1、 2019-2020 学年安徽省滁州市定远县育才学校高一（实验班）学年安徽省滁州市定远县育才学校高一（实验班） 上学期第三次月考数学试题上学期第三次月考数学试题 一、单选题一、单选题 1以下说法正确的有（以下说法正确的有（ ） 若若( , )|4( , )|21Ax yxyBx yxy，则，则3 1AB，； 若若 ( )f x是定义在 是定义在 R 上的奇函数，则上的奇函数，则(0)0f； 函数函数 1 y x 的单调递减区间是的单调递减区间是(0)(0)，； 若集合若集合 P =a，b，c，Q =1，2，3，则映射，则映射 f：P Q 中满足中满足 f（b）=2 的不同映射的不同映射 共有共
2、有 9 个个 A1 个个 B2 个个 C3 个个 D4 个 个 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由 43 31 211 xyx AB xyy ， ，故错误；中 ( 0)(0)(0)0fff ，正确；单调递减区间为 0 , 0， 故错误； 不同映射共有3 39 个，故正确，综上正确的有2 个，故选 B. 2函数函数 2 ( )3125f xxx在区间在区间0,n上的最大值为上的最大值为5，最小值为，最小值为7，则，则n的取值的取值 范围是（范围是（ ） A2, B 2,4 C,2 D0,2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】函数 22 ( )31253(2)7f xxxx 函数 ( )f
3、x的对称轴为直线 2x，且函数 ( )f x的最小值为7 令( )5f x ，解得0x或 4 ( )f x在区间0, n上的最大值为 5，最小值为7 实数n的取值范围是24n 故选 B 点睛：本题考查二次函数的图象与性质.二次函数、一元二次方程与一元二次不等式统 称三个“二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系函数的 图象是探求解题思路的有效方法，一般从：开口方向；对称轴位置；判别式； 端点函数值符号四个方面分析. 3函数函数( )y= f x在在0，2上单调递增，且函数上单调递增，且函数 (2)f x是偶函数，则下列结论成立的是偶函数，则下列结论成立的 是是( ) A
4、 57 (1)()() 22 fff B 75 ()()(1) 22 fff C 75 ()(1)() 22 fff D 57 ()(1)() 22 fff 【答案】答案】C 【解析】【解析】函数(2)f x是偶函数可得函数( )yf x图像关于2x对称，利用对称性将 数值转化到0,2内比较大小. 【详解】 函数(2)f x是偶函数， 则其图象关于y轴对称， 所以函数( )yf x的图像关于2x 对称，则 53 ( )( ) 22 ff， 71 ( )( ) 22 ff，函数(=)y f x在0,2上单调递增，则有 13 ( )(1)( ) 22 fff，所以 75 ( )(1)( ) 22
5、fff.选C. 【点睛】 本题考查抽象函数的性质.由(2)f x的奇偶性得到( )f x的对称性是本题解题关键. 需要考生熟练掌握函数解析式与函数图象变换之间的关系. 4函数函数 2 lnx x y x 的图象大致为（的图象大致为（ ） A B C D 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 由函数 2 lnx x y x 为奇函数， 图象关于原点对称， 可排除选项 B、 C； 0x时， 函数 2 2 ln ln2ln x x yxx x 在0,上递增，可排除选项 D；故选 A. 点晴:本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近 年高考常见的命题方向，该题型的特点是
6、综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不 是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇 偶性、特殊点以及0 ,0 ,xxxx 时函数图象的变化趋势，利用排 除法，将不合题意的选项一一排除. 5 设 设 f x是定 义在是定 义在R上 的奇函 数，且上 的奇函 数，且 2f xf x， 当， 当01x时，时， 21f xxx，则，则 19 2 f A 3 2 B 15 2 C 1 2 D 1 2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】函数 f x满足 2f xf x f x函数是周期为2的周期函数， 1911 222 fff 当01x时， 21f xxx 11 22
7、 f 故 191 22 f 故选D 点睛：本题考查了函数的奇偶性与周期性，要求较大的数的函数值只需利用周期性进行 转化，然后再运用函数是奇函数求得结果，属于基础题型 6设设 U=R，集合，集合 2 |2 ,|40 x Ay yxRBxZ x，则下列结论正确的，则下列结论正确的 是是 A (0,)AB B (),0 U C AB C2 10 U C AB ， ， D()1,2 U C AB 【答案】【答案】C 【解析】【解析】0Ay y，21012B ， ， ， ， 0,210AB ， ，,选项 A 错误； 012 U C AB， ，选项 B 错误； 021012210 U C AB ， ， ，
