浙江省绿色联盟2019届高三5月适应性考试数学试题 Word版含解析.doc

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1、 浙江省绿色联盟浙江省绿色联盟 2019 届高三届高三 5 月适应性考试数学试题月适应性考试数学试题 一、选择题:本大题共有一、选择题:本大题共有 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分。分。 1.复数 z1=2-i,z2=1+2i,i 为虚数单位,则 z1 =( ) A. 4-5i B. 3i C. 4-3i D. -5i 【答案】 D 【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】 【解答】解:. 故答案为:D 【分析】利用复数的运算性质即可得出结果。 2.已知 x,y 为实数,则“xy0”是|x+y|x-y|的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且

2、必要条件 D. 既不充分也不必 要条件 【答案】 C 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】 【解答】解:由, 当时,成立, 当时,也成立。 故答案为:C 【分析】根据题意对 x、y 分情况讨论即可得出结论成立。 3.已知 a 为第二象限角,且 3sina+cosa=0,则 sina=( ) A. B. C. - D. - 【答案】 A 【考点】三角函数中的恒等变换应用 【解析】【解答】解: , 已 知 a 为 第 二 象 限 角 , sinabc B. cab C. acb D. cba 【答案】 D 【考点】指数函数单调性的应用,对数函数的单调性与特殊点 【 解 析 】【 解

3、 答 】 解 :结 合 指 数 函 数 的 图 像 和 性 质 , 可 得 出 . 故答案为:D 【分析】结合指数函数与对数函数的图像与性质对比即可。 10.在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以 C 为圆心且与 BD 相切的圆上,若 ,设 +2 的最大值为 M,最小值为 N,则 M-N 的值为( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【考点】圆的标准方程,直线和圆的方程的应用 【解析】 【解答】解:如图所示,以为原点建立平面直角坐标系 B(1,0)C(1,2)D(0,2),直线 BD:y=-2x+2,圆方程为:, 又, , 则 , 圆 与 直 线BD相 切 , 则 半

4、径。 点p坐 标 可 表 示 为 则 , 当 时,有最大值, 当有最小值,所以 M-N=。 故答案为:C 【分析】根据题意建立直角坐标系,求出各个点的坐标进而求出, , 的坐标,再 结合直线与圆相切的性质求出半径,再设出点 P 的极坐标求出关于的代 数式,结合正弦型函数的图像与性质即可求出最大值与最小值,从而求出 M-N 的值。 二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 7 小题,小题,11-14 每空每空 3 分,分,15-17 每小题每小题 4 分,共分,共 36 分)分) 11.已知函数 f(x)=aex+|x|+a-1 为偶函数,则实数 a=_:关于 x 的不等式|f(x)|0 的解为

5、_ 【答案】 0;x=1 【考点】函数奇偶性的性质,绝对值不等式的解法 【 解 析 】【 解 答 】 解 : 根 据 已 知 条 件 可 得 函 数 为 偶 函 数 故 有 f(-x)=f(x),a=0 . 故答案为:0, 【分析】结合函数的奇偶性的定义,f(-x)=f(x),进而求出 a 的值,求出函数 f(x)的解析式,从而 得出不等式的解即可。 12.已知点 M 为双曲线 x2- =1 左支上一动点,右焦点为 F,点 N(0,6) ,则该双曲线的离 心率为:_ ;|MN|+|MF|的最小值为_ 【答案】 3;2+3 【考点】双曲线的定义,双曲线的简单性质 【解析】 【解答】解:设双曲线的

6、左焦点为,由双曲线,可得 a=1,b=,c=3, 即有,(3,0),F(-3,0) 由 双 曲 线 的 定 义 可 得|MN|+|MF| =,当 M 在左支上运动到 M,N,共线时,取得最小值, 则最小值为. 故答案为:3, 【分析】首先求出双曲线的左焦点为(-3,0),以及双曲线的 a,b,c 的值,运再用双曲线的定义可 得, 考虑 点 M 在左支上运动 到与 N, 共线时,取得最 小值,即 为 求出其值即可。 13.已知随机变量 满足 P(=i)= (i=1,2,3) ,则 E()=_;D()=_ 【答案】; 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】【解答】解: , 故答案为: 【分析

7、】根据题意结合方差与期望值的公式代入数值求出即可。 14.在 ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 a2+c2-b2+2bccosA-2c=0, c cosA=b(1-cosC), 且 C= ,则 c=_; ABC 的面积 S=_ 【答案】 1; 【考点】余弦定理的应用 【 解 析 】 【 解 答 】 解 : 利 用 余 弦 定 理 整 理 化 简 a2+c2-b2+2bccosA-2c=0 , 即 可 得 到 ,即可求出.再由 c cosA=b(1-cosC), 结合正弦 定理可得则, 或 cosC=0,(舍去)当 sinB=cosA,A=B,三角形 ABC

