1、第第 1 节节函数的概念函数的概念 考试要求1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域，了解映射的概念； 2.在实际情境中， 会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、 列表法、 解析法) 表示函数，理解函数图象的作用；3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能 简单应用. 知 识 梳 理 1.函数与映射的概念 函数映射 两个集合 A，B 设 A，B 是两个非空数集设 A，B 是两个非空集合 对应关系 f：AB 如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个 数 x，在集合 B 中都有唯一确定 的数 f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系 f， 使对于集合 A 中的任意一
2、个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元 素 y 与之对应 名称 称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 记法函数 yf(x)，xA映射：f：AB 2.函数的定义域、值域 (1)在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域； 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等 函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不
3、同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子 来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值 域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 常用结论与微点提醒 1.直线 xa(a 是常数)与函数 yf(x)的图象有 0 个或 1 个交点. 2.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致. 3.注意以下几个特殊函数的定义域 (1)分式型函数，分母不为零的实数集合. (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合. (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为 1 的实数集合. (4)若
4、f(x)x0，则定义域为x|x0. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)函数 y1 与 yx0是同一个函数.() (2)对于函数 f：AB，其值域是集合 B.() (3)f(x) x3 2x是一个函数.() (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.() 解析(1)错误.函数 y1 的定义域为 R， 而 yx0的定义域为x|x0， 其定义域 不同，故不是同一函数. (2)错误.值域 CB，不一定有 CB. (3)错误.f(x) x3 2x中 x 不存在. (4)错误.若两个函数的定义域、对应关系均相同时，才是相等函数. 答案(1)(2)(3)(4)
5、2.(老教材必修 1P25B2 改编)若函数 yf(x)的定义域为 Mx|2x2，值域 为 Ny|0y2，则函数 yf(x)的图象可能是() 解析A 中函数定义域不是2， 2； C 中图象不表示函数； D 中函数值域不是0， 2. 答案B 3.(新教材必修第一册 P66 例 3 改编)下列函数中，与函数 yx1 是相等函数的 是() A.y( x1)2B.y 3 x31 C.yx 2 x 1D.y x21 解析对于 A，函数 y( x1)2的定义域为x|x1，与函数 yx1 的定义 域不同，不是相等函数；对于 B，定义域和对应关系分别相同，是相等函数；对 于 C，函数 yx 2 x 1 的定义
6、域为x|x0，与函数 yx1 的定义域 xR 不同， 不是相等函数；对于 D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数. 答案B 4.(2020厦门质检)已知函数 f(x) x22x，x0， 2x，x0， 则 f(f(1)() A.0B.1 2 C.1D.2 解析由题意，知 f(1)12211，所以 f(f(1)f(1)2 11 2. 答案B 5.(2020九江联考)函数 f(x) 1ln x 2x2 的定义域是_. 解析依题意，得 1ln x0， 2x20， 解得 00， x11， 解得1x0 或 00 且 1x1，解得 x0， 且 xk 2(kZ). 1x1 且 4kxk 2，kZ， 可得
7、 41)，则 x 2 t1， f(t)lg 2 t1，即 f(x)lg 2 x1(x1). (2)设 f(x)ax2bxc(a0)， 由 f(0)2，得 c2， f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)2ax2bx22axabx1， 所以 2a1， ab1，即 a1 2， b3 2. f(x)1 2x 23 2x2. (3)在 f(x)2f 1 x x1 中， 将 x 换成1 x，则 1 x换成 x， 得 f 1 x 2f(x) 1 x1， 由 f（x）2f 1 x x1， f 1 x 2f（x） 1 x1， 解得 f(x)2 3 x1 3. 答案(1)lg 2 x1(x1) (2)1 2x
