1、第第 1 节节平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 考试要求1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等 的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何 意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解 向量线性运算的性质及其几何意义. 知 识 梳 理 1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模). (2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的. (3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量. (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.
2、规定：0 与任 一向量平行. (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法 求两个向量和的 运算 (1)交换律： abba. (2)结合律： (ab)ca(bc) 减法 减去一个向量相 当于加上这个向 量的相反向量 aba(b) 数乘 求实数与向量 a 的积的运算 (1)|a|a|； (2)当0 时， a 的方向 与 a 的方向相同；当 0 时，a 的方向与 a 的 方向相反；当0 时， a0 (a)a； ()aaa； (ab)ab 3.共线向量定理 向量 a(a0)与 b 共线的充要条件
3、是存在唯一一个实数，使得 ba. 常用结论与微点提醒 1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向 量终点的向量，即A1A2 A2A3 A3A4 An-1An A1An ，特别地， 一个封闭图 形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.中点公式的向量形式： 若 P 为线段 AB 的中点， O 为平面内任一点， 则OP 1 2(OA OB ). 3.OA OB OC (，为实数)，若点 A，B，C 共线，则1. 4.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考 虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件. 诊 断 自 测
4、 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)|a|与|b|是否相等与 a，b 的方向无关.() (2)若 ab，bc，则 ac.() (3)向量AB 与向量CD 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上.() (4)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 ba，反之成立.() 解析(2)若 b0，则 a 与 c 不一定平行. (3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则 A，B，C，D 四点不一定在 一条直线上. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(老教材必修 4P78T6 改编)给出下列命题： 零向量的长度为零， 方向是任意的； 若 a，b 都是单位向量，则 ab；向量
5、AB 与BA相等.则所有正确命题的序号 是() A.B.C.D. 解析根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模 相等， 但方向不一定相同， 故两个单位向量不一定相等， 故错误；向量AB 与BA 互为相反向量，故错误. 答案A 3.(老教材必修 4P92T5 改编)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行 四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD 等于() A.OM B.2OM C.3OM D.4OM 解析OA OB OC OD (OA OC )(OB OD )2OM 2OM 4OM . 答案D 4.(2020长沙检测)若四边形 ABC