8、 ， ，选项 C 正确，D 错误， 故选：C 点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件， 明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化 简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图 和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示；集合元素连续时 用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍 7某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p(千帕千帕)是气球是气球 体积体积 V(立方米立方米)的反比例函
9、数，其图的反比例函数，其图像如图所示，则这个函数的解析式为像如图所示，则这个函数的解析式为( ) Ap96V Bp 96 V Cp 69 V Dp 96 V 【答案】【答案】D 【解析】【解析】因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，所以可设 k p V ，由图象可 知，点1.5,64 在函数图象上，所以64 1.5 k ，解得96k ，故 96 p V ，故选 D. 8设函数设函数 1 3 x f x 与与 3g xx 的图象的交点为的图象的交点为 00 ,x y，则，则 0 x所在的区间为所在的区间为 ( ) A0,1 B1,2 C2,3 D3,4 【答案】【答案】C 【解析】【解析】
10、 令 1 3 3 x h xx ， 则 581 02 ,1,2,3 392 7 gggg， 故 h x的零点在2,3内，因此两函数图象交点在2,3内，故选 C. 【方法点睛】本题主要考查函数图象的交点与函数零点的关系、零点存在定理的应用， 属于中档题. 零点存在性定理的条件： （1）利用定理要求函数在区间, a b上是连续不 断的曲线； （2）要求 0f a f b ； （3）要想判断零点个数还必须结合函数的图象与 性质(如单调性、奇偶性). 9已知函数已知函数( )2f xx xx，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是 A ( )f x是偶函数，递增区间是 是偶函数，递增区间是0, B (
11、 )f x是偶函数，递减区间是 是偶函数，递减区间是(,1) C ( )f x是奇函数，递减区间是 是奇函数，递减区间是1,1 D ( )f x是奇函数，递增区间是 是奇函数，递增区间是,0 【答案】【答案】C 【解析】【解析】将函数 f(x)x|x|2x 去掉绝对值得 f(x) 2 2 2 ,0 2 ,0 xx x xx x ，画出函数 f(x)的 图像，如图，观察图像可知，函数 f(x)的图像关于原点对称，故函数 f(x)为奇函数，且 在(1,1)上单调递减 10已知已知是定义在是定义在 上的奇函数，且当上的奇函数，且当时，时，则，则的值为（的值为（ ） A B C D 【答案】【答案】B
12、 【解析】【解析】试题分析：由题意得，故选 B 【考点】指数幂运算及对数的运算性质 11 已知 已知 f x是是R上的奇函数， 且当上的奇函数， 且当0x时，时， 2 2f xxx， 则当， 则当0x时，时， f x 的解析式是（的解析式是（ ） A (2)f xx x B (2)f xx x C (2)f xx x D (2)f xx x 【答案】【答案】D 【解析】【解析】令0x，则0x ，所以 2 2fxxx，又 f x是R上的奇函数， 所以 2 ( )2(2)f xfxxxx x，故选 D. 二、填空题二、填空题 12如果函数如果函数 yf(x)在区间在区间 I 上是增函数，且函数上是
13、增函数，且函数 ( )f x y x 在区间在区间 I 上是减函数，那上是减函数，那 么称函数么称函数 yf(x)是区间是区间 I 上的上的“缓增函数缓增函数”，区间，区间 I 叫做叫做“缓增区间缓增区间”若函数若函数 2 13 ( ) 22 f xxx是区间是区间 I 上的上的“缓增函数缓增函数”，则，则“缓增区间缓增区间”I 为为( ) A1，) B0，3 C0，1 D1，3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由题意，求 2 13 ( ) 22 f xxx的增区间，再求 ( )13 1 22 f x yx xx 的减 区间，从而求缓增区间. 【详解】 因为函数 2 13 ( ) 22 f
14、 xxx的对称轴为 x1， 所以函数 yf(x)在区间1，)上是增函数， 又当 x1 时， ( )13 1 22 f x x xx ， 令 13 ( )1 22 g xx x (x1)，则 2 22 133 ( ) 222 x g x xx ， 由 g(x)0 得13x， 即函数 ( )13 1 22 f x x xx 在区间1, 3上单调递减， 故“缓增区间”I 为1, 3， 故选 D. 【点睛】 该题考查的是有关新定义的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，属于 简单题目. 13 函数 函数 f xx的函数值表示不超过的函数值表示不超过x的最大整数， 例如，的最大整数， 例如，
