面方位面x txy y yzxxyyxxyyxyy
13、yx xxtx2 平面应力状态平面应力状态2.1 任意斜截面的应力任意斜截面的应力对象：对象：平面应力状态平面应力状态方法：方法：截面法截面法截：截：用与应力平面垂直的假想平面截开用与应力平面垂直的假想平面截开切应力：切应力：对单元体的矩对单元体的矩顺时针顺时针为正为正 x外法线外法线顺时针顺时针转转 90o为正为正取：取：任取一部分，用剖线表示内部任取一部分，用剖线表示内部代：代：用用正的正的应力来代替丢掉部分的作用应力来代替丢掉部分的作用符号的规定：符号的规定：n90o xyy y 角度为角度为正正2 平面应力状态平面应力状态2.1 任意斜截面的应力任意斜截面的应力对象：对象：平面应力状态
14、平面应力状态方法：方法：截面法截面法截：截：用与应力平面垂直的假想平面截开用与应力平面垂直的假想平面截开取：取：任取一部分，用剖线表示内部任取一部分，用剖线表示内部代：代：用用正的正的应力来代替丢掉部分的作用应力来代替丢掉部分的作用符号的规定：符号的规定：yzxxyyxxyyxyyyyx xxtxn90o x方位角方位角：从从 x 轴轴逆时针逆时针转到转到 n 轴轴 x(360)y y 2 平面应力状态平面应力状态2.1 任意斜截面的应力任意斜截面的应力对象：对象：平面应力状态平面应力状态方法：方法：截面法截面法截：截：用与应力平面垂直的假想平面截开用与应力平面垂直的假想平面截开取：取：任取一
15、部分，用剖线表示内部任取一部分，用剖线表示内部代：代：用用正的正的应力来代替丢掉部分的作用应力来代替丢掉部分的作用平：平：对选取的部分列平衡方程对选取的部分列平衡方程注意：注意：平衡是力的平衡平衡是力的平衡应力要乘以作用面积应力要乘以作用面积yzxxyyxxyxyxyyyx xxtxn90o xy注意：注意：单元体上所标的单元体上所标的、代表大小（取代表大小（取Fx x y=(ydAsin)sin x+y x y =cos2 x sin2yyyy ny2 平面应力状态平面应力状态xy t dAnx xt xdAsinyxyx+dAcos2.1 任意斜截面的应力任意斜截面的应力绝对值），应力的箭
16、头方向代表正负。绝对值），应力的箭头方向代表正负。列平衡方程列平衡方程 n=0dA (xdAcos)cos (xdAcos)sin (ydAsin)cos =0 x2 2注意：注意：单元体上所标的单元体上所标的、代表大小（取代表大小（取F =0 x x y=(ydAsin)cos x yyyyy ny2 平面应力状态平面应力状态xy t dAnx xt xdAsin2.1 任意斜截面的应力任意斜截面的应力绝对值），应力的箭头方向代表正负。绝对值），应力的箭头方向代表正负。列平衡方程列平衡方程 tdA (xdAcos)sin (xdAcos)cos (ydAsin)sin =0 x2yxyx =
17、sin2+x cos2 dAcoscos2(+180 )=cos2sin2(+180 )=sin2cos2(+90 )=cos2sin2(+90 )=sin2+90o =x y2 平面应力状态平面应力状态2.1 任意斜截面的应力任意斜截面的应力斜截面应力公式斜截面应力公式 x y2 =sin2+x cos2 x+y2 x y2 =+cos2 x sin2结论：结论：1）相互平行的面（夹角为）相互平行的面（夹角为0或或180）表示同一截面。）表示同一截面。oo+结论：结论：2）互相垂直的斜截面上正应力之和为常量。）互相垂直的斜截面上正应力之和为常量。oo =+180o应用条件：应用条件：1）微体