6、D 满足AD 1 2BC 且|AB|DC |，则四边形 ABCD 的形状是() A.等腰梯形B.矩形 C.正方形D.菱形 解析因为AD 1 2BC ， 所以AD BC ， 且|AD |1 2|BC |， 所以四边形 ABCD 为以 AD 为上底，BC 为下底的梯形.又|AB |DC |，所以梯形 ABCD 的两腰相等.因此四边 形 ABCD 是等腰梯形. 答案A 5.(2020济南调研)设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 ab 与(b2a)共线， 则_. 解析由已知 2ab0，依题意知向量 ab 与 2ab 共线，设 abk(2a b)，则有(12k)a(k)b0，因为 a，b 是两个不
7、共线向量，故 a 与 b 均不为 零向量，所以 12k0， k0， 解得 k1 2， 1 2. 答案1 2 6.(2019昆明诊断)设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD1 2AB，BE 2 3BC.若DE 1AB 2AC(1，2 为实数)，则12的值为_. 解析DE DB BE 1 2AB 2 3BC 1 2AB 2 3(BA AC)1 6AB 2 3AC ， 11 6， 22 3，即 121 2. 答案 1 2 考点一平面向量的概念 【例 1】 (1)设 a，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使 a |a| b |b|0 成立 的是() A.a2bB.ab C.a1
8、 3b D.ab (2)给出下列命题： 若 ab，bc，则 ac； 若 A，B，C，D 是不共线的四点，则AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的 充要条件； ab 的充要条件是|a|b|且 ab. 其中正确命题的序号是_. 解析(1)由 a |a| b |b|0 得 a |a| b |b|0，即 a b |b|a|0，则 a 与 b 共线且方向 相反，因此当向量 a 与向量 b 共线且方向相反时，能使 a |a| b |b|0 成立.对照各个 选项可知，选项 A 中 a 与 b 的方向相同；选项 B 中 a 与 b 共线，方向相同或相 反；选项 C 中 a 与 b 的方向相反；选项 D
9、 中 a 与 b 互相垂直，因此选 C. (2)正确.ab，a，b 的长度相等且方向相同， 又 bc，b，c 的长度相等且方向相同， a，c 的长度相等且方向相同，故 ac. 正确.AB DC ，|AB |DC |且AB DC ， 又 A，B，C，D 是不共线的四点， 四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， 则AB DC 且|AB |DC |，因此，AB DC . 不正确.当 ab 且方向相反时， 即使|a|b|， 也不能得到 ab， 故|a|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件. 答案(1)C(2) 规律方法向量有关概念的四个关注点：
10、(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的； 非零向量的平行具有传递性； 相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量； 相等向量具有传递性. (2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数， 可以比较大小. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函 数图象的平移混为一谈. (4)非零向量 a 与 a |a|的关系： a |a|是与 a 同方向的单位向量. 【训练 1】 (1)如图，等腰梯形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交 于点 P， 点 E， F 分别在两腰 AD， BC 上， EF 过点 P， 且 EFAB， 则下列等式
11、中成立的是() A.AD BC B.AC BD C.PE PF D.EP PF (2)(多选题)下列说法正确的是() A.非零向量 a 与 b 同向是 ab 的必要不充分条件 B.若AB 与BC共线，则 A，B，C 三点在同一条直线上 C.a 与 b 是非零向量，若 a 与 b 同向，则 a 与b 反向 D.设，为实数，若ab，则 a 与 b 共线 解析(1)根据相等向量的定义，分析可得AD 与BC 不平行，AC与BD 不平行，所 以AD BC ，ACBD 均错误，PE 与PF平行，但方向相反也不相等，只有EP与PF 方向相同，且大小都等于线段 EF 长度的一半，所以EP PF. (2)根据向
12、量的有关概念可知 ABC 正确，对于 D，当0 时，a 与 b 不一定 共线，故 D 错误. 答案(1)D(2)ABC 考点二向量的线性运算多维探究 角度 1平面向量的加、减运算的几何意义 【例 21】 已知两个非零向量 a，b 满足|ab|ab|，则下列结论正确的是 () A.abB.ab C.|a|b|D.abab 解析由已知 a，b 不共线，在ABCD 中，设AB a，AD b，由|ab|ab|， 知|AC |DB |，从而四边形 ABCD 为矩形，即 ABAD，故 ab. 答案B 规律方法解题的关键：一是搞清各向量间的关系，找出问题对应的几何图形， 二是熟练运用向量的加、减法法则和运算
