1、双变量问题处理策略2022-12-1112122122112212112212 (1):()()()()(2):ln:lnlnln(3):,:;(1)xxxxxxxxxxf xaxf xaxF xf xaxxtxxxegxxxtxxeeegeeeeee双变量函数处理技巧分离双参独立双参 主元法比值糅合含有糅合双参差值糅合含有2022-12-1策略一、策略一、改变改变“主变量主变量”思想思想2()1,2f xxmxmm 在.已知恒成立 求实数时的取值范围2221(1)102,(2)0()(1)1 2,231(2)0 xmxmm xxmmhh mxmxmxxh 在时恒成立 即关于 为自变量的一次函
2、数在时的函数值恒为非负值或2022-12-1221,(1),.n anNean对任意恒有求实数的最大值22222222222221111(1)ln(1)ln(2)ln(1)2()ln(1)12111,(),0,112ln(1)ln(1)11(1)ln(1)(),()(1)ln(1)(1)ln(1)(1)ln(1)()ln(1)n an aaeenannnnnanG xxxxnxxxG xh xxxxxxxxxxh xx 设设2 ln(1)2ln(1)2,(),()011112()(1)112ln22ln2ln2xxxx h xG xxaG xGa 易得在，上单调递减2022-12-1策略二、指
3、定策略二、指定“主变量主变量”思想思想2223:2()212xxet exxt 求证22222211()22()12()()1()122213()()1()(0)1()122xxxxxxxxexf ttex textexexg xexg xeg xgex 令设 有些有些问题虽然有两个变量，只要把其中一个当常数，另一个看成自变量，便可使问题问题虽然有两个变量，只要把其中一个当常数，另一个看成自变量，便可使问题得以解决，我们称这种思想方法为：指定得以解决，我们称这种思想方法为：指定“主变量主变量”思想。思想。2022-12-1策略三、化归为单调性问题策略三、化归为单调性问题,baabeab与.已知
4、试比较的大小 并说明理由:,lnlnlnln.baababebaababab分析 要比较与的大小只要比较与的大小比较与的大小即可2ln1 ln(),(,),()0(,),lnln()(,),lnlnlnlnbabaxxf xxefxexxabf xeabebaabababab构造函数在上恒成立在上递减由得2022-12-121212()ln,(1),1,1,()()1,xf xaxxa ax xf xf xea 已知函数对求实数的取值范围.minmax()ln2ln(1)ln2,(0)0,1,0,10,ln0,20,()0,()1,0;0,1,10,ln0,20,()0,()0,1,()(0)
5、1,()max(1),(1),(1)(1)xxxxfxaaxaaaxfxaaxfxf xxaaxfxf xf xff xffff 当时即在上递减 当时即在上递增又由222max1212maxmin111(1 ln)(1ln)2ln,()2ln,(1,)12(1)()10,()(1,),(1)0,1()0,(1)(1),()(1)1 ln,1,1,|()()|()()aaaaah aaa aaaaah ah ahah aaaafff xfaax xf xf xf xf xa 令在上递增 又当时即ln,ln1,()ln1,11(1,),()10,()(1,),()0,()0,1,1.aaaeaaa
6、eaaaaeaaeaaaae 要题设中的不等式恒成立 只需成立便可 于是构造由在上递增 又又2022-12-122112211212()ln3.(1)()(1,(1)2,();()(2)1,1,10,()(),.f xxaxxf xfyf xm xxax xxxf xf xx xm 已知函数函数在点处的切线方程为求函数的极值当时 对于当时 不等式恒成立求实数 的取值范围211135(1)()ln3,()()lnln2,22424()(1)ln1 1 32f xxxx f xff xf 极大值极小值211212121212223232232()(2)()()()()()()11,10()ln3,
7、()2301,10231,10,()23,()6610()23m xxmmmmmf xf xf xf xh xf xx xxxxxxmmh xxxxh xxxxxmxxxF xxxx F xxxF xxxx 设在上单调递减在上恒成立在上恒成立 设在min1,10()(10)17101710.F xFm 上单调递减2022-12-12()(1)ln1(1),(0,)()(),4,naf xaxaxam nf mfmn 已知函数若对任意求 的取值范围.21()2,0,1,()0()(0,),0()()()()4()()44()4()4.()()4()(0,),()0()4041(12400,)2a
8、fxaxxafxf xmnxf mf nf mf nmnf mf nnmf mmaaaxf nnF xf xxF xF xfxxxx 在上单调递减 不妨设设在上递减在上恒成立222222222min41(0,),(),(0,),12118(1)()84(41)484412(),(0,)()0,(21)(21)(21)211(,),()0,()()2,2.22xxh xxxxxxxxxxh xxh xxxxxh xh xha 在上恒成立 设当时当时2:02142()10aaaaaa 法二 根的分布2022-12-1121212()ln,0,()(),.kf xxxxf xf xxxkx已知函数对