8、 为等腰三角形,利用余弦定理 ,. 故答案为:1, 【分析】 由已知条件结合余弦定理整理即可求出 c 的值, 再结合余弦定理判断出三角形的形状, 进而求出三角形的面积。 15.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为_ 【答案】 【考点】由三视图还原实物图,棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】 【解答】解:由题意可知,该几何体为如图所示放在棱长为 1 的正 方体中的棱台中, 【分析】首先结合三视图的性质求出该几何体,并把该几何体嵌入正方体中,再结合体积公式 代入数值求出结果即可。 16.如图,在宽 8 米的矩形教室 MEFN 正前方有一块长 6 米的黑板 AB,学生座位区域 CEFD 距 黑板最

9、近 1 米,在教室左侧边 CE 上寻找黑板 AB 的最大视角点 P(即使APB 最大) ,则 CP=_时,APB 最大 【答案】-1 【考点】函数单调性的性质,两角和与差的正切函数 【解析】【解答】解:设 , .=, 令 ,f(x)在上单调递减在单调递增, 从而 CP 有最 大值即当取得最大值,故 CP 为. 【分析】根据题意结合两角和差的正切公式代入数值求出结果即可。 17.已知数列an满足 an+1+(-1)nan=n(nN*),记数列an的前 n 项和为 Sn , 则 S60=_ 【答案】 930 【考点】数列的函数特性 【解析】【解答】解: an+1+(-1)nan=n , , 从第一

10、项开 始,依次取 2 个相邻奇数项的和都等于 1,从第二项开始,依次取 2 个相邻偶数项的和构成以 5 为 首项,以 8 为公差的等差数列.的前 60 项和为. 【分析】利用数列 an 递推式,可得数列是从第一项开始,依次取 2 个相邻奇数项的和都等于 1,从第二项开始,依次取 2 个相邻偶数项的和构成以 5 为首项,以 8 为公差的等差数列,由此可得 结论. 三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 5 小题,共小题,共 74 分)分) 18.已知函数 f(x)=sinxsin( -x)- cos2x ()求 f( )的值: ()求 f(x)的单调区间。 【答案】 解: ()f( )=sin

11、sin( - )- cos2 = =0 ()f(x)=sin xsin( -x)- cos2x = sin2x- (1+cos2x) =sin(2x- )- 由 2kx- 2x- 2k+ ,kZ, 得 f(x)单调递增区间为*k- ,k+ ,kZ 由 2kx+ 2x- 2k+ ,kZ, 得 f(x)单调递减区间为*k+ ,k+ ,kZ 【考点】二倍角的正弦,二倍角的余弦,正弦函数的定义域和值域,正弦函数的单调性 【解析】 【分析】 () 把代入解析式求出对应的数值即可。 () 首先利用诱导公式以及正、余弦二倍角公式整理化简原式,再结合正弦函数的图像与 性质即可得出函数 f(x)的单调递减区间。

12、 19.如图, 圆的直径 AC=2, B 为圆周上不与点 A, C 重合的点, PA 垂直于圆所在的平面, PCA=45 ()求证:PBBC; ()若 BC= ,求二面角 B-PC-A 的余弦值 【答案】 解: ()如图,连结 AB, 因为 PA平面 ABC,所以 PABC 又因为 B 在圆周上,所以 ABBC 故 BC平面 PAB 故 BCPB ()解法一:过 B 作 BD 的垂线,垂足为 D, 则 BD平面 PAC 再过 D 作 PC 的垂线,垂足为 E, 则由 PCBD,PCDE, 可知BED 即为所求的角 因为 BC= , 所以 BD= ,CD= 又因为PCA=45, 所以 DE= ,

13、BE= 所以 cosBDE= () 解法二:因为ABC=90,所以可以以 BC,BA 为 x,y 轴建立如图直角坐标系 则 B(0,0,0) ,A(0,1,0) ,C( ,0,0) ,P(0,1,2) =( ,0,0), =(0,1,2) 平面 PAC 的一个法向量 =(1, ,0) 设平面 PBC 的一个法向量 =(x,y,z) 则 , ,得 x=0,y+2z=0 取 z=1,得 =(0,-2,1) 故 cos= = 【考点】两条直线垂直的判定,用空间向量求平面间的夹角,二面角的平面角及求法 【解析】 【分析】 () 结合线面垂直的性质得出线线垂直,再利用线面垂直的判定定理得 出线线垂直即可

