1、把握三角函数与解三角形中的最值问题把握三角函数与解三角形中的最值问题 微点聚焦突破 类型一三角函数的最值 角度 1可化为“yAsin(x)B”型的最值问题 【例 11】 如图所示， 在平面直角坐标系 xOy 中， 扇形 AOB 的半径为 2，圆心角为2 3 ，点 M 是弧 AB 上异于 A，B 的点. (1)若点 C(1，0)，且 CM 2，求点 M 的横坐标； (2)求MAB 面积的最大值. 解(1)连接 OM，依题意可得，在OCM 中，OC1，CM 2，OM2， 所以 cos COM2 212（ 2）2 221 3 4， 所以点 M 的横坐标为 23 4 3 2. (2)设AOM， 0，2
2、 3 ，则BOM2 3 ， SMABSOAMSOBMSOAB 1 222 sin sin 2 3 1 222 3 2 2 3sin 6 3， 因为 0，2 3 ，所以 6 6， 5 6 ， 所以当 3时，MAB 的面积取得最大值，最大值为 3. 思维升华化为 yAsin(x)B 的形式求最值时，特别注意自变量的取值范 围对最大值、最小值的影响，可通过比较区间端点的取值与最高点、最低点的取 值来确定函数的最值. 角度 2可化为 yf(sin x)(或 yf(cos x)型的最值问题 【例 12】 函数 ycos 2x2sin x 的最大值为_. 解析ycos 2x2sin x2sin2x2sin
3、 x1.设 tsin x，则1t1，所以原 函数可以化为 y2t22t12 t1 2 2 3 2， 所以当 t 1 2时， 函数 y 取得最大 值为3 2. 答案 3 2 思维升华可化为yf(sin x)(或yf(cos x)型三角函数的最值或值域可通过换元 法转化为其他函数的最值或值域. 【训练 1】 (1)(角度 1)函数 f(x)3sin x4cos x，x0，的值域为_. (2)(角度 2)若函数 f(x)cos 2xasin x 在区间 6， 2 上的最小值大于零， 则 a 的取 值范围是_. 解析(1)f(x)3sin x4cos x5 3 5sin x 4 5cos x5sin(
4、x)，其中 cos 3 5， sin 4 5， 4 2.因为 0 x，所以 4x0， 1 2（a1）0 a1. 答案(1)4，5(2)(1，) 类型二三角形中的最值 角度 1转化为三角函数利用三角函数的有界性求解 【例 21】 (2020湖北七市联考)在锐角三角形 ABC 中，内角 A，B，C 的对边 分别为 a，b，c，且cos A a cos B b 2 3sin C 3a . (1)求角 B 的大小； (2)若 b2 3，求 ac 的取值范围. 解(1)由已知条件，得 bcos Aacos B2 3 3 bsin C. 由正弦定理，得 sin Bcos Acos Bsin A2 3 3
5、sin Bsin C， 即 sin(AB)2 3 3 sin Bsin C. 又在ABC 中，sin(AB)sin C0， 所以 sin B 3 2 .因为 B 是锐角，所以 B 3. (2)由正弦定理，得 a sin A c sin C b sin B 2 3 3 2 4， 则 a4sin A，c4sin C. 所以 ac4sin A4sin C4sin A4sin 2 3 A 6sin A2 3cos A4 3sin A 6 . 由 0A 2，0 2 3 A 2，得 6A 2， 所以 3A 6 2 3 ，所以 3 2 sin A 6 1， 所以 6ac4 3.故 ac 的取值范围为(6，4
6、 3. 思维升华本题涉及求边的取值范围，一般思路是利用正弦定理把边转化为角， 利用三角函数的性质求出范围或最值. 角度 2利用基本不等式求解 【例 22】 (2019淄博二模)已知点 O 是ABC 的内心，BAC60，BC1， 则BOC 面积的最大值为_. 解析点 O 是ABC 的内心，BAC60， BOC18018060 2 120，在BOC 中，由余弦定理得 BC2OC2 OB22OCOBcos 120， OC2OB21OCOB. 又OC2OB22OCOB，OCOB1 3， 当且仅当 OBOC 时“”成立， SOBC1 2OCOBsin 120 3 12. 答案 3 12 思维升华解答本题
7、的关键是注意到三角形面积公式 SABC1 2absin C 中的 ab， 与余弦定理中的 a2b2存在不等关系 a2b22ab，利用余弦定理沟通二者，求 出 ab 的最值即可. 【训练 2】 (1)(角度 1)如图，在ABC 中，已知 B 3，AC 4 3，D 为 BC 边上一点. 若 AD2，SDAC2 3，求 DC 的长； 若 ABAD，试求ADC 的周长的最大值. 解SDAC2 3，AC4 3，AD2， 1 2ADACsin DAC2 3，sin DAC 1 2， B 3，DACBAC 3 2 3 ， DAC 6， 在ADC 中，由余弦定理得： DC2AD2AC22ADACcos 6，