15、3.5=4, 2.1=2 已 已 知定义在知定义在 R 上的函数上的函数 g x= 2xx，若，若A= |y y= ,01g xx，则，则 A 中所中所 有元素的和为有元素的和为_ 【答案】【答案】4 【解析】【解析】根据取整函数的意义，将定义域分为 1 0 2 x、 1 1 2 x、x=1 三段分别求 得值，即可求得集合 A 中的各元素，进而求得 A 中所有元素的和。 【详解】 由题意，01x， 022x，当 1 0 2 x时， g x= 2xx=0； 当 1 1 2 x时， g x= 21xx； 当 x=1 时， g x= 2xx=3， A=0,1,3，则 A 中所有元素的和为 4， 故答
16、案为 4 【点睛】 本题考查了函数新定义及性质的简单应用，注意分段函数边界点的选择，属于中档题。 14若若 2 ( )lg() 1 x f xaa x R 是奇函数，则常数是奇函数，则常数a的值为的值为_ 【答案】【答案】1 【解析】【解析】 因为 2 ( )lg() 1 x f xaa x R ，所以 2 ()lg 1 x fxa x ， 因为( )()0f xfx，所以 22 1 11 xx aa xx ， 化解得 22 (43)1aaxa ，所以 2 430 10 aa a ，解得1a 15若函数若函数( )yf x在在R上为奇函数，且当上为奇函数，且当0x时，时，( )22 x f x
17、xc，则，则( 2)f 的值为的值为_ 【答案】【答案】7 【解析】【解析】函数 yf x在R上为奇函数故(0)0,1.fc ， 22ff， (2)44 17,f 故( 2)7.f 故答案为：-7. 16 将函数 将函数 x ye的图像先向右平移的图像先向右平移1个单位， 再向下平移个单位， 再向下平移3个单位， 得到函数个单位， 得到函数 ( )yf x 的图像，则函数的图像，则函数( )yf x的零点为的零点为_ 【答案】【答案】1 ln3 【解析】【解析】将函数 x ye的图像先向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，得到函数 1 3 x ye 令 1 30 x ye ，得到其零点
18、为1 ln3 即答案为1 ln3 三、解答题三、解答题 17已知已知0a ，1a ，设集合，设集合 |log ( 1)log (5) aa Axxx， |211Bxmxm . （1）若）若1a ，请用区间表示，请用区间表示A； （提示：解含对数的不等式一定要考虑定义域和单调； （提示：解含对数的不等式一定要考虑定义域和单调 性）性） （2）若）若1.9A，且，且ABB，求，求m的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】(1)2,5A；(2) 0,12,U. 【解析】【解析】试题分析： （1）由对数函数的性质可得 15 50 xx x ，解不等式组即可得结 果；（2） 由1 . 9A， 可得01a
19、， 结合对数函数的性质可得1,2A ， 由A B B 可得 BA，讨论两种情况，列不等式求解即可. 试题解析： （1）当1a 时，不等式： log1log5 aa xx 1 50xx 15 50 xx x 25x 所以2,5A. （2）若1.9A，则log 2.9log 3.101 aa a. 不等式log1log5 aa xx 01 5xx 15 10 xx x 12x 此时，1,2A . 若B，即21 12mmm 时，ABB成立. 若B，则A BBBA 21,11,2mm 12112mm 01m 综上，m的取值范围是 0,12,. 18已知函数已知函数 2 logaf xaxx （1）若）
20、若 1 2 a ，求，求 f x的单调区间；的单调区间； （2）若）若 f x在区间在区间2,4上是增函数，求实数上是增函数，求实数a的取值范围的取值范围 【答案】【答案】 （1）增区间为,0；减区间为2,； （2）1a 【解析】解析】 【详解】试题分析： （1）当 1 2 a 时， 2 1 2 1 log 2 f xxx ，由 2 1 0 2 xx可得函数的定义域为 ,02,，结合图象可得函数的减区间为,0，增区间为2,。 （2） 令 2 g xaxx，分两种情况考虑。当01a时，若满足题意则 2 g xaxx在 2,4上单调递减， 且 2 min ( )0g xaxx； 当1a 时， 若满
21、足题意则 2 g xaxx 在2,4上单调递增，且 2 min ( )0g xaxx。由此得到关于 a 的不等式组，分别解 不等式组可得所求范围。 试题解析： （1）当 1 2 a 时， 2 1 2 1 log 2 f xxx ， 由 2 1 0 2 xx，得 2 20xx， 解得0x或2x ， 所以函数的定义域为 ,02,， 利用复合函数单调性可得函数的增区间为,0，减区间为2,。 （2）令 2 g xaxx，则函数 g x的图象为开口向上，对称轴为 1 2 x a 的抛物线， 当01a 时， 要使函数 f x在区间2,4上是增函数，则 2 g xaxx在2,4上单调递减，且 2 min (