13、律以及几何意义求解. 角度 2向量的线性运算 【例 22】(2019衡水中学五调)如图所示， 在正方形 ABCD 中， E 为 BC 的中点，F 为 AE 的中点，则DF () A.1 2AB 3 4AD B.1 2AB 2 3AD C.1 3AB 1 2AD D.1 2AB 3 4AD 解析DF AF AD ，AE ABBE. E 为 BC 的中点，F 为 AE 的中点， AF 1 2AE ，BE1 2BC ， DF AF AD 1 2AE AD 1 2(AB BE)AD 1 2AB 1 4BC AD ， 又BC AD ，DF 1 2AB 3 4AD .故选 D. 答案D 规律方法1.解决平
14、面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等 向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化. 2.在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三 角形法则及三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知 向量转化为用已知向量线性表示. 角度 3利用向量的线性运算求参数 【例 23】 (2019荆门阶段检测)在AOB 中，AC 1 5AB ，D 为 OB 的中点，若 DC OA OB ，则的值为_. 解析因为AC 1 5AB ，所以AC1 5(OB OA )， 因为 D 为 OB 的中点，所以OD 1 2OB ， 所以DC DO OC 1 2OB (OA
15、AC ) 1 2OB OA 1 5(OB OA )4 5OA 3 10OB ， 所以4 5， 3 10，则的值为 6 25. 答案 6 25 规律方法利用向量线性运算求解参数的思路：(1)先利用向量的线性运算得到 相关的线性表示，(2)对比向量等式求出参数或建立方程(组)求解. 【训练 2】 (1)(多选题)(角度 2)已知等边三角形 ABC 内接于O，D 为线段 OA 的中点，则BD () A.2 3BA 1 6BC B.4 3BA 1 6BC C.BA 1 3AE D.2 3BA 1 3AE (2)(角度3)(2020石家庄质检)在ABC中， O为ABC的重心， 若BO AB AC， 则2
16、() A.1 2 B.1C.4 3 D.4 3 解析(1)如图所示，设 BC 中点为 E，则BD BA AD BA 1 3AE BA 1 3(AB BE )BA 1 3BA 1 3 1 2BC 2 3BA 1 6BC .故选 AC. (2)如图，连 BO 并延长交 AC 于点 M， 点 O 为ABC 的重心， M 为 AC 的中点， BO 2 3BM 2 3 1 2BA 1 2BC 1 3AB 1 3BC 1 3AB 1 3(AC AB) 2 3AB 1 3AC ， 又知BO AB AC，2 3， 1 3， 22 32 1 3 4 3，故选 D. 答案(1)AC(2)D 考点三共线向量定理及其
17、应用 【例 3】 设两向量 a 与 b 不共线. (1)若AB ab，BC2a8b，CD 3(ab).求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线. (1)证明AB ab，BC2a8b，CD 3(ab). BD BC CD 2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5AB .AB， BD 共线，又它们有公共点 B， A，B，D 三点共线. (2)解kab 与 akb 共线，存在实数， 使 kab(akb)，即 kabakb， (k)a(k1)b. a，b 是不共线的两个向量， kk10，k210，k1. 规律方法1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应
18、注意向量共线与三点 共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线. 2.向量 a，b 共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0 成立. 【训练 3】 (1)已知 a，b 是不共线的向量，AB ab，ACab，R， 则 A，B，C 三点共线的充要条件为() A.2B.1 C.1D.1 (2)已知AB a2b，BC 5a6b，CD 7a2b，则下列一定共线的三点是 () A.A，B，CB.A，B，D C.B，C，DD.A，C，D 解析(1)因为 A，B，C 三点共线，所以AB AC，设ABmAC(m0)，则ab m(ab)，由于 a 与 b 不共线，所以 m， 1m，所以1.
