1、 温州市温州市 2019 届高三届高三 2 月高考适应性测试月高考适应性测试 数学试题数学试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知 i 是虚数单位，则等于（ ） A. 1 i B. 1 i C. 1 i D. 1i 【答案】B 【解析】 【分析】 直接由复数代数形式的除法运算化简得答案 【详解】， 故选：B 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题 2.已知集合 A1，2，1，集合 By | yx 2，xA，则 AB（ ） A. 1 B. 1，2，4 C. 1，1，2，4 D. 1，4
2、 【答案】C 【解析】 【分析】 将A中的元素代入集合B中的等式中求出y的值，确定出B，求出A与B的并集即可 【详解】当x1 时，y1；当x2 时，y4；当x时，y， B1，4， AB1，1，2，4 故选：C 【点睛】本题考查了并集的定义及其运算，用列举法表示集合时，注意集合中元素的互异性 3.已知 a，b 都是实数，那么“”是“” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意构造指数函数与幂函数，利用函数的单调性结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【详解】对于“”，考查函数 y=在 R 上单调
3、递增，所以“”与“ab”等价； 同样对于“”，考查函数 y=在 R 上单调递增，所以“”与“ab”也等价； 所以“”是“” 的充要条件，故选 C. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据指数函数及幂函数的单调性是解决本题的关键 4.双曲线的一个顶点坐标是（ ） A. ( 2，0) B. ( ，0) C. (0，) D. (0 ，) 【答案】D 【解析】 【分析】 先将双曲线方程化为标准方程，即可得到顶点坐标. 【详解】双曲线化为标准方程为：，= ，且实轴在 y 轴上， 顶点坐标是（） ，故选 D. 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，比较基础 5.以下不等
4、式组表示的平面区域是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由选项依次作出不等式组对应的平面区域，即可得结论. 【详解】A 选项：表示的区域如图：不满足题意； B 选项：表示的区域如图：不满足题意； C 选项：表示的区域如图：不满足题意； D 选项：表示的区域如图：满足题意； 故选 D. 【点睛】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识，属于基础题. 6.随机变量 X 的分布列如下表所示， X 0 2 4 P a 则 D X ( )（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 由分布列的性质解出a，再利用方差公式求方差即
5、可 【详解】由题意，a ，E(x)= 0 +2 +4 =2, D(X)（02） 2 +（22）2 +（42）2 2, 故选 B. 【点睛】本题考查分布列的性质、期望和方差的计算，考查基础知识和基本运算，属于基础题 7.在平面上，是方向相反的单位向量，| |2 ，() () 0 ，则|的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 将已知数量积运算得到| |，由向量模的几何意义结合图形可求得|的最大值. 【详解】由题意() () 0，即-（=0，又，是方向相反的单位向量， 所以有，即| |1，记,则 A,B 两点的轨迹分别是以原点为圆心，以 2 和 1
6、为半径的圆上，当反向共线时，如图： |的最大值为 1+2=3，故选 D. 【点睛】本题考查了向量数量积的运算，考查了向量模的几何意义的应用，考查了数形结合思想，属于中档 题. 8.已知实数 a 0，b 0，a 1，且满足 lnb ，则下列判断正确的是（ ） A. a b B. a b C. b 1 D. b1 【答案】C 【解析】 【分析】 通过构造函数，由函数的单调性及值域对 A,B 选项取对数进行作差比较，而对 C，D 用换底公式变形后进行判 断. 【详解】令函数 f(x)=-2lnx，则，所以 f(x)单调递增，又 f(1)=0， 可得 f(x)0 在（1，）恒成立， 取，则 f()=l