18、微体（应力均布时，非微体亦可）。（应力均布时，非微体亦可）。2）平衡平衡（与物性条件无关（与物性条件无关)。2 平面应力状态平面应力状态例题例题1 已知一点应力状态，求图中斜截面上应力。已知一点应力状态，求图中斜截面上应力。y50MPa60o解：解：建立坐标系建立坐标系注意：注意：如果不建立坐标系，默认水平如果不建立坐标系，默认水平向右为向右为 x 轴，竖直向上为轴，竖直向上为 y 轴。轴。35MPa114MPa100MPax30o60MPan=330o=2(sin2+x cos2)=22 平面应力状态平面应力状态2.2 主应力主应力斜截面应力公式斜截面应力公式 x y2 =sin2+x co
19、s2 x+y2 x y2 =+cos2 x sin2在在 0=0 的截面上，正应力取极值（极大或者极小）的截面上，正应力取极值（极大或者极小）主应力主应力主平面主平面分析：分析：斜截面应力斜截面应力(,)是方位角是方位角()的连续可微函数。的连续可微函数。结论：结论：斜截面应力斜截面应力(,)在某方位角在某方位角(0,1)存在极值。存在极值。0dd=0dd x y20 =00=arctan(0=arctan(0=arctan(0=arctan(0=arctan(2 平面应力状态平面应力状态2.2 主应力主应力斜截面应力公式斜截面应力公式 x y2 =sin2+x cos2 x+y2 x y2
20、=+cos2 x sin20dd=0 x y22(sin20+x cos20)=00 =0tan20=2 x x y20=arctan(2 x x y)+n (n=0,1,2,)+12n22 x x y)122 x x y)+122 x x y2 两个方位面两个方位面正交正交)+12222 x x y)+12322 x x y 0=arctan(0=arctan(max x+y x y =+2min 结论：结论：两个互相垂直的方位面上正应力取极值，即存在两个主应力。两个互相垂直的方位面上正应力取极值，即存在两个主应力。)122 x x y)+122 x x y2 两个方位面两个方位面正交正交两
21、个主应力一个为极大，一个为极小。两个主应力一个为极大，一个为极小。将将0 和和0 代入斜截面应力公式，求出两个主应力。代入斜截面应力公式，求出两个主应力。2 2 22 平面应力状态平面应力状态2.2 主应力主应力斜截面应力公式斜截面应力公式 x y2 =sin2+x cos2 x+y2 x y2 =+cos2 x sin2主应力公式主应力公式0=arctan(0=arctan(max x+y x y =+2min 2 平面应力状态平面应力状态2.2 主应力主应力2 2 2两个主应力两个主应力)122 x x y)+1222 x x y两个方位角两个方位角注意：注意：平面应力状态存在一个主应力为
22、平面应力状态存在一个主应力为 0，跟计算得到的，跟计算得到的2个主应力个主应力组成组成 3个主应力，按个主应力，按代数值代数值排序确定排序确定 1、2、3。如何确定如何确定两个方位面两个方位面和和两个主应力两个主应力的对应关系？的对应关系？1）正应力方向法）正应力方向法有三种方法：有三种方法：2）切应力方向法）切应力方向法3）假定极大法）假定极大法0=arctan(0=arctan(max x+y x y=+x 2两个主应力两个主应力min x y 45 0 45 0 max 0+90 min2 平面应力状态平面应力状态2.2 主应力主应力)122 x x y)+1222 x x y两个方位角
23、两个方位角yy minx xmaxx22 2 1）正应力方向法）正应力方向法根据根据代数值大代数值大的的正应力正应力方向确定对应关系方向确定对应关系 max取取代数值大代数值大的的正应力正应力方向为方向为 x 轴轴o o当当x=y时，时，0=45o 方法无效，如何确定？方法无效，如何确定？min0=arctan(0=arctan(max x+y x y=+x 2两个主应力两个主应力min 2 平面应力状态平面应力状态2.2 主应力主应力22 2 )122 x x y)+1222 x x y两个方位角两个方位角2）切应力方向法）切应力方向法根据根据切应力的方向切应力的方向确定对应关系确定对应关系