8、23 2x2 (3)2 3 x1 3 规律方法求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法. (2)换元法：已知复合函数 fg(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值 范围. (3)构造法：已知关于 f(x)与 f 1 x 或 f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另 外一个等式，通过解方程组求出 f(x). 【训练 2】 (1)已知 yf(x)是二次函数，若方程 f(x)0 有两个相等实根，且 f(x) 2x2，则 f(x)_. (2)若 f(x)满足 2f(x)f(x)3x，则 f(x)_. 解析(1)设 f(x)ax2bxc(a0)，则 f(x)2
9、axb， 2axb2x2，则 a1，b2. 所以 f(x)x22xc0，且有两个相等实根. 44c0，则 c1.故 f(x)x22x1. (2)因为 2f(x)f(x)3x， 所以将 x 用x 替换，得 2f(x)f(x)3x， 由解得 f(x)3x. 答案(1)x22x1(2)3x 考点三分段函数多维探究 角度 1分段函数求值 【例 31】 (2018江苏卷)函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2，2 上，f(x) cos x 2 ，0 x2， |x 1 2|，2x0， 则 ff(15)的值为_. 解析因为函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)，所以函数 f(x
10、)的最小正周期是 4.因 为在区间(2，2上，f(x) cos x 2 ，0 x2， |x 1 2|，2x0， 所以 f(15)f(1)1 2， 因此 ff(15)f 1 2 cos 4 2 2 . 答案 2 2 角度 2分段函数与方程、不等式问题 【例 32】 (1)(2020郑州联考)已知函数 f(x) log2x，x1， 1 1x，x0， x1，x0.若 f(a)f(1)0，则实数 a 的值为_. 解析(1)当 x1 时，不等式 f(x)1 为 log2x1，1x2； 当 x0 时，f(a)2a0，此时，f(a)2. 综上可知 a3. 答案(1)D(2)3 规律方法1.根据分段函数解析式
11、求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区 间，其次选定相应的解析式代入求解. 2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式 分别求解， 但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值 范围. 提醒当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论. 【训练 3】(1)(角度 1)(2020佛山检测)已知函数 f(x) log3（xm）1，x0， 1 2 020，x0 的图象经过点(3，0)，则 f(f(2)() A.2 020B. 1 2 020 C.2D.1 (2)(多填题)(角度 2)(2019济南调研)设函数 f(x) ln x，x1， 1x，x1， 则
12、f(f(0) _，若 f(m)1，则实数 m 的取值范围是_. (3)(角度 2)已知函数 f(x) （12a）x3a，x1， 2x 1，x1 的值域为 R， 则实数 a 的取值 范围是_. 解析(1)因为函数 f(x)的图象过点(3，0)，所以 log3(3m)10，解得 m0. 所以 f(2)log3210，故 f(f(2) 1 2 020. (2)f(f(0)f(1)ln 10.如图所示，可得 f(x) ln x，x1， 1x，x1 的图象与直线 y1 的交点分别为(0，1)，(e，1).若 f(m)1，则实数 m 的取值范围是(，0)(e， ). (3)当 x1 时，f(x)2x 11
13、， 函数 f(x) （12a）x3a，x1， 2x 1，x1 的值域为 R， 当 x0， 12a3a1， 解得 0a0 时，每一个 x 对应 2 个 y，图象中 x0对应 2 个 y，所以均不是函数图象；图象是函数图象. 答案B 2.(2020北京四中月考)设函数 f(x) x21（x2）， log2x（0 x2），若 f(m)3， 则实数 m 的值 为() A.2B.8C.1D.2 解析当 m2 时，m213，解得 m2 或 m2(舍)；当 0m0， 则 f(f(log23)() A.9B.1C.1 3 D. 1 27 解析f(log23) 1 2 log23 2log23 11 30， f
14、f(log23)f 1 3 3 1 3 1. 答案B 5.(2020黄冈调研)已知函数 f(x1)的定义域为(2，0)，则 f(2x1)的定义域为 () A.(1，0)B.(2，0) C.(0，1)D. 1 2，0 解析由题意，知1x11，则 f(x)的定义域为(1，1).令12x11，得 0 x1.f(2x1)的定义域为(0，1). 答案C 6.某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除 以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 yx(x表示不大于 x 的最大整数)可以表示为 () A.y
