1、探秘基本初等函数的命题热点动向探秘基本初等函数的命题热点动向 微点聚焦突破 以二次函数、幂函数、指数与对数函数为载体考查函数图象与性质，灵活利用图 象、性质解决与方程(不等式)的交汇融合问题，相关参数求解与讨论一直是命题 的热点，常以客观题的形式呈现，考查学生数学运算、直观想象、逻辑推理数学 核心素养. 类型一基本初等函数图象的辨析 角度 1特殊值与性质检验法 【例 11】 (1)函数 f(x)x2 1 2 x 的大致图象是() (2)(2019福州质检)函数 f(x)x2ln(ex)ln(ex)的大致图象为() 解析(1)由 f(0)1，知图象过点(0，1)，排除 D 项. 又 f(2)44
2、0，f(4)16160， f(x)的图象过点(2，0)，(4，0)，排除 A，C，只有 B 适合. (2)易知 f(x)(x)2ln(ex)ln(ex)x2ln(ex)ln(ex)f(x)， yf(x)的图象关于 y 轴对称，排除 C 项. 又当 xe 时，f(x)，排除选项 B，D. 答案(1)B(2)A 思维升华1.求解该类问题抓住两点：(1)根据函数的奇偶性、周期性、单调性排 除不符合的选项.(2)利用特殊值(点)或极限的思想，排除不可能选项. 2.注意两点：(1)特殊点或特殊值要具备特殊性和代表性，只能否定错误的结论. (2)紧扣图象特征，揭示函数的性质. 【训练 1】 (2020东北
3、四校联考)函数 f(x)x（e xex） 4x21 的图象大致是() 解析因为 f(x)x（e xex） 4（x）21 x（e xex） 4x21 f(x)，所以函数 f(x)为偶函数， 其 图 象 关 于 y 轴 对 称 ， 可 排 除 A. 易 知 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 ，1 2 1 2， 1 2 1 2， f(x)x（e xex） 4x21 xe x（1e2x） 4x21 ， 当 x1 4 时，f(x)0，可排除 C. 当 x时，f(x)，可排除 D. 答案B 角度 2函数的图象变换法 【例 12】 已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x)f(x1)，则函数 f(
4、x)在(1， 1上的图象可能是() 解析由 f(x)f(x1)知，把 f(x)在(1，0)上的图象向右平移一个单位长度， 再把所得的图象关于 x 轴作对称变换，可以得到 yf(x)在(0，1)上的图象.结合图 象特征，A，B，D 不满足，只有 C 符合. 答案C 思维升华1.通过图象变换识别函数图象要掌握两点：一是熟悉基本初等函数的 图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)；二是了解一些常见的变换形式，如 平移变换、伸缩变换、翻折变换. 2.函数图象进行左右平移变换，一定是仅仅相对于“自变量 x”而言的，一定把 x 的系数变为 1. 【训练 2】 (2020武汉部分重点中学联考)已知函数 ys
5、in axb(a0)的图象，如 图所示，则函数 yloga(xb)的图象可能是() 解析由 ysin axb 的图象知，周期 T2，0b2，0a0，则下列关系式可能成立的是() A.x 2 y 3 z 5 B.z 5 y 3 x 2 C.y 3 z 50， 则 x2k1，y3k1，z5k1， 故x 22 k1，y 33 k1，z 55 k1， 若 0k1 时，f(x)xk 1 在(0，)上单调递减， 则z 5 y 31 时，则 f(x)xk 1 在(0，)上单调递增， x 2 y 3f(b)f(c)B.f(b)f(c)f(a) C.f(c)f(b)f(a)D.f(c)f(a)f(b) 解析由
6、blog1 5 1 3log 53，且 ylog5x 是增函数， 1ab0， 又 c2 1 51，且 f(x)x 2在(0，)上是增函数， f(c)f(a)f(b). 答案D 角度 2利用性质求函数值或范围 【例 22】 (1)(2020安徽名校联考)已知函数 yg(x)满足 g(x2)g(x)，若 y f(x)在(2，0)(0，2)上为偶函数，且其解析式为 f(x) log2x，0 x2， g（x），2x3 成立，则实 数 m 的取值范围是() A.(1，)B.(，1) C. 0，1 2D. 1 2，1 解析(1)由 g(x2)g(x)，得 g(x4)g(x)， 4 是函数 g(x)的周期.