24、在切应力指向角点的在切应力指向角点的 45o范围范围内内正应力取正应力取极大值极大值minmaxmaxmin0=arctan(0=arctan(max x+y x y=+x 2两个主应力两个主应力min x x2 平面应力状态平面应力状态2.2 主应力主应力22 2 )122 x x y)+1222 x x y两个方位角两个方位角3）假定极大法）假定极大法假定某方位面应力取极大值假定某方位面应力取极大值yyxy0 xminyymax0 x=2(cos2 x sin2)sin21 cos20cos21 0sin22 平面应力状态平面应力状态2.2 切应力极值切应力极值斜截面应力公式斜截面应力公式
25、 x y2 =sin2+x cos2 x+y2 x y2 =+cos2 x sin2dd x y21dd=0 x y2 xtan21=1tan20tan21=+=0sin 21sin 20+cos 20 cos 21cos21sin20=0cos(20 21)cos21sin20=0cos(20 21)=0220 21=2 x x y主应力的方位角主应力的方位角 tan20=40=1+结论：结论：切应力极值方位面与正应力极值方位面切应力极值方位面与正应力极值方位面(主平面主平面)夹角成夹角成 45o。1=arctan1=arctan +max x y min =+2max x+y x y =+
26、xmin =min 2 平面应力状态平面应力状态2.2 切应力极值切应力极值斜截面应力公式斜截面应力公式 x y2 =sin2+x cos2 x+y2 x y2 =+cos2 x sin2 x y2 xtan21=2 2 1 x y2 2 x21 x y2 2 x22 2 2 max min2max =+cos2 x sin240+60 4060解：解：1）求斜截面上的应力）求斜截面上的应力 x=40MPa y=60MPa x=50MPa =30 x+y x y2 230=+2 2cos2(30)(50)sin2(30)=58.3MPa x y2 =sin2+x cos23040602=sin
27、2(30)+(50)cos2(30)=18.3MPa30o 18.358.340 x5030ony单位：单位：MPa 602 平面应力状态平面应力状态例题例题1 求图示单元体斜截面上的应力及其主应力并画出主单元体。求图示单元体斜截面上的应力及其主应力并画出主单元体。=+80.7MPa60.7MPa22 2 2 2 21=80.7MPa 2=0 3=60.7MPa x=40MPa x=50MPa30 =58.3MPa2）求主应力）求主应力 y=60MPa=3030 =18.3MPa解：解：1）求斜截面上的应力）求斜截面上的应力40 x5030ony单位：单位：MPa 602 平面应力状态平面应力
28、状态例题例题1 求图示单元体斜截面上的应力及其主应力并画出主单元体。求图示单元体斜截面上的应力及其主应力并画出主单元体。30o 18.358.32 x x ytan20=12 平面应力状态平面应力状态例题例题1 求图示单元体斜截面上的应力及其主应力并画出主单元体。求图示单元体斜截面上的应力及其主应力并画出主单元体。1=80.7MPa 2=0 3=60.7MPa2(50)40603）画主单元体）画主单元体解：解：1）求斜截面上的应力）求斜截面上的应力 x=40MPa x=50MPa30 =58.3MPa2）求主应力）求主应力 y=60MPa=3030 =18.3MPay单位：单位：MPa 601