19、 (2)因为AD AB BC CD 3a6b3(a2b)3AB ， 所以AB与AD 共线， 又AB ， AD 有公共点 A，所以 A，B，D 三点共线. 答案(1)D(2)B A 级基础巩固 一、选择题 1.已知 O， A， B 是同一平面内的三个点， 直线 AB 上有一点 C 满足 2AC CB0， 则OC () A.2OA OB B.OA 2OB C.2 3OA 1 3OB D.1 3OA 2 3OB 解析依题意， 得OC OB BC OB 2AC OB 2(OC OA )， 所以OC 2OA OB ，故选 A. 答案A 2.如图，在正六边形 ABCDEF 中，BA CD EF ( ) A
20、.0B.BE C.AD D.CF 解析由题图知BA CD EF BAAFCBCBBFCF. 答案D 3.在ABC 中，点 D 在边 AB 上，且BD 1 2DA ， 设CB a，CAb，则CD () A.1 3a 2 3b B.2 3a 1 3b C.3 5a 4 5b D.4 5a 3 5b 解析BD 1 2DA ，BD 1 3BA ， CD CB BD CB 1 3BA CB1 3(CA CB) 2 3CB 1 3CA 2 3a 1 3b，故选 B. 答案B 4.(多选题)设 a 是非零向量，是非零实数，下列结论中错误的是() A.a 与a 的方向相反B.a 与2a 的方向相同 C.|a|
21、a|D.|a|a 解析对于 A，当0 时，a 与a 的方向相同，当0 时，a 与a 的方向相反， B 正确；对于 C，|a|a|，由于|的大小不确定，故|a|与|a|的大小关 系不确定；对于 D，|a 是向量，而|a|表示长度，两者不能比较大小. 答案ACD 5.(2020东营调研)在平行四边形 ABCD 中，F 是 BC 的中点，CE 2DE ，若EF xAB yAD ，则 xy() A.1B.6C.1 6 D.1 3 解析因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以AB DC ，AD BC ， 因为CE 2DE ，所以ED 1 3DC 1 3AB ， 连接 AF，在AEF 中， 所以EF E
22、AAFED AD AB BF 1 3AB AD AB 1 2BC 2 3AB 1 2AD ， 又因为EF xAByAD ， 所以 x2 3，y 1 2，所以 xy 1 6. 答案C 6.(2019长沙月考)已知 M 为ABC 内一点， AM 1 3AB 1 4AC ， 则ABM 和ABC 的面积之比为() A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.2 3 解析设AD 1 3AB ，AE1 4AC ，以 AD，AE 为邻边作平行四 边形 ADME， 延长 EM 交 BC 于 F， 则 EFAB， 且 AE1 4AC， S ABM SABC AE AC 1 4.故选 A. 答案A 7.(一题多解)(
23、2020郑州质检)若 O 为ABC 所在平面内一点，且满足(OA OB )(OA OB 2OC )0，则ABC 的形状为() A.等腰三角形B.直角三角形 C.正三角形D.等腰直角三角形 解析法一(特殊点法) 取点O在点C处， 则OC 0， (OA OB )(OA OB 2OC )0可化为(CA CB)(CA CB )CA2CB20，即 CA2CB2，所以|CA|CB|，又三角形中是否有直角不 确定，所以ABC 为等腰三角形，故选 A. 法二(向量的加减法运算) 因为(OA OB )(OA OB 2OC )0，所以BA (CACB)0，所以边 AB 的中线 垂直于 AB，即ABC 为等腰三角形
24、，又三角形中是否有直角不确定，故选 A. 答案A 8.在ABC 中， 点 D 在线段 BC 的延长线上， 且BC 3CD ， 点 O 在线段 CD 上(与 点 C，D 不重合)，若AO xAB (1x)AC，则 x 的取值范围是( ) A. 0，1 2B. 0，1 3 C. 1 2，0D. 1 3，0 解析设CO yBC ，因为AO AC CO AC yBCACy(ACAB)yAB (1y)AC . 因为BC 3CD ，CO 3yCD ，03y0，故 q/ p. 所以 p 是 q 的充分不必要条件. 答案充分不必要 11.设向量 a，b 不平行，向量ab 与 a2b 平行，则实数_. 解析向量
25、 a，b 不平行，a2b0，又向量ab 与 a2b 平行，则存在 唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，则得 ， 12，解 得1 2. 答案 1 2 12.已知 S 是ABC 所在平面外一点，D 是 SC 的中点，若BD xAB yACzAS， 则 xyz_. 解析依题意得BD AD AB 1 2(AS AC)ABAB1 2AC 1 2AS ，因此 xy z11 2 1 20. 答案0 B 级能力提升 13.(2019孝感二模)设 D，E，F 分别为ABC 三边 BC，CA，AB 的中点，则DA 2EB 3FC( ) A.1 2AD B.3 2AD C.1 2AC D.3 2AC 解