7、 则 g(2 021)g(50541)g(1). 又 f(x)在(2，0)(0，2)上是偶函数， g(1)f(1)f(1)log210. (2)由2x 2x0，得 f(x)的定义域为(2，2). ylog32x 2xlog 3 1 4 x2 在(2，2)上单调递增， f(x)在(2，2)上是增函数. 又 f(1)3，f 1 m 3f 1 m f(1). 21 m2， 11 m， 解得1 2m0，则满足不等式 f(x 22)f(x)的 x 的取值范 围是() A.(，1)(2，) B.(， 2)( 2，) C.(， 2)(2，) D.(，1)( 2，) 解析当 x0 时，f(x)2x2 x 是增
8、函数； 当 x0 时，f(x)0. 由 f(x22)f(x)， x22x， x0 或 x220， x0. 解得 x2 或 x0，又 f(0)0， 从而作出 tf(x)的简图，如图所示. 令 tf(x)，g(t)t2mtm1. 由 g(t)0，得 t1 或 t1m. 当 t1 时，f(x) x ex1，方程有一解. 要使原方程有 3 个不同的实数解，必须 t1m 与 tf(x)的图象有两个交点. 故 01m1 e，所以 1 1 em1. 答案C 思维升华1.题目以函数的图象、性质为载体， 考查函数零点(方程的根)中参数的 求解，综合考查直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养. 2.涉及复合函
9、数零点的步骤：换元，令 tf(x)，yg(t)，f(x)为“内函数”，g(t) 为“外函数”；作图，作“外函数”yg(t)的图象与“内函数”tf(x)的图象； 观察图象进行分析. 【训练 5】 已知函数 f(x) 2|log2x|，02，若 f(x)m 有四个零点 a， b，c，d，则 abcd 的取值范围是_. 解析作出函数 f(x)的图象如图所示， 不妨设 abcd， 则log2alog2b，ab1. 又根据二次函数的对称性，可知 cd7， cdc(7c)7cc2c27c c7 2 2 49 4 (2c3)，10cd12， abcd 的取值范围是(10，12). 答案(10，12) 分层限
10、时训练 A 级基础巩固 一、选择题 1.(2020重庆一中月考)函数 f(x)sin xln |x|的图象大致是() 解析易知 f(x)的定义域为(，0)(0，)，且 f(x)f(x)，函数为奇函 数， yf(x)的图象关于原点对称，排除选项 B，C， 当 x时，1sin x1，ln |x|， 因此 f(x)的单调性增减交替出现，D 不正确. 答案A 2.已知函数 f(x)x2(2a1)xb 是偶函数，那么函数 g(x) logax1的定义域 为() A. ，1 2B. 0，1 2 C.(0，2D.2，) 解析f(x)是偶函数，则 2a10，a1 2. 若 g(x)有意义，则 logax10，
11、即 log1 2x1. 0b，则() A.ln(ab)0B.3a0D.|a|b| 解析法一不妨设 a1，b2，则 ab，可验证 A，B，D 错误，只有 C 正确. 法二由 ab，得 ab0.但 ab1 不一定成立， 则 ln(ab)0 不一定成立，故 A 不一定成立. 因为 y3x在 R 上是增函数，当 ab 时，3a3b，故 B 不成立. 因为 yx3在 R 上是增函数，当 ab 时，a3b3，即 a3b30，故 C 成立. 因为当 a3，b6 时，ab，但|a|b|，D 项不正确. 答案C 4.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(1x)f(1x)，当 x0，1时，f(x)4x22x，
12、 则当 x3，3时，方程 2f(x)1 的解的个数为() A.3B.4C.6D.8 解析f(x)在 R 上为奇函数，知 f(x)的图象关于原点对称. 又 f(1x)f(1x)，yf(x)的图象关于直线 x1 对称. 由题设，作出函数 yf(x)的大致图象(如图). yf(x)，x3，3的图象与直线 y1 2有三个交点. 故方程 2f(x)1 有 3 个解. 答案A 5.已知函数 f(x)(exe x)ln 1x 1x1，若 f(a)1，则 f(a)( ) A.1B.1C.3D.3 解析设 g(x)f(x)1(exe x)ln1x 1x. 易知 g(x)(e xex)ln 1x 1xg(x).
13、由 f(a)1，得 g(a)2. g(a)2，从而 f(a)g(a)13. 答案D 6.函数 f(x)xa满足 f(2)4，那么函数 g(x)|loga(x1)|的图象大致为() 解析由函数 f(x)xa满足 f(2)4，知 2a4， 所以 a2，f(x)x2，则 g(x)|log2(x1)|， 将函数 h(x)log2x 的图象向左平移 1 个单位长度(纵坐标不变)，然后将 x 轴下方 的图象折上去，即可知选 C. 答案C 7.已知函数 f(x)|2x1|，abf(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是 () A.a0，b0，c0B.a0 C.2 a2c D.2a2c2 解析作出函数 f(
14、x)|2x1|的图象，如图， abf(c)f(b)， 结合图象知， 0f(a)1，a0， 02a1. f(a)|2a1|12a1，f(c)1，0c1. 12cf(c)，12a2c1， 2a2c0. 又因为 x时，f(x)0，所以 2m0m0 时， f(x)（2m）x x2m 2m xm x ， 所以 f(x)在(0， m)上单调递增，( m，)上单调递减，所以 m1m1， 综上，实数 m 的取值范围是(1，2). 答案D 二、填空题 9.已知函数 f(x) log2（3x），x2， 2x 21，x2， 若 f(2a)1，则 f(a)_. 解析当 2a0 时，f(2a)log2(1a)1. 解得