29、1340 x50 22.5o30 =22.5o0 =67.5o=max x+y x y =+xmin 2 x 2 x ytan20=2 平面应力状态平面应力状态例题例题2 讨论圆轴扭转时表面的应力状态，分析圆轴扭转破坏原因。讨论圆轴扭转时表面的应力状态，分析圆轴扭转破坏原因。mmMT mWP WP x=解：解：1）在圆轴外表面任一点取原始单元体）在圆轴外表面任一点取原始单元体 x=y=02）求正应力极值）求正应力极值 2 2MTo0 =450 =45oxy22=0+0 (00)2+2 =+2 2 001=2=0 3=max x y =+xmin 00=+2=2 平面应力状态平面应力状态例题例题
30、2 讨论圆轴扭转时表面的应力状态，分析圆轴扭转破坏原因。讨论圆轴扭转时表面的应力状态，分析圆轴扭转破坏原因。mm解：解：1）在圆轴外表面任一点取原始单元体）在圆轴外表面任一点取原始单元体3）求切应力极值）求切应力极值 x y2 xtan21=22 22 2 =0002=1=01=90o1=2=03=MTMT mWP WP x=x=y=02）求正应力极值）求正应力极值xymin 2 平面应力状态平面应力状态例题例题2 讨论圆轴扭转时表面的应力状态，分析圆轴扭转破坏原因。讨论圆轴扭转时表面的应力状态，分析圆轴扭转破坏原因。mm解：解：4）分析圆轴扭转的破坏原因）分析圆轴扭转的破坏原因xy结论结论I
31、：圆轴扭转时，除轴线上的点（不受力），圆轴扭转时，除轴线上的点（不受力），其它各点均为其它各点均为纯剪切应力状态纯剪切应力状态，最大拉、压应力，最大拉、压应力在与轴线成在与轴线成 45o的斜截面的斜截面上，数值大小均等于该上，数值大小均等于该点横截面上的切应力。点横截面上的切应力。max +=0 =45o0 =45omin 2 平面应力状态平面应力状态例题例题2 讨论圆轴扭转时表面的应力状态，分析圆轴扭转破坏原因。讨论圆轴扭转时表面的应力状态，分析圆轴扭转破坏原因。mm解：解：4）分析圆轴扭转的破坏原因）分析圆轴扭转的破坏原因xy低碳钢扭转破坏断口低碳钢扭转破坏断口 max +0=0o=0 =
32、90o结论结论II：对于塑性材料（如低碳钢）对于塑性材料（如低碳钢）抗剪能力差抗剪能力差，扭转破坏时，通常是横截面上的扭转破坏时，通常是横截面上的最大切应力最大切应力使圆使圆轴沿横截面剪断。轴沿横截面剪断。结论结论III：对于脆性材料（如铸铁）对于脆性材料（如铸铁）抗拉能力差抗拉能力差，2 平面应力状态平面应力状态例题例题2 讨论圆轴扭转时表面的应力状态，分析圆轴扭转破坏原因。讨论圆轴扭转时表面的应力状态，分析圆轴扭转破坏原因。mmxy扭转破坏时，通常沿与轴线成扭转破坏时，通常沿与轴线成 45o的螺旋面拉断，的螺旋面拉断，断面法向正应力最大。断面法向正应力最大。铸铁扭转破坏断口铸铁扭转破坏断口
33、2=03=o0 =45解：解：4）分析圆轴扭转的破坏原因）分析圆轴扭转的破坏原因1=0 =45o2 平面应力状态平面应力状态2.3 应力状态分析应力状态分析图解法图解法yzyyzzxyxzyzxz xxyx已知：已知：某单元体（原始单元体）某单元体（原始单元体）要求：要求：任意斜截面的应力任意斜截面的应力方法：方法：截面法（平衡条件）截面法（平衡条件）123目的：目的：分析应力极值，找主单元体，分析应力极值，找主单元体，确定确定主应力主应力1、2、3对象：对象：空间应力状态非常复杂，先对空间应力状态非常复杂，先对简单的简单的平面应力状态平面应力状态进行分析。进行分析。分析方法：分析方法：1）解
34、析法；）解析法；2）图解法。）图解法。=cos2 x sin2 x+y x y =sin2+x cos2yymax x+y x y =+xmin 0=arctan(min max min =1 arctan x y x y =+x =2 2 xmax=1 32 平面应力状态平面应力状态xxyxnx xtyy22 2 2)122 x x y2.3 应力状态分析应力状态分析图解法图解法分析方法：分析方法：1）解析法）解析法+2 2 x y222max 2 21推广到三维：推广到三维：1 2 3 2公式多公式多记忆难记忆难分析特点，总结规律！分析特点，总结规律！Christian Otto Mohr