8、DC2448224 3 3 2 28，DC2 7. ABAD，B 3，ABD 为正三角形， DAC 3C，ADC 2 3 ， 在ADC 中，根据正弦定理，可得 AD sin C 4 3 sin 2 3 DC sin 3C ， AD8sin C，DC8sin 3C， ADC 的周长为 ADDCAC8sin C8sin 3C4 3 8 sin C 3 2 cos C1 2sin C4 3 8 1 2sin C 3 2 cos C 4 3 8sin C 3 4 3， ADC2 3 ，0C 3， 3C 30，b0，ab4，ab2 ab， 所以 ab4(当且仅当 ab 时取等号)， 由(ab)216，得
9、 a2b2162ab， 所以 162abc2ab，所以 16c23ab， 故 16c212，c24，c2，故 2c4，故选 B. 答案B 分层限时训练 A 级基础巩固 一、选择题 1.函数 ycos x 6 ，x 0， 2 的值域是() A. 3 2 ，1 2B. 1 2， 3 2 C. 1 2， 3 2D. 3 2 ，1 2 解析x 0， 2 ，x 6 6， 2 3 ，所以 y 1 2， 3 2 . 答案B 2.如果|x| 4，那么函数 f(x)cos 2xsin x 的最小值是( ) A. 21 2 B. 21 2 C.1D.1 2 2 解析f(x)sin2xsin x1 sin x1 2
10、 2 5 4， 当 sin x 2 2 时， ymin1 2 2 . 答案D 3.若函数 f(x) 3sin(2x)cos(2x)(0)的图象关于点 2，0对称，则函 数 f(x)在 4， 6 上的最小值是() A.1B. 3C.1 2 D. 3 2 解析因为 f(x) 3sin(2x)cos(2x)2sin 2x 6 ， 则由题意， 知 f 2 2sin 6 0.又 0，所以5 6 ，所以 f(x)2sin 2x，则 f(x)在 4， 6 上是减函数，所以函数 f(x)在 4， 6 上的最小值为 f 6 2sin 3 3.故选 B. 答案B 4.(2020广州一模)ABC 的内角 A，B，C
11、 所对的边分别是 a，b，c，已知 b ccos C b acos A1，则 cos B 的取值范围为( ) A. 1 2，B. 1 2， C. 1 2，1D. 1 2，1 解析b ccos C b acos A1， 由余弦定理可得b c a2b2c2 2ab b a b2c2a2 2bc 1，化简可得 b2ac， 则 cos Ba 2c2b2 2ac a 2c2ac 2ac 2acac 2ac 1 2， 当且仅当 ac 时，取“”. 1 2cos B1，即 cos B 1 2，1.故选 D. 答案D 5.(2020河南六市联考)在ABC 中， 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b，
12、c， 若2ac b cos C cos B，b4，则ABC 的面积的最大值为( ) A.4 3B.2 3C.3 3D. 3 解析由2ac b cos C cos B得 2acos Bccos Bbcos C， 由正弦定理得，2sin Acos Bsin Bcos Csin Ccos B， 又知 sin(BC)sin Asin Bcos Ccos Bsin C， 2sin Acos Bsin A，A(0，)，sin A0， cos B1 2，又知 B(0，)，B 3， 又知 cos B1 2 a2c2b2 2ac 1 b2 2ac1 16 2ac， ac16，当且仅当 ac 时等号成立， SAB
13、C1 2acsin B 1 216sin 3 1 216 3 2 4 3， 故ABC 的面积的最大值为 4 3，故选 A. 答案A 二、填空题 6.若函数 ysin2x2cos x 在区间 2 3，上最小值为1 4，则的取值范围是 _. 解析y2(cos x1)2，当 x 2 3 时，y 1 4 ，根据函数的对称性 2 3 ，2 3 . 答案 2 3 ，2 3 7.(2019济宁调研)当函数 f(x)3sin x6cos x 取得最大值时，sin x 的值为 _. 解析f(x)3sin x6cos x3 5sin(x)，其中 sin 2 5 5 ，cos 5 5 ，当 x 2k 2，kZ，即
14、x2k 2，kZ 时，f(x)取得最大值 3 5，此时 sin x sin 2k 2sin 2cos 5 5 . 答案 5 5 8.(多填题)已知函数 f(x)sin 2x 6 ，其中 x 6，.当 3时，f(x)的值域是 _；若 f(x)的值域是 1 2，1，则的取值范围是_. 解析若 6x 3，则 62x 6 5 6 ，此时1 2sin 2x 6 1，即 f(x)的值 域是 1 2，1.若 6x， 则 62x 62 6.因为当 2x 6 6或 2x 6 7 6 时，sin 2x 6 1 2，所以要使 f(x)的值域是 1 2，1，则有 22 6 7 6 ， 即 6 2，即的取值范围是 6，
15、 2 . 答案 1 2，1 6， 2 三、解答题 9.(2020烟台模拟)设函数 f(x) 3sin xcos xcos2xa. (1)写出函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间； (2)当 x 6， 3 时，函数 f(x)的最大值与最小值的和为3 2，求实数 a 的值. 解(1)f(x) 3 2 sin 2x1cos 2x 2 a sin 2x 6 a1 2，所以 T. 由 22k2x 6 3 2 2k(kZ)， 得 6kx 2 3 k(kZ)， 故函数 f(x)的单调递减区间是 6k， 2 3 k (kZ). (2)因为 6x 3，所以 62x 6 5 6 ， 所以1 2sin 2x 6