14、。 () 解法一: 首先作出辅助线即面的垂线以及二面角棱的垂线, 从而找到二面角的平面角, 结合解三角形的知识代入数值求出其余弦值。 解法二:建立空间直角坐标系,求出各个点的坐标以及向量的坐标,找到平面 PAC 的一个法 向量 =(1, ,0) ,利用向量垂直的坐标表示再结合向量的数量积运算 公式求出两个法向量的夹角的余弦值即可得出两个平面所成的角的余弦值。 20.已知数列an满足 a1=3,n2 时,an-2an-1=3n ()当 =0 时,求数列an的前 n 项和 Sn: ()当 =n 时,求证:对任意 nN*, 为定值。 【答案】 解: ()当 =0 时,an-2an-1=0 数列an是

15、以 a1=3,公比为 2 的等比数列 所以 Sn= =32n-3 ()当 =n 时,n2 时,an-2an-1=nx3n 令 bn= ,bn-bn-1= bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1 = +(n-1) + + 这是一个等差等比结构,利用错位相减法求和 由 bn= 。 两式相减得 = bn=2( )n+1+61-( )n) 于是 an=n3n+1+6(2n-3n) n2, =3 为定值,n=1 时,也满足, 因此,对任意 nN+ , 为定值 3 ()数学归纳法)令 bn= , 当 n=1 时,b1= =3 假设 n=k 时命题成立,即 bk= =3 即

16、ak=(k-2)3k+1+32k+1 由题设 ak+1=2ak+(k+1)3k+1=2(k-2)3k+1+32k+2+(k+1)3k+1 =(3k-3)3k+1+32k+2 13 分 所以 bk+1= =3,即 n=k+1 时,命题也成立 根据数学归纳原理,所命题得证 【考点】等比数列的通项公式,等比数列的前 n 项和 【解析】 【分析】 () 根据题意首先证明出该数列 an 为等比数列,并把数值代入到等比 数列的前 n 项和公式计算出结果即可。 () 由已知可证出数列的通项公式,进而分析可得出这是一个等差等比结构 ,利用 错位相减法求和 可到 bn=2( )n+1+61-( )n) ,进而得

17、到 an的通项公式,再对 n 分情 况然后结合数学归纳法对上式进行推理证明即可。 21.已知圆 A 的半径为 2,B 为平面上一点,|AB|=a(a2),P 是圆上动点,线段 PB 的垂直平分 线 l 和直线 PA 相交于点 Q ()以 AB 中点 O 为原点,AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,求 Q 点的轨迹方程; ()设()中 Q 点轨迹与直线 x-2y-1=0 相交于 M,N 两点,求三角形 OMN 的面积的取 值范围 【答案】 解: ()以 AB 所在直线为 x 轴,AB 中点 O 为原点,建立平面直角坐标系,如图 因为 a2,连 QB,由已知,得|QB|=|QP|,所以

18、|QA|+|QB|=|AP|=2 由椭圆定义可知,点 2 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆,其 方程为 x2+ =1 ()由()知,Q 点轨迹是椭圆 x2+ =1, 与 x-2y-1=0 交于 M(x1 , y1) ,N(x2 , y2) , 由 消去 y 得(6-a2)x2-2 x+a2-3=0, , 故 S OMN= = 令 6-a2=1,t(2,6) , 则 S OMN= 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题,圆锥曲线的轨迹问题 【解析】 【分析】 () 根据题意建立直角坐标系,由线段垂直平分线的性质即可得出 |QB|=|QP| ,进而得到 |QA|+|QB|=|AP|=2 由椭圆定义可知,

19、 点 Q 的轨迹是以 A, B 为焦点的椭圆, 求出方程即可。 () 联立直线与椭圆的方程消去 y 可得出关于 x 的一元二次方程,结合韦达定理求出 , 进而求出弦长公式的代数式,然后利用三角形面积公式 得到关于三角形面积的关于 a 的代数式,利用整体思想再结合基本不等式求出最值即可。 22.已知函数 f(x)= x3- x2- x1nx,设 f(x)的导函数为 g(x) (1)求证:g(x)0; ()设 g(x)的极大值点为高,求证:e-2g(x0)0, ( )0,当 x(x0 , 1),h(x)0,所以 x=x0是 g(x)的唯一的极大值 点,故 2x0-2-1nx0=0,x0(e-2 , ) 所以 g(x)max=g(x0)=x02-x0-x0Inx0=-x02+x0g(e-1)=e-2 故 e-2g(x0) 【考点】利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值 【解析】 【分析】 () 首先求出原函数的导函数,再由导函数的性质得到原函数的单调性 以及单调区间。 () 利用导函数的性质研究原函数的单调性以及零点存在,再结合单调性求出极值进而得 证结论。

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