35、1835.10.8-1918.10.22 平面应力状态平面应力状态2.3 应力状态分析应力状态分析图解法图解法1866年，德国的年，德国的K.库尔曼库尔曼首先证明：首先证明：物体中一点的二向应力状态可用平面上物体中一点的二向应力状态可用平面上的一个圆表示，这就是应力圆。的一个圆表示，这就是应力圆。1882年，德国工程师年，德国工程师克里斯蒂安克里斯蒂安奥奥托托莫尔莫尔(Christian Otto Mohr)对应力圆对应力圆作了进一步的研究，提出借助应力圆确作了进一步的研究，提出借助应力圆确定一点应力状态的几何方法，后人就称定一点应力状态的几何方法，后人就称应力圆为应力圆为莫尔应力圆莫尔应力圆
36、，简称，简称莫尔圆莫尔圆。)=(cos2)2(=(sin2)+2()+=()+x(x xC)+y2=R2 x y2 =sin2+x cos2 x+y2 x y2 =+cos2 x sin22 平面应力状态平面应力状态2.3 应力状态分析应力状态分析图解法图解法22cos2)(x sin2)+(x sin2)2 x+y2 x y2 x y2(22sin2)(x cos2)+(x cos2)2 x y2 x y22 2 x+y2(2 x y222 x+y2 x y2()2=(cos2 x sin2)2 x y22=(sin2+x cos2)2圆心为圆心为(xC,0)，半径为，半径为R的圆的圆 x+
37、y2xC=R=(x y2)2+x 2)+=()+x(x xC)+y2=R2 x+y2 平面应力状态平面应力状态2.3 应力状态分析应力状态分析图解法图解法2 2 x+y2(2 x y222圆心为圆心为(xC,0)，半径为，半径为R的圆的圆 x+y2xC=R=(x y2)2+x 2xxxy y yxyyyOxCRx O2R=(x y2)2+x 2(,)xC=一个点一个点x一个解一个解一个面一个面应力圆应力圆莫尔圆莫尔圆)+=()+xyy2 平面应力状态平面应力状态2.3 应力状态分析应力状态分析图解法图解法2 2 x+y2(2 x y22 x+y2xC=R=(x y2)2+x 2xxy y yx
38、(y,y)(y,x)xC=90o180oO2(x,x)x+y290oxx180o 结论：结论：单元体上相对的两个面是同单元体上相对的两个面是同一个面，对应莫尔圆上同一点一个面，对应莫尔圆上同一点)+=()+xx2 平面应力状态平面应力状态2.3 应力状态分析应力状态分析图解法图解法2 2 x+y2(2 x y22 x+y2xC=R=(x y2)2+x 2xxxyy(y,y)xy y y(,)O2xC=2(x,x)x+y2图解法：图解法：按比例作图，根据比例计算某方位角上的正应力和切应力按比例作图，根据比例计算某方位角上的正应力和切应力xxxy yxyyD1(x,x)D2(y,y)y xE(,)
39、O22 平面应力状态平面应力状态2.3 应力状态分析应力状态分析图解法图解法图解法：图解法：按比例作图，根据比例计算某方位角上的正应力和切应力按比例作图，根据比例计算某方位角上的正应力和切应力步骤：步骤：1）建立）建立-坐标系，选定比例尺；坐标系，选定比例尺；2）在坐标系内，按比例标注在坐标系内，按比例标注 D1(x,x)和和 D2(y,y)；3）连）连D1D2，交，交 轴于轴于C点，以点，以C为圆心，为圆心，D1D2为直径作圆；为直径作圆；4）D1点同向转点同向转 2 的角度得到的角度得到E点，根据比例计算点，根据比例计算,。2Cmin x+y x y 0=arctan(结论：结论：1）正应