15、 x 10B.y x3 10 C.y x4 10D.y x5 10 解析代表人数与该班人数的关系是除以 10 的余数大于 6，即大于等于 7 时要 增加一名，故 y x3 10. 答案B 7.(2020西安检测)已知函数 f(x) x1，1x0. 当 0a1 时，由 f(a)f(a1)，即 2a a， 解得 a1 4，则 f 1 a f(4)8， 当 a1 时，由 f(a)f(a1)，得 2a2(a1)，不成立. 综上可知，f 1 a 8. 答案D 8.已知函数 f(x) x2x，x0， 3x，x0，则实数 a 的取值范围为 () A.(1，)B.(2，) C.(，1)(1，)D.(，2)(2
16、，) 解析当 a0 时，显然不成立. 当 a0 时，不等式 af(a)f(a)0 等价于 a22a0，解得 a2. 当 a0 等价于a22a0，解得 a0， x0， 1x20 x0， x0， 1x1 02 的值域为_. 解析当 x2 时，f(x)2x5 单调递增，则52 时，sin x1，1，f(x)3sin x3，3. 故 f(x)的值域是(5，3. 答案(5，3 11.(多填题)已知函数 f(x)满足 f 1 x 1 xf(x)2x(x0)，则 f(2)_，f 1 2 _. 解析令 x2，可得 f 1 2 1 2f(2)4， 令 x1 2，可得 f(2)2f 1 2 1 联立解得 f(2)
17、7 2，f 1 2 9 4. 答案 7 2 9 4 12.设函数 f(x) 2x，x0， |log2x|，x0，则使 f(x) 1 2的 x 的集合为_. 解析由题意知，若 x0，则 2x1 2，解得 x1； 若 x0，则|log2x|1 2，解得 x 2或 x 2 2 . 故 x 的集合为 1， 2， 2 2 . 答案 1， 2， 2 2 B 级能力提升 13.(2019长沙检测)高斯是德国著名的数学家， 是近代数学奠基者之一， 享有“数 学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 xR，用x表示不超过 x 的最大整数，则 yx称为高斯函数.例如：2.13，3.13，已知函数 f(x)
18、2 x3 2x1，则函数 yf(x)的值域为( ) A.0，1，2，3B.0，1，2 C.1，2，3D.1，2 解析f(x)2 x3 2x1 2x12 2x1 1 2 2x1， 2x0，12x1，0 1 2x11， 则 0 2 2x12，11 2 2x13，即 1f(x)3. 当 1f(x)2 时，f(x)1， 当 2f(x)3 时，f(x)2. 综上，函数 yf(x)的值域为1，2. 答案D 14.设函数f(x) x，x1（R）， 2x，x1， 若对任意的aR都有ff(a)2f(a)成立， 则的取值范围是() A.(0，2B.0，2 C.2，)D.(，2) 解析当 a1 时，2a2.ff(a
19、)f(2a)22 a2f(a)恒成立.当 am 成立，则 m 的取值范围为_. 解析f(x)3f 1 x x3 x2log 2x， 以1 x代替 x 得 f 1 x 3f(x)1 x3x2log 2x， 联立消去 f 1 x ，得 f(x)xlog2x， 则 x2，4时，f(x)xlog2x 是增函数， f(x)maxf(4)6，因此 m6. 答案(，6) 16.(多填题)已知函数 f(x) x2 x3，x1， lg（x21），x1， 则 f(f(3)_，f(x)的最 小值是_. 解析由题意知 f(3)lg(3)21lg 101， 所以 ff(3)f(1)0， 当 x1 时，f(x)x2 x3
20、2 23，当且仅当 x 2时，取等号，此时 f(x) min 2 230； 当 x1 时，f(x)lg(x21)lg 10，当且仅当 x0 时，取等号，此时 f(x)min 0. f(x)的最小值为 2 23. 答案02 23 C 级创新猜想 17.(组合选择题)具有性质：f 1 x f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函 数.下列函数： yx1 x；yln 1x 1x；y x，0 x1. 其中满足“倒负”变换的函数是() A.B.C.D. 解析对于， f(x)x1 x， f 1 x 1 xxf(x)， 满足题意； 对于， f(x)ln 1x 1x， 则 f 1 x ln x1 x1f(
21、x)，不满足； 对于，f 1 x 1 x，0 1 x1， 即 f 1 x 1 x，x1， 0，x1， x，0 x1， 则 f 1 x f(x). 所以满足“倒负”变换的函数是. 答案B 18.(多选题) (2020山东新高考模拟)函数 f(x)的定义域为 D，对给定的正数 k，若 存在闭区间a，bD，使得函数 f(x)满足：f(x)在a，b内是单调函数；f(x) 在a，b上的值域为ka，kb，则称区间a，b为 yf(x)的 k 级“理想区间”.下 列结论正确的是() A.函数 f(x)x2存在 1 级“理想区间” B.函数 f(x)ex不存在 2 级“理想区间” C.函数 f(x) 4x x21(x0)存在 3 级“理想区间” D.函数 f(x)tan x，x 2， 2 不存在 4 级“理想区间” 解析易知0，1是 f(x)x2的 1 级“理想区间”，故 A 正确；由于 g(x)ex2x 无零点，因此 f(x)ex不存在 2 级“理想区间”，故 B 正确；由 h(x) 4x x213x 0(x0)，得 x0 或 x 3 3 ，则 0， 3 3 是 f(x) 4x x21(x0)的一个 3 级“理想 区间”，C 正确；易知 ytan x 的图象与直线 y4x 在 2， 2 内有三个交点， 因此 f(x)tan x x 2， 2 有 4 级“理想区间”，故 D 错误. 答案ABC