7、nb， 当时，f()0,ba；故 A，B 不一定成立； 又当时， lnb0, 所以,得到b 1. 故选 C. 【点睛】本题考查了构造函数法，考查了利用导数研究函数的单调性、值域问题，涉及到对数中的换底公式 运算，属于有难度的题型. 9.在正四面体 ABCD 中，P，Q 分别是棱 AB，CD 的中点，E，F 分别是直线 AB，CD 上的动点，M 是 EF 的中点， 则能使点 M 的轨迹是圆的条件是（ ） A. PEQF2 B. PEQF2 C. PE2QF D. PE 2QF22 【答案】D 【解析】 【分析】 先由对称性找到 PQ、EF 的中点在中截面 GHLK 上运动，利用向量的加减运算，得
8、到，结合正 四面体的特征将等式平方得到 4，由圆的定义得到结论. 【详解】如图：取 BC、BD、AC、AD 的中点为 G、H、K、L，因为 P、Q 是定点，所以 PQ 的中点 O 为定点，由 对称性可知，PQ、EF 的中点在中截面 GHLK 上运动， +=+,， 又在正四面体中，对棱垂直，PEQF， ， 4= 若点 M 的轨迹是以 O 为圆心的圆，则为定值， 只有 D 符合题意，故选 D. 【点睛】本题考查了向量的三角形法则的应用，考查了曲线的轨迹的求法，属于较难题型. 10.已知数列 满足 0，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先取特殊值进行排除，再利用递
9、推关系计算前 6 项，进行猜测结论并证明. 【详解】由,取特殊值：，得：=，=，排 除 C、D； =， =；且，均 小于 ，猜测，下面由图说明： 当时，由迭代蛛网图： 可得，单调递增，此时不动点为 ，当 n时，则有，. 当时，由迭代蛛网图： 可得，当 n 分别为奇数、偶数时，单调递增，且都趋向于不动点 ，由图像得， 综上可得， 故选 A. 【点睛】本题考查了数列的递推关系的应用，涉及三角函数的运算，考查了由特殊到一般的思维方法，考查 了分类讨论与数形结合思想，属于难题. 二、填空题二、填空题 11.我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅如图所示的“勾股圆方图”， 四个相同的直角三角形与边
10、长为 1 的小正方形拼成一个边长为 5 的大正方形，若直角三角形的直角边分别记为 a，b，有， 则 ab_，其中直角三角形的较小的锐角 的正切值为_ 【答案】 (1). 7 (2). 【解析】 【分析】 由条件直接运算即可. 【详解】由得到，又 a，b 均为正数，所以 ab7，不妨设 ab，则 a=3,b=4，则较小的锐角的正切值为 . 故答案为 7， . 【点睛】本题考查了一元二次方程组的解法，考查了直角三角形中正切函数的定义，属于基础题. 12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ） ，则该几何体的体积（单位：cm3）等于_，表面积（单位： cm2） 等于_ 【答案】 (1). 3 (2
11、). 【解析】 【分析】 首先把三视图转换为几何体，再利用几何体的体积公式与表面积公式求出结果 【详解】根据几何体的三视图，得该几何体为以等腰梯形 ABCD 与等腰梯形为底面，高为 1 的直四棱 柱，如图： 由柱体体积公式得：V 又等腰梯形 ABCD 与等腰梯形全等，面积和为6， 矩形DC 的面积为 21=2，矩形的面积为 41=4，矩形与矩形DA 的面积相等，又由 正视图可得 BC=，所以矩形与矩形DA 的面积和为 2=2，所以表面积为 6+2+4+2=12+2， 故答案为 3，. 【点睛】本题考查了由三视图还原几何体，考查了直棱柱的体积公式及表面积公式，主要考查学生的运算能 力和转化能力，
12、属于基础题型 13.若，则_，_ 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 利用赋值法求第一个问题，观察可得，再利用展开式的通项公式求得第二个问题的结果. 【详解】令x0，得0=；又 =,将 x+1 视为一个整体，则为二项式展开式中 的系数， 展开式的通项公式为，令 r=1，则的系数的值为=-6,故答案为 0， -6. 【点睛】本题考查了二项式展开式定理的应用问题，考查了展开式中的通项公式的应用及赋值法，是基础题 14.在ABC 中，C45，AB6 ，D 为 BC 边上的点，且 AD5，BD3 ，则 cos B_ ，AC_ 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 利用余弦定理