9、都有恒成立 求实数的取值范围12121122222()()()(),()()ln,(0)1111()10(0,)()244kf xf xxxf xxf xxg xf xxxx xxkg xkxxxkxx 恒成立在上恒成立恒成立2022-12-112112121()ln,(1)(),;(2)(1),:0,1.xxxf xxef xxxxeex 已知函数若函数是单调函数 求 的取值范围在的条件下 求证 当时 都有min(1)()(0,),(),(),()0()0(0,)1()0,0,(),(),1101,()0;1,()0,()(1),.()0,xxxxxxxxef xfxef xxxfxfxxx
10、xfxxexeg xg xeeexg xxg xg xgeefx 的定义域为是单调函数或在恒成立。当时令当时当时当时10,(),(),01,()0;1,()0,(0)0,()00.1,0,.xxxxxxxxxexeg xg xeeexg xxg xgxg xe 令当时当时的取值范围为2022-12-121112121()ln,(1)(),;(2)(),:0,1.xxxf xxef xxf xxxeex 已知函数若函数是单调函数 求的取值范围若函数是单调递减函数 求证 当时 都有121221211212111111212122112121121211(2)(1),()ln(0,),0,()();
11、11lnlnlnlnlnlnln1,ln1,(01),xxxxxxxxxf xxexxf xf xeexxexexexeeexxeexxxxxeettgxxxx 由知 当在上单调递减即要证只需证令设221()ln11111()0()(0,1),(1)0,()0ln1,ttttg tg tgg tttttt 在上单调递减 又得证。2022-12-11112121212221212121212121211211212112222lnlnln(2)lnln(),1lnlnln1lnln11()(1)(1)(1)()lnlnln,xaxxxxxa xxaxxxaxxxxxaxaxa xxaxxxxxx
12、xxxxxxxxt txxxxxx 令22222222(0,1)(1)(1)ln(0,1),(1)(1)1(1)(1)()()ln,(01)()()()1,()0()(0,1)()(1)0,;1,()(0,),(,1),(1)0tttttth ttth ttttt th th th thh th 在上恒成立令当时在内单调递增合题当时 易知在内单调递增 在内单调递减,()0,1.h t不恒成立 不合题。综上所述2022-12-111212221212()()()ln,0,:1.xf xf xf xxxxxxxxx已知设求证1121112212222212121212112112122222121
13、21221122211221222()()(ln)(ln)0,lnln()1,(lnln)0()ln0,1,()ln(1()1xf xf xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxttttg ttxxxtx从而原不等式即证令设224332222221),(21)(1)()211(1)(1)()0(1)(1)(1)()(1,),()(1)0.ttttttttttttg tttt tt tg tg tg 在上单调递减2022-12-1()()()ln,()?,;2,.f af babf xxxa bfa bab已知是否存在不相等的正实数满足若存在 求出若不存在 试说
14、明理由()():0,1,()ln1,(),2lnlnln1lnlnlnln22222lnlnlnlnlnln2222lnln1,(1)2()lnaf af bababfxxfbabaabbabababaabbababababababaaabbbabababababaabaax xbababbbF xx 解 不妨设则令Q22222ln1ln2ln(1)ln(1)1 ln211ln2(1)ln(1)1 ln2111()ln22ln(1)1ln2ln(1)211212(1)(1)21()021(1)(1)(1)(),xxxxxxxxxxxxxxxxF xxxxxxxxxxx xxxFxxxxx xx
15、 xF xF (1)0,()(1)0,(),()(1)0,.F xFF xF xF 不合题2022-12-1000()ln,(3),()(1)(1)0,()()(),2.f xxkx kxRfffxx 已知若正数满足若使得试比较与的大小00()()ln(ln)(lnln):1,1(),2()1,()1,2(lnln)22()()()ln22(1)ln,(1)1ffkkkfxkkfxfxkkkfxfkt t 解 不妨设令Z20022(1),()ln,()0,1(1)()(1,),()()0()1(1,)22tth tth ttttkh tfxffxxx 令在在ZZ2022-12-1谢谢再见2022-12-1
