1、普陀区普陀区 20192019 学年第一学期高三数学质量调学年第一学期高三数学质量调 研研 2019.122019.12 考生注意考生注意: : 1. 1. 本试卷共本试卷共 4 4 页，页，2121 道试题，满分道试题，满分 150150 分分. . 考试时间考试时间 120120 分钟分钟. . 2. 2. 本考试分试卷和答题纸本考试分试卷和答题纸. . 试卷包括试题与答题要求试卷包括试题与答题要求. . 作答必须涂（选择题）或作答必须涂（选择题）或 写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不
2、得分. . 3. 3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并 将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名. . 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 1212 题，满分题，满分 5454 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果，每个空格填对前填写结果，每个空格填对前 6 6 题得题得 4 4 分、后分、后 6 6 题得题得 5 5 分，否则一律得零分分
3、，否则一律得零分. . 1若抛物线 2 ymx的焦点坐标为 1 ( ,0) 2 ，则实数m的值为 . 2. 1 32 lim 31 nn n n . 3. 不等式 1 1 x 的解集为 . 4. 已知i为虚数单位，若复数 1 i 1 i zm 是实数，则实数m的值为 . 5. 设函数( )log (4) a f xx（0a且1a ） ，若其反函数的零点为2，则 a_. 6. 6 3 1 (1)(1)x x 展开式中含 2 x项的系数为_（结果用数值表示）. 7. 各项都不为零的等差数列 n
4、a（ * Nn） 满足 2 2810 230aaa， 数列 n b是等比数列， 且 88 ab，则 4 9 11 b b b _ . 8.设椭圆： 2 2 2 11 x ya a ，直线l过的左顶点A交y轴于点P，交于点Q，若 AOP是等腰三角形（O为坐标原点） ，且2PQQA，则的长轴长等于_. 9. 记, , , , ,a b c d e f为1,2,3,4,5,6的任意一个排列，则abcdef为偶数的排列 的个数共有_. 10. 已 知 函 数 22 +815f xxxaxbxc, ,a b cR是 偶 函 数 ， 若 方 程 2 1axbxc在区间1,2上有解，
5、则实数a的取值范围是_. 11. 设P是边长为2 2的正六边形 123456 A A A A A A的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN的取值范围为_. 12. 若M、N两点分别在函数 yf x与 yg x的图像上，且关于直线1x 对称，则 称M、N是 yf x与 yg x的一对“伴点” （M、N与N、M视为相同的一对）. 已知 2 22 442 xx f x xx ， 1g xxa，若 yf x与 yg x存在两对 “伴点” ，则实数a的取值范围为 . 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 4 题
6、，满分题，满分 2020 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相 应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. . 13. “1,2m”是“ln1m”成立的 （ ） )A(充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件
7、 14. 设集合 1Ax xa，1, 3,Bb，若AB，则对应的实数对( , )a b 有 （ ） )A(1对 B2对 C3对 D4对 15. 已知两个不同平面，和三条不重合的直线a，b，c，则下列命题中正确的是 （ ） )A(若/a，b，则/ab B若a，b在平面内，且ca，cb，则c C若a，b，c是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a，b，c都相交 D若，分别经过两异面直线a，b，且c，则c必
8、与a或b相交 16. 若直线l： 2 1 2 xy baab 经过第一象限内的点 1 1 (, )P a b ，则ab的最大值 为 （ ） )A( 7 6 B422 C52 3 D6 3 2 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 5 题，满分题，满分 7676 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤规定区域内写出必要的步骤 1717. .（本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小
9、题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，分， 第第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分 如图所示的三棱锥PABC的三条棱PA，AB，AC两两 互 相 垂 直 ，22ABACPA, 点D在 棱AC上 ， 且 =ADAC(0). （1）当 1 = 2 时，求异面直线PD与BC所成角的大小； （2）当三棱锥DPBC的体积为 2 9 时，求的值. 18.18.（本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分 设函数 22 1 xx f x a
10、. （1）当4a 时，解不等式 5f x ； （2）若函数 f x在区间2 +，上是增函数，求实数a的取值范围. 19.19.（本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分 某居民小区为缓解业主停车难的问题， 拟对小区内一块扇形空地 AOB进行改建.如图所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其 D C B A P 第 17 题图 N M P B A O 第 19 题图 余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且 =60OA
11、米，=60AOB，设POB （1）求停车场面积S关于的函数关系式，并指出的取值范围； （2）当为何值时，停车场面积S最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）. 2020. .（本题满分（本题满分 1616 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，分， 第第 3 3 小题满分小题满分 6 6 分分. . 已知双曲线： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦距为4，直线:40l xmy（mR） 与交于两个不同的点D、E， 且0m时直线l与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边 三