13、求出 cosB，可得 sinB，在ABC中利用正弦定理可得AC 【详解】AB6，AD5，BD3， 在ABD中，余弦定理 cosB， sinB 正弦定理：， 可得：AC 故答案为： ， 【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题，解题时要注意合理选择正余弦定理，属于中 档题 15.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡、若顾客甲只带了现金，顾客乙只用 支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式， 那么他们结账方式的可能情况有 _ 种 【答案】20 【解析】 【分析】 由题意，根据乙的支付方式进行分类，根据分类与
14、分步计数原理即可求出 【详解】当乙选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金， 故有 1+C2 1C 2 15，而乙选择支付宝时，丙丁也可以都选微信，或者其中一人选择微信，另一人只能选支付宝 或现金，故有 1+C2 1C 2 15，此时共有 5+5=10 种， 当乙选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有 1+C2 1C 2 1 5，而乙选择微信时，丙丁也可以都选支付宝，或者其中一人选择支付宝，另一人只能选微信或现金，故有 1+C2 1C 2 15，此时共有 5+5=10 种， 综上故有 10+1020 种，
15、故答案为 20. 【点睛】本题考查了分步计数原理和分类计数原理，考查了转化思想，属于难题. 16.已知 F 是椭圆的右焦点，直线交椭圆于 A、B 两点，若 cos AFB，则椭 圆 C 的离心率是_ 【答案】 【解析】 【分析】 设 AAF=n，由对称性结合余弦定理在中，得到 mn=3， 联立直线与椭圆，求得弦长，在中，由余弦定理得到-，可得 a，b 的关系，即可计算 e. 【详解】设椭圆的左焦点为，由对称性可知，AF= -cosAFB， 设 AAF=n，在中，由余弦定理可得=+AF，又 m+n=2a，所以 -4，即 mn=3, 联立直线与椭圆，得 A（）,B（）,则=； 又在中，由余弦定理可
16、得=+AFB=， 得到-， 所以有=-，即=5，=4， 所以 e=. 故答案为. 【点睛】本题考查了椭圆的定义及几何性质的应用，考查了焦点三角形问题，涉及余弦定理，考查了运算能 力，属于中档题. 17.已知，若对任意的 aR，存在 0，2 ，使得成立，则实数 k 的最大值是 _ 【答案】 【解析】 【分析】 讨论f（x）在0，2上的单调性，求出在0，2的最大值，即可得出m的取值范围 【详解】当0 时，即a0 时，在0，2恒成立， ，此时在0，2上单调递增， maxf（x）maxf（2）2 22a42a，k4-2a 对任意的a0 成立，k4； 当2 时，即a4，在0，2恒成立， ，此时在0，2上
17、单调递减， maxf（x）min-f（2）-2 2+2a-4+2a，k-4+2a 对任意的a4 成立，k4； 当 0时，即 0a2 时，此时在0， 上单调递减，在 ，2 上单调递增， 且在0，a恒成立，在a，2恒成立， max 又-=+2a-40 时，即时， max， k对任意的成立，k； 时， max， k对任意的成立， k； 当2 时，即 2a4 时，f（x）max，k对任意的 2a4 成立，k1； 综上所述： k； 故答案为. 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了恒成立问题与存在性问题，是综合性题目 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答
18、应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18.如图，在单位圆上，AOB()， BOC ，且AOC 的面积等于 （ I）求 sin 的值； （ II）求 2cos()sin) 【答案】() sin () 【解析】 【分析】 由题意先求得，再利用两角差的正弦公式求得结果 【详解】 （I）， ， ， = （II）=， =. 【点睛】本题主要考查诱导公式及同角基本关系式的应用，考查了两角差的正弦公式、二倍角公式，属于中 档题 19.在三棱锥 DABC 中，ADDC，ACCB，AB2AD2DC2，且平面 ABD平面 BCD，E 为 AC 的中点 （I）证明：ADBC； （II）求直线 DE 与平面 ABD