22、 )0g xaxx， 即 1 4 2 11 40 164 a ga ，此不等式组无解。 当1a 时， 要使函数 f x在区间2,4上是增函数，则 2 g xaxx在2,4上单调递增，且 2 min ( )0g xaxx， 即 1 2 2 2420 a ga ，解得 1 2 a ， 又1a ， 1a ， 综上可得1a 所以实数a的取值范围为(1,)。 点睛： 求函数的单调区间时容易忽视函数定义域的限制， 对数型函数的单调性满足“同增异减” 的性质。对于本题中的（2） ，同样容易忽视 2 0axx的限制条件，解题时要考虑全 面，不要漏掉条件。 19已知定义在已知定义在R上的函数上的函数 2 ( )
23、 2 x x b f x a 是奇函数是奇函数. （1）求）求a，b的值；的值； （2）判断）判断 ( )f x在 在R上的单调性，并用定义证明；上的单调性，并用定义证明； （3） 若对任意的） 若对任意的tR， 关于， 关于t的不等式的不等式 2 (2 )()0f ttfk恒成立， 求恒成立， 求k的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （1）1a，1b（2） ( )f x在R上为减函数（3） 1k 【解析】【解析】试题分析： （1）利用函数是奇函数，建立方程关系解a，b； （2）利用定义法 证明函数的单调性； （3）利用函数的奇偶性将不等式 2 20f ttfk转化为 2 2f ttfk
24、f k ，然后利用单调性求k的取值范围. 试题解析： （1）因为 2 2 x x b f x a 是定义在R上的奇函数 所以 00 11 f ff ，解得1a，1b 经检验符合题意，所以1a，1b （2）由（1）知 1 2 1 2 x x f x 设 12 xx，则 21 12 12 12 12 2 22 1 21 2 1 21 21 21 2 xx xx xx xx f xf x 因为2xy 是增函数，所以 21 220 xx ，所以 12 f xf x 所以 f x在R上为减函数 （3）因为 f x为R上减函数，且为奇函数 所以 2 20f ttfk 等价于 2 2f ttfkf k ，
25、所以 2 2ttk恒 成立 即 2 2 211kttt，所以1k 点睛：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用定义法证明函数的单调性，以及函数单调 性和奇偶性的综合应用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，灵活运用函数性质去 掉不等式中的符号“f”是解题的关键所在，难度不大；在该题中可将不等式 2 20f ttfk 转化为 2 2f ttf k ，结合单调性由此可把不等式化为 具体不等式求解. 20“活水围网活水围网”养鱼技术具有养养鱼技术具有养殖殖密度高、经济效益好的特点密度高、经济效益好的特点研究表明：研究表明：“活水围网活水围网” 养鱼时，养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度某
26、种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克（单位：千克/年）是养殖年）是养殖 密度密度x（单位：尾（单位：尾/立方米）的函数当立方米）的函数当x不超过不超过 4（尾（尾/立方米）时，立方米）时，v的值为的值为2（千克（千克 /年） ；当年） ；当420x时，时，v是是x的一次函数；当的一次函数；当x达到达到20（尾（尾/立方米）时，因缺氧等立方米）时，因缺氧等 原因，原因，v的值为的值为0（千克（千克/年） 年） （1）当）当020x时，求函数时，求函数( )v x的表达式；的表达式； （2）当养殖密度）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克为多大时，鱼的年生长量（单位：千
27、克/立方米）立方米）( )( )f xx v x可可 以达到最大，并求出最大值以达到最大，并求出最大值 【答案】【答案】 （1） xv= * * 2,04, 15 ,420, 82 xxN xxxN （2）当养殖密度为 10 尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千 克/立方米 【解析】【解析】试题分析： （1）由题意：当04x时， 2v x ； 2 分 当420x时，设 baxxv，显然 baxxv在4,20是减函数， 由已知得 200 42 ab ab ，解得 1 8 5 2 a b 4 分 故函数 xv= * * 2,04, 15 ,420, 82 xxN xxxN
28、6 分 （2）依题意并由（1）可得 xf * 2* 2 ,04, 15 ,420,. 82 xxxN xxxxN 8 分 当04x时， xf为增函数，故 max (4)fxf4 28 ； 10 分 当420x时， 2 222 1511100 (20 )(10) 82888 f xxxxxx ， max (10)12.5fxf 所以，当020x时， xf的最大值为12.5 13 分 当养殖密度为 10 尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立 方米 14 分 【考点】函数模型的运用 点评：主要是考查了函数模型的实际运用，属于中档题。 21若若 ( )f x是定义在 是定