15、 a1 2，不合题意. 当 2a2，即 a0 时，f(2a)2 a11，即 2a2，解得 a1，所以 f(a) f(1)log242. 答案2 10.若函数 f(x)loga xa x4(x0，a0 且 a1)的值域为 R，则实数 a 的取值范 围是_. 解析设 g(x)xa x4(x0)， 又函数 f(x)loga xa x4(a0 且 a1)的值域为 R， xa x40 必有解， 故函数 g(x)的最小值必须要小于等于零， 又 g(x)2 a4， 当且仅当 x a时，等号成立. 要满足题意，需 2 a40，解得 a4. 故实数 a 的取值范围是(0，1)(1，4. 答案(0，1)(1，4
16、11.(2020郑州质量预测)已知函数f(x) 2x，x1， ln（x1），1x2，若不等式f(x)5 mx 恒成立，则实数 m 的取值范围是_. 解析如图，在同一平面直角坐标系内作出 yf(x)和 y mx5 的图象，直线 y5mx 过定点 A(0，5)，当直线 y mx5 位于平行于 x 轴的位置和直线 AB 之间时， 满足不等式 f(x)5mx 恒成立，所以50 02m0，解得 0m 5 2. 答案 0，5 2 12.(2020南昌调研)若对任意的 t1，2，函数 f(x)t2x2(t1)xa 总有零点， 则实数 a 的取值范围是_. 解析由题意得(t1)24at20 对 t1，2恒成立
17、， 所以 4at2(t1)2对 t1，2恒成立， 则 a t1 2t 2 对 t1，2恒成立， 设 yt1 2t ，则 y 1 2t2baB.bac C.cabD.bca 解析f(x)e xex exe x e2x1 e2x11 2 e2x1， f(x)在(，0)，(0，)上为减函数， 易知 x0 时，f(x)0 时，f(x)0， 又ln 20，1 20，ln 1 30，a0，cln 3， 1 2ln 1 3，f(x)在(，0)上单调递减， f 1 2 a，bca. 答案D 14.已知函数 f(x) ex，xe， ln x，xe，则函数 yf(ex)的大致图象是( ) 解析令 g(x)f(ex
18、)，则 g(x) ee x，exe， ln（ex），exe， 即 g(x) ee x，x0， ln（ex），xln(e0)1，排除 D，因而 B 项成立. 答案B 15.若函数 f(x) x x1kx 2，x0， ln x，x0 有且只有 2 个不同的零点， 则实数 k 的取值范 围是() A.(4，0)B.(，0 C.(4，0D.(，0) 解析x0 时，x1 为 f(x)的零点，x0 时，x0 为 f(x)的零点，故 x0 时，f(x) 不能再有其它零点，即方程 x x1kx 2(x0)无解，等价于 1 x1kx(x0)无解. 作出 y 1 x1(x0)，ykx(x0 时，ykx 与 y 1
19、 x1相交. k0 时，ykx 与 y 1 x1不相交. 此时 f(x)仅有两个零点 x0 与 x1. 答案B 16.(2018全国卷改编)已知函数 f(x) ex，x0， ln x，x0， g(x)f(x)xa.若 g(x)存在 2 个零点，则 a 的取值范围是_. 解析依题意，g(x)f(x)xa0 有两个实根， 关于 x 的方程 f(x)xa 有两个实根. 作出 f(x) ex，x0， ln x，x0 与 yxa 的图象. 根据图象知，当a1 时，即 a1 时，两图象有两个交点. 故实数 a 的取值范围是1，). 答案1，) C 级创新猜想 17.(多选题)(2020烟台调研)已知函数
20、f(x)ln xln(4x)， 则下列四个结论正确的 是() A.f(x)在(0，2)上单调递增 B.f(x)在(0，4)上单调递增 C.f(x)的图象关于直线 x2 对称 D.f(x)的图象上存在两点关于点(2，0)对称 解析f(x)ln xln(4x)ln x(4x) ln4(x2)2，x(0，4). 设 z4(x2)2，x(0，4)， 由于 z4(x2)2在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，yln z 在(0， )上单调递增. f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，故 A 正确，B 错误. 又 f(2x)ln(4x2)为偶函数，其图象关于 x0 对称，f(x
21、)由 f(x2)的图象向右 平移两个单位得到，所以 f(x)的图象关于 x2 对称，故 C 正确. 由 f(2x)f(2x)2ln(2x)2ln(2x)0，得 x 3， f(x)的图象上存在两点(2 3，0)，(2 3，0)关于点(2，0)对称，D 正确.故选 ACD. 答案ACD 18.(多填题)已知函数 f(x)loga(x1)(a0 且 a1)在2，0上的值域是1， 0，则实数 a_；若函数 g(x)ax m3 的图象不经过第一象限，则实数 m 的取值范围为_. 解析函数 f(x)loga(x1)(a0 且 a1)在2，0上的值域是1，0.当 a 1 时，f(x)loga(x1)在2，0上单调递减， f（2）loga30， f（0）loga11，无解； 当 0 a 1 时 ， f(x) loga( x 1) 在 2 ， 0 上 单 调 递 增 ， f（2）loga31， f（0）loga10， 解得 a1 3.g(x) 1 3 xm 3 的图象不经过第一象 限，g(0) 1 3 m 30，解得 m1，即实数 m 的取值范围是1，). 答案 1 3 1，)