40、力极值）正应力极值max，min)122 x x ymax2=xC R=+x 22 2 tan20=x(x y)/22 平面应力状态平面应力状态2.3 应力状态分析应力状态分析图解法图解法22 2 2 2xCR R,maxxO2(y,y)y莫尔圆莫尔圆 单元体单元体一个点一个点 一个面一个面2max x y =R =+xmin 1=arctan22 2 1 x y2 2 x2 平面应力状态平面应力状态2.3 应力状态分析应力状态分析图解法图解法22 2 2 2 x+y(x,x)2xmaxmin y(x y)/22)+=()+x(y y),(),2 平面应力状态平面应力状态2.3 应力状态分析应
41、力状态分析图解法图解法2 2 x+y2(2 x y22 x+y2xC=R=(x y2)2+x 2xxxy y yyy(x,x)结论：结论：3）两互垂面之间）两互垂面之间切应力切应力关系关系4）两互垂面之间）两互垂面之间正应力正应力关系关系(,)O圆心是两点连线的中点圆心是两点连线的中点 =和为常数和为常数xx=+90o切应力互等定理切应力互等定理+=0+=2xC x+y=2xC x=圆心：圆心：C(/2,0)(/2,0)(,0)横截面横截面正应力正应力 1=2=0 3=00=0FFFN FA A2 平面应力状态平面应力状态例题例题1 讨论轴向拉伸时表面的应力状态，分析轴向拉伸破坏原因。讨论轴向
42、拉伸时表面的应力状态，分析轴向拉伸破坏原因。解：解：1）在直杆外表面任一点取原始单元体）在直杆外表面任一点取原始单元体2）画莫尔圆，求应力极值）画莫尔圆，求应力极值 x=0 y=0O/2切应力切应力 max=min=1=45o/2x/2y/2(/2,/2)(0,0)半径：半径：R=/2(/2,-/2)2 2分布，各点均为分布，各点均为单向拉伸应力状态单向拉伸应力状态，最大拉应，最大拉应3）分析直杆拉伸的破坏原因）分析直杆拉伸的破坏原因2切应力切应力 max=2min=1=45o2 平面应力状态平面应力状态例题例题1 讨论轴向拉伸时表面的应力状态，分析轴向拉伸破坏原因。讨论轴向拉伸时表面的应力状
43、态，分析轴向拉伸破坏原因。解：解：2）画莫尔圆，求应力极值）画莫尔圆，求应力极值正应力正应力 1=2=0 3=00=0结论结论I：直杆拉伸时，横截面上应力均匀直杆拉伸时，横截面上应力均匀/2力在力在横截面横截面上，最大切应力在上，最大切应力在 45o的斜截面的斜截面上，上，数值大小均等于该点横截面上的正应力的一半。数值大小均等于该点横截面上的正应力的一半。/2x/2y/2正应力正应力 1=2=0 3=00=02 平面应力状态平面应力状态例题例题1 讨论轴向拉伸时表面的应力状态，分析轴向拉伸破坏原因。讨论轴向拉伸时表面的应力状态，分析轴向拉伸破坏原因。解：解：2）画莫尔圆，求应力极值）画莫尔圆，
44、求应力极值3）分析直杆拉伸的破坏原因）分析直杆拉伸的破坏原因结论结论II：对于脆性材料（如铸铁）对于脆性材料（如铸铁）抗拉能力差抗拉能力差，拉应力的最大，拉应力的最大值出现在横截面上，所以拉伸破坏时，在横截面上拉断，出现垂直值出现在横截面上，所以拉伸破坏时，在横截面上拉断，出现垂直于横截面的平齐断口。于横截面的平齐断口。铸铁拉伸破坏断口铸铁拉伸破坏断口min=切应力切应力 max=2 平面应力状态平面应力状态例题例题1 讨论轴向拉伸时表面的应力状态，分析轴向拉伸破坏原因。讨论轴向拉伸时表面的应力状态，分析轴向拉伸破坏原因。解：解：2）画莫尔圆，求应力极值）画莫尔圆，求应力极值221=45o3）
45、分析直杆拉伸的破坏原因）分析直杆拉伸的破坏原因结论结论III：对于塑性材料（如低碳钢）对于塑性材料（如低碳钢）抗剪能力差抗剪能力差，切应力的最，切应力的最大值出现在大值出现在45o 方向斜截面，所以拉伸破坏时，在方向斜截面，所以拉伸破坏时，在45o方向出现滑移方向出现滑移线，继续加载，出现颈缩现象，导致破坏。线，继续加载，出现颈缩现象，导致破坏。低碳钢拉伸破坏断口低碳钢拉伸破坏断口应力状态与强度理论应力状态与强度理论1 引引 言言2 平面应力状态平面应力状态3 空间应力状态与广义胡克定律空间应力状态与广义胡克定律4 强度理论的基本概念强度理论的基本概念5 强度理论强度理论将圆柱放在平台上，受轴