26、析因为 D，E，F 分别为ABC 三边 BC，CA，AB 的中点，所以DA 2EB 3FC 1 2(BA CA)21 2(AB CB)31 2(AC BC)1 2BA ABCB3 2BC 3 2AC 1 2CA 1 2AB 1 2BC AC1 2AC AC3 2AC . 答案D 14.(一题多解)(2020潍坊模拟)已知 A1，A2，A3为平面上三个不共线的定点，平 面上点 M 满足A1M (A1A2 A1A3 )(是实数)，且MA1 MA2 MA3 是单位向量， 则这样的点 M 有() A.0 个B.1 个C.2 个D.无数个 解析法一由题意得，MA1 (A1A2 A1A3 )，MA2 MA
27、1 A1A2 ，MA3 MA1 A1A3 ，MA1 MA2 MA3 (13)(A1A2 A1A3 )，如图所示，设 D 为 A2A3的 中点，(13)(A1A2 A1A3 )是与A1D 共起点且共线的一个向量，显然直线 A1D 与以 A1为圆心的单位圆有两个交点，故有两个值，即符合题意的点 M 有两个， 故选 C. 法二以 A1为原点建立平面直角坐标系， 设 A2(a，b)，A3(m，n)，则A1A2 A1A3 (am，bn)， M(am)，(bn)， MA1 (am)，(bn)， MA2 (a(am)，b(bn)， MA3 (m(am)，n(bn)， MA1 MA2 MA3 (13)(am)
28、，(13)(bn). MA1 MA2 MA3 是单位向量， (13)2(am)2(bn)21， A1，A2，A3是平面上三个不共线的定点， (am)2(bn)20，所以关于的方程有两解， 故满足条件的 M 有两个，故选 C. 答案C 15.(2020临沂模拟)设 e1与 e2是两个不共线向量，AB 3e12e2，CB ke1e2， CD 3e12ke2，若 A，B，D 三点共线，则 k 的值为_. 解析由题意，A，B，D 三点共线，故必存在一个实数，使得AB BD . 又AB 3e12e2，CBke1e2，CD 3e12ke2， 所以BD CD CB 3e12ke2(ke1e2) (3k)e1
29、(2k1)e2， 所以 3e12e2(3k)e1(2k1)e2， 又 e1与 e2不共线， 所以 3（3k）， 2（2k1），解得 k 9 4. 答案9 4 16.(一题多解)在梯形 ABCD 中，已知 ABCD，AB2CD，M，N 分别为 CD， BC 的中点，若AB AM AN ，则_. 解析法一由AB AM AN ， 得AB 1 2(AD AC )1 2(AC AB)， 则 21AB 2AD 2 2 AC 0， 得 21AB 2AD 2 2 AD 1 2AB 0， 得 1 4 3 41AB 2 AD 0. 又因为AB ，AD 不共线， 所以由平面向量基本定理得 1 4 3 410， 20
30、， 解得 4 5， 8 5. 所以4 5. 法二连接 MN 并延长交 AB 的延长线于 T， 由已知易得 AB4 5AT， 4 5AT ABAM AN ， 即AT 5 4AM 5 4AN ， T，M，N 三点共线，5 4 5 41. 4 5. 答案 4 5 C 级创新猜想 17.(开放题)如图，在ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且满足 BD 1 3BC，过点 D 的直线分别交直线 AB，AC 于不同两点 M，N， 若AM mAB ，ANnAC，则2 m 1 n_，若 BDkBC，写出类似的结论为 _(答案不唯一). 解析因为 M，N，D 三点共线， 所以AD AM (1)AN ， 又AM
31、 mAB ，ANnAC， 所以AD mAB (1)nAC， 又BD 1 3BC ， 所以AD AB BD AB 1 3BC 2 3AB 1 3AC ， 所以m2 3，(1)n 1 3，故 2 m 1 n3. 若 BDkBC， 则AD AB BD AB kBC(1k)ABkAC， 故m1k，(1)nk，所以1k m ，1k n， 故1k m k n1. 答案3 1k m k n1(答案不唯一) 18.(多填题)在ABC中有如下结论： “若点M为ABC的重心， 则MA MB MC 0.”设 a，b，c 分别为ABC 的内角 A，B，C 的对边，点 M 为ABC 的重心. 若 aMA bMB 3 3 cMC 0，则内角 A 的大小为_，当 a3 时，ABC 的面积为_. 解析由 aMA bMB 3 3 cMC aMA bMB 3 3 c(MA MB ) a 3 3 c MA b 3 3 c MB 0，且MA 与MB 不共线，a 3 3 cb 3 3 c0，ab 3 3 c.ABC 中， 由余弦定理可求得 cos A 3 2 ， A 6.若 a3， 则 b3， c3 3， SABC1 2bcsin A 1 233 3 1 2 9 3 4 . 答案 6 9 3 4