19、所成的角的正弦值 【答案】 （I）见证明； （II） 【解析】 【分析】 （I）先作，由面面垂直的性质定理可证线面垂直，再结合条件证得面，得到结论. （II）法一：根据（1）作出过 E 且与 CH 平行的线段，可得到线面角，再在直角三角形中求解即可. 法二： 以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和平面ABD的法向量 ，则|cos|即为所求 【详解】 （I）过 作， （其中 与都不重合，否则，若 与 重合，则与矛 盾， 若 与 重合，则，与矛盾） 面面 面 ，又 面 （II）法一：作，则， 由（1）知：面 即与面所成角，且 法二：由（I）知平面，以 为原点，分别以射线为 轴， 轴的正半轴，建立
20、空 间直角坐标系 由题意知： ， 平面的法向量为， 设与面所成角为 【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理及线面垂直的判定与性质的应用，考查了空间角的计算，空间向量 的应用，属于中档题 20.设 Sn 为数列an的前 n 项和，且 S28， （I）求 a1，a2并证明数列an为等差数列； （II）若不等式对任意正整数 n 恒成立，求实数的取值范围 【答案】 （I），见证明（II） 【解析】 【分析】 （I）给 n 赋值可求得及；利用与的关系将 n 换为 n+1，作差可得，由等差中项 的定义证得结论. （II）将 分离，构造新数列，利用的正负找到最大项，可得所求结果. 【详解】 （I），得 . ，
21、则， 两式相减得， 即 得， 即， 故数列为等差数列. （II）由（I）可得 ， 由得对任意正整数 恒成立， 令， ， ， . 【点睛】本题考查等差数列的证明及单调性问题，考查数列的最大项的求法，注意解题方法的积累，属于中 档题 21.如图，A 为椭圆的下顶点，过 A 的直线 l 交抛物线于 B、C 两点，C 是 AB 的 中点 （I）求证：点 C 的纵坐标是定值； （II）过点 C 作与直线 l 倾斜角互补的直线 l交椭圆于 M、N 两点，求 p 的值，使得BMN 的面积最大 【答案】 （）见证明； （II）见解析 【解析】 【分析】 （I）根据点在抛物线上设出 B 的坐标，可表示出 C 的
22、坐标，代入抛物线方程求得纵坐标. （II）先利用条件得到，联立直线 与椭圆的方程，求得弦长及 到的距离，写出面积 的表达式，利用基本不等式求得最值及相应的参数即可. 【详解】 （）易知，不妨设，则， 代入抛物线方程得： ，得：，为定值. （）点 是中点， 直线 的斜率，直线 的斜率， 直线 的方程：，即， 不妨记，则 ： 代入椭圆方程整理得：， 设，则 ， ， 到的距离， 所以 . 取等号时，得，所以，. 【点睛】本题考查抛物线和椭圆的定义、方程和性质，主要考查了直线和椭圆的位置关系，注意运用韦达定 理、弦长公式，同时考查点到直线的距离公式、基本不等式求最值，是一道综合题 22.记 （I）若对
23、任意的 x0 恒成立，求实数 a 的值； （II）若直线 l:与的图像相切于点 Q(m，n) ； （i）试用 m 表示 a 与 k； （ii）若对给定的 k，总存在三个不同的实数 a1，a2，a3，使得直线 l 与曲线，同时相 切，求实数 k 的取值范围。 【答案】 （I）（II） （i）.（ii）见解析 【解析】 【分析】 （I）利用说明是的最大值，也是极大值，求得 a，再证明必要性； （II） （i）利用导数的几何意义及切点既在曲线上又在直线上，列出方程组，解得 a，k. （ii）根据题意求得方程：有三个不同的解时的 k 的范围，再去证明 与 a 是一一 对应的. 【详解】 （I） ，又恒
24、成立，是的最大值 ，； 反过来，当时，单调递减，又，在（0，1）上递增，在（1，上递减， ，恒成立. （II） （i），由切点，则有： ， 把代入可得：， 代入式得：（*） ， （ii）根据题意方程（*）有三个不同的解， 令 = = 由，解得两根分别为 与 当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，单调递减 的极小值为；的极大值为 又时， 当时，方程（*）有三个不同的根， 下面说明三个不同的 对应的 也是不同的： 设方程（*）的三个不同的根分别为：，且 则有：，显然 只需说明即可， 又由可得： 即，假设， 则有，即 即 即，令，即 设 在上是减函数，即，与矛盾 假设不真，即 当，存在三个不同的实数使得直线 与曲线，同时相切 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性极值最值，同 时考查了一定的论证能力及计算能力，考查了转化思想，属于难题