16、 1. 当 x 6， 3 时，函数 f(x)的最大值与最小值的和为 1a1 2 1 2a 1 2 3 2，解得 a0. 10.(2019广东省际名校联考)已知ABC 的内角 A，B，C 满足sin Asin Bsin C sin C sin B sin Asin Bsin C. (1)求角 A； (2)若ABC 的外接圆半径为 1，求ABC 的面积 S 的最大值. 解(1)设内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. 根据题意及正弦定理，可得abc c b abca 2b2c2bc， 所以 cos Ab 2c2a2 2bc bc 2bc 1 2. 又因为 0A，所以 A 3. (2)设AB
17、C 的外接圆半径为 R，则 R1， 由 a sin A2Ra2Rsin A2sin 3 3， 所以 3b2c2bc2bcbcbc，即 bc3， 所以 S1 2bcsin A 1 23 3 2 3 3 4 (当且仅当 bc 时，取等号). 所以ABC 的面积 S 的最大值为3 3 4 . B 级能力提升 11.(2019成都七中月考)设锐角ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，且 c1，A2C，则ABC 周长的取值范围为() A.(0，2 2)B.(0，3 3) C.(2 2，3 3)D.(2 2，3 3 解析因为ABC 为锐角三角形，所以 0A 2，0B 2，0C 2，又
18、 A2C，所 以 02C 2，0C2C 2，所以 6 C 4，所以 2 2 cos C0，sin A 3cos A， 即 tan A 3.0A，A 3. 由余弦定理得 a216b2c22bccos A (bc)23bc(bc)23 bc 2 2 ， 则(bc)264，即 bc8(当且仅当 bc4 时等号成立)， ABC 的周长abc4bc12，即最大值为 12. 答案12 14.如图，在平面四边形 ABCD 中，A 3，E 在边 AB 上，BE 3，AECE，DECE，BEC 的面积为3 3 2 ，记BEC 0 2 . (1)若 3，求线段 BC 的长度； (2)当为何值时，线段 DE 的长度
19、最小？求出该最小值. 解(1)当 3时， SBEC1 2BECEsin 1 23CE 3 2 3 3 2 ，解得 CE2. 在BEC 中，由余弦定理，得 BC2BE2CE22BECEcos 942321 27， BC 7. (2)在AED 中，A 3，AED 2， ADE 6. 由正弦定理可知 DE sin A AE sin ADE，故 DE 3AE 2sin 6 . SBEC1 2BECEsin 3 3 2 ，CE 3 sin . 又 AECE，DE 3AE 2sin 6 3CE 2sin 6 3 2sin sin 6 3 3sin2sin cos 3 1 2sin 2 3 2 cos 2
20、3 2 3 sin 2 3 3 2 . 0 2， 32 3 2 3 ， 3 2 sin 2 3 1. 故当 2 3 2，即 5 12时，线段 DE 的长度最小，最小值为 6(2 3). C 级创新猜想 15.(多选题) (2020山东新高考模拟)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a， b，c，则下列命题正确的是() A.若 a3b3c3，则 Cc2，则 C 3 C.若 2ab(ab)c，则 C 2 D.若(a2b2)c22a2b2，则 Ca3b3，所以 A 正确； 对于 B，由 abc2得 cos Ca 2b2c2 2ab 2abab 2ab 1 2，所以 C(ab)c，利用余弦定
21、理得 C 3 2，故 C 不正确；对于 D，因为 2abc2(a2b2)c22a2b2，所以有 c22abab 2ab 1 2，所以 C 3，故 D 正确. 答案AD 16.(多填题)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 A，B，C 成等 差数列，且 b2，设 A，ABC 的周长为 l，则当_时，lf() 的最大值为_. 解析由角A， B， C成等差数列， 得B 3.又b2， 由正弦定理 a sin A b sin B c sin C， 及 A，C(AB)2 3 ，得 a sin 2 sin 3 c sin 2 3 ，a 4 3sin ，c 4 3sin 2 3 ，ABC 周长 lf()abc 4 3sin 2 4 3sin 2 3 4 3 sin 3 2 cos 1 2sin 2 4 3 3 2sin 3 2 cos 24 3 2 sin 1 2cos 2 4sin 6 2.02 3 ，当 6 2，即 3时，l maxf 3 426， ABC 的周长 lf()的最大值为 6. 答案 3 6