29、义在(0,)上的函数，且满足上的函数，且满足 ( )( )( ) x ff xf y y ， 当当1x 时，时，( )0f x . （1）判断并证明函数的单调性；）判断并证明函数的单调性； （2）若）若(2)1f，解不等式，解不等式 1 (3)( )2f xf x . 【答案】【答案】 （1）增函数,证明见解析； （2） |01xx 【解析】【解析】试题分析： (1)由题意结合所给的抽象函数关系可由 12 0xx 时有 12 0f xf x，即 ( )f x在定义域内为增函数； (2)原问题等价于 x 的不等式组 (3)4 30 1 0 x x x x ，求解不等式组可得01x. 试题解析：
30、（1）增函数 证明：令 12 ,xx yx ，且 12 0xx ，则 1 2 1 x x 由题意知： 1 12 2 ()()() x ff xf x x 又当 x1 时， 0f x 1 2 ()0 x f x 12 0f xf x ( )f x 在定义域内为增函数 (2)令 x=4,y=2 由题意知： 4 ( )(4)(2) 2 fff 4221 22ff 1 3( )( (3)(4)f xff x xf x 又 f x是增函数，可得 (3)4 30 1 0 x x x x 01x. 点睛：抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特 征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的
31、抽象性，使得这类问题成为 函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住 函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方 法（如化归法、数形结合法等） ，这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有 成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的 函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的 方法。 22已知已知0a且且1a ，函，函数数 2 ( )log 1 a f x x . （1）求）求 ( )f x的定义域 的定义域D及其零点；及其零点； （2）讨论并用函数单调性定义证明函数）讨论并用函数单调性定义证明函
32、数 ( )f x在定义域 在定义域D上的单调性；上的单调性； （3）设）设 2 ( )23g xmxmx，当，当1a 时，若对任意时，若对任意 1 (, 1x ，存在，存在 2 3,4x ， 使得使得 12 ()()f xg x ，求实数，求实数m的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】(1) 定义域D为(,1),函数 ( )f x的零点为-1;(2)见解析;(3) 1m. 【解析】【解析】试题分析： （1）由题意知求得函数 ( )f x 定义域为(,1) ，再由( )0f x ， 即可求解函数的零点； （2）根据函数的单调性的定义，即可证明函数的单调性； （3）由任意 1 (, 1x ，存在
33、 2 3,4x ，使得 12 ()()f xg x 成立，得到 maxmax ( )( )f xg x 由（2）知当1a 时， ( )f x在(, 1 上单调递增，得到函数的最大值为0，分三种情 况讨论，即可求解实数m的取值范围. 试题解析： （1）由题意知， 2 0 1x ，1 x0，解得x1， 所以函数 f x 定义域D为,1. 令 f x0，得 2 1 1x ，解得x1 ，故函数 f x的零点为-1； （2） 设 1 x， 2 x是,1内的任意两个不相等的实数， 且 12 xx， 则 21 xxx0 ， 1 21a 2 1x yf xf xlog 1x 12 xx1， 12 xx1 ，即
34、 1 2 1x 1 1x 所以当0a1时，y0，故 f x在D上单调递减， 当a1时，y0，故 f x在D上单调递增. （3）若对于任意 1 x, 1 ，存在 2 x3,4，使得 12 f xg x成立， 只需 maxmax f xg x 由（2）知当a1时， f x在, 1上单调递增，则 max f xf10 当m0时， g x3， 12 f xg x成立 当m0时， g x在3,4上单调递增， max g xg 48m3，由8m 3 0 ， 解得 3 m 8 ，m0 当m0时， g x在3,4上单调递减， max g xg 33m 3，由3m 30 ， 解得m1 ，1m0 综上，满足条件的m的范围是m1 . 点睛：本题函数性质的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性的定义证明与判定， 函数的奇偶性的应用，函数零点的概念与求解，同时考查了分类讨论思想和转化与化归 思想，本题的解答中熟记函数的基本性质的概念和判定方法，合理转化恒成立与有解问 题时解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.