46、向载荷作用，将圆柱放在平台上，受轴向载荷作用，单向单向(压缩压缩)应力状态应力状态。3.1 空间应力状态空间应力状态将圆柱放在尺寸相同的将圆柱放在尺寸相同的刚性模具刚性模具内，内，同样受轴向载荷作用，径向也受到载荷作同样受轴向载荷作用，径向也受到载荷作用，用，三向均受压三向均受压，没有切应力。，没有切应力。三个主应力均不为零的应三个主应力均不为零的应力状态，称为力状态，称为三向应力状态三向应力状态（空间应力状态）。（空间应力状态）。3 空间应力状态与广义胡克定律空间应力状态与广义胡克定律1）在单元体上任取一个）在单元体上任取一个斜截面斜截面(方位面方位面)yxzzzxyyzyxzyxy3.1
47、空间应力状态空间应力状态空间空间(三向三向)应力状态比应力状态比平面平面(二向二向)应力应力状态复杂，但分析方法状态复杂，但分析方法基本一样基本一样。2）方位面）方位面外法线外法线与与 x,y,z 轴的夹角为轴的夹角为,3）通过）通过平衡平衡得到正应力关于得到正应力关于,的函数的函数4）根据）根据极值条件极值条件得到取极值的得到取极值的 0,0,05）计算）计算主应力主应力，排序得到，排序得到1,2,323主单元体主单元体1nxz x3 空间应力状态与广义胡克定律空间应力状态与广义胡克定律max x+y x y =+2min min x y min =min maxmax min21 32ma
48、xmax2=+x 2 2 2 2 2空间应力状态：空间应力状态：过一点所有截面的过一点所有截面的最大应力最大应力是是1，最小应力最小应力是是3。结论：结论：平面应力状态的应力极值，在该平面内是最大或最小，但在平面应力状态的应力极值，在该平面内是最大或最小，但在空间内未必最大或最小。空间内未必最大或最小。思考：思考：切应力的最大、最小值是多少？切应力的最大、最小值是多少？3 空间应力状态与广义胡克定律空间应力状态与广义胡克定律3.1 空间应力状态空间应力状态平面应力状态：平面应力状态：过一点存在过一点存在正应力极值正应力极值和和切应力极值切应力极值=()+xmin=()+(30)=120+40
49、12040 2 2 130MPa2 2 30MPamax x+y x y 2 2 2 230120404050单位：单位：MPa30120例题例题1 求图示单元体的主应力和最大切应力。求图示单元体的主应力和最大切应力。解：解：前后面是主平面，主应力为前后面是主平面，主应力为50MPa。另外两个主平面与前后面垂直，应力与另外两个主平面与前后面垂直，应力与已知主应力无关。已知主应力无关。为求另外的两个主应力，将单元体投影为求另外的两个主应力，将单元体投影到已知主平面上。到已知主平面上。x=120MPa y=40MPa x=30MPa3 空间应力状态与广义胡克定律空间应力状态与广义胡克定律min 3
50、0MPa1 330120404050单位：单位：MPa30120例题例题1 求图示单元体的主应力和最大切应力。求图示单元体的主应力和最大切应力。解：解：前后面是主平面，主应力为前后面是主平面，主应力为50MPa。max 130MPa=1=130MPa2=30MPa3=50MPa max=2130(50)2=90MPa3 空间应力状态与广义胡克定律空间应力状态与广义胡克定律1）平行）平行3的所有斜截面上应力的所有斜截面上应力2）平行）平行2的所有斜截面上应力的所有斜截面上应力3）平行）平行1的所有斜截面上应力的所有斜截面上应力1232131231O 3C2 C32C1与主应力不平行截面的应力？与