12、角形. （1）求双曲线的方程； （2）若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围； （3）设A、B分别是的左、右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P，交直线 AD于点Q，求证：线段PQ在x轴上的射影长为定值. 2121. .（本题满分（本题满分 1818 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，分， 第第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分分. . 数列 n a与 n b满足 1 aa， 1nnn baa ， n S是数列 n a的前n项和（
13、 * Nn）. （1）设数列 n b是首项和公比都为 1 3 的等比数列，且数列 n a也是等比数列，求a的值； （2）设 1 21 n nn bb ，若3a 且 4n aa对 * Nn恒成立，求 2 a的取值范围； （3）设4a，2 n b ， 2 2 n n n S C （ * Nn，2） ，若存在整数k，l，且1kl ， 使得 kl CC成立，求的所有可能值. 普陀区普陀区 2012019 9 学年第一学期高三数学质量调研评分标准学年第一学期高三数学质量调研评分标准（参参考考） 一、填空题一、填空题 1 2 3 4 5 6 2 3 (0,1) 1 2 2 9 7
14、8 9 10 11 12 8 2 5 432 1 1 8 3 ， 64 6,8+8 2 32 21+2 2， 二、选择题二、选择题 13 14 15 16 A D D B 三、解答题三、解答题 17.（1）当 1 = 2 时，ADDC，取棱AB的中点E，连接ED、EP， 则/EDBC，即PDE是异面直线PD与BC所成角或其补角， 2 分 又PA，AB，AC两两互相垂直，则1PDDEEP,即PDE是正三角形， 则 3 PDE . 5 分 则异面直线PD与BC所成角的大小为 3 . 6 分 （2）因为PA，AB，AC两两互相垂直， 所以AB 平面
15、PAC, 3 分 则 11112 2 33239 D PBCB PDCPDC VVAB SPA DCDC ， 即 2 3 DC , 7 分 又=ADAC（0） ，2AC ，则 2 3 . 8 分 说明说明：利用空间向量求解：利用空间向量求解请请相应相应评评分分. . 18.（1）当4a 时，由 22 5 41 xx 得24 250 xx ，2 分 令2xt ，则 2 540tt，即14t ，4 分 即02x，则所求的不等式的解为(0,2).6 分 E D C B A P 17 题图 （2）任取 12 2xx，因为函数( )22 xx f xa 在区间2 +，上单调递增
16、， 所以 12 ( )()0f xf x在2 +，上恒成立， 2 分 则 1122 222 +20 xxxx aa 恒成立， 即 12 12 12 22 22 +0 2 xx xx xx a ， 12 12 221+0 2 xx xx a ，4 分 又 12 xx，则 12 22 xx ， 即 12 2x x a 对 12 2xx恒成立，6 分 又 12 216 xx ，即16a， 则所求的实数a的取值范围为 16,).8 分 19.（1）由平行四边形OMPN得，在OPN中，120ONP,60OPN, 则 sinsinsin ONOPPN OPNONPPON ，即 60 sin(60)sin1
17、20sin ONPN ， 即40 3sin(60)ON，=40 3sinPN，4 分 则停车场面积sin2400 3sinsin(60)SON PNONP， 即2400 3sinsin(60)S，其中060.6 分 （2）由（1）得 31 2400 3sinsin(60)2400 3sin (cossin ) 22 S， 即 2 3600sincos1200 3sin=1800sin2600 3cos2600 3S， 4 分 则1200 3sin(230 )600 3S. 6 分 因为060，所以30230150， 则23090时， max 1200 3 1 600 3600 31
18、039.2S 平方米. 故当30时，停车场最大面积为1039.2平方米. 8 分 说明：说明： （1）中中过过点点P作作OB的的垂线求平行四边形面积，请相应评分垂线求平行四边形面积，请相应评分. . 20 （1）当0m直线:4l x 与C的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双 曲线的性质得， 2 2 2 1 tan 30 3 b a ，又焦距为4，则 22 4ab， 3 分 解得3a ，1b，则所求双曲线的方程为 2 2 1 3 x y.4 分 （2）设 11 ( ,)D x y， 22 (,)E xy，由 2 2 1 3 40 x y xmy ，得 22 (3)8130
19、mymy， 则 12 2 8 3 m yy m ， 12 2 13 3 y y m ，且 222 6452(3)12(13)0mmm ， 2 分 又坐标原点O在以线段DE为直径的圆内，则0OD OE，即 1212 0x xy y， 即 1212 (4)(4)0mymyy y，即 2 1212 4 ()(1)160m yymy y， 则 22 22 13138 160 33 mm mm ， 4 分 即 2 2 35 0 3 m m ，则 15 3 3 m 或 15 3 3 m， 即实数m的取值范围 1515 (3,)(, 3) 33 . 6 分 （3）线段PQ在x轴上的射影长是 pq
20、 xx. 设 00 (,)D xy，由（1）得点( 3,0)B， 又点P是线段BD的中点，则点 00 3 (,) 22 xy P ， 2 分 直线BD的斜率为 0 0 3 y x ，直线AD的斜率为 0 0 3 y x ，又BDPQ， 则直线PQ的方程为 000 0 33 () 22 yxx yx y ，即 2 000 00 33 22 xxy yx yy ， 又直线AD的方程为 0 0 (3) 3 y yx x ，联立方程 2 000 00 0 0 33 22 (3) 3 xxy yx yy y yx x ， 消去y化简整理，得 222 000 0 0 3 ( 3)(3) 223
21、 xyy x xx x ，又 2 2 0 0 1 3 x y， 代入消去 2 0 y，得 2 0 00 2(3)1 ( 3)(3)(3) 33 x x xxx ， 即 0 2(3)1 (3) 33 x xx ，则 0 23 4 x x ， 即点Q的横坐标为 0 23 4 x ， 5 分 则 00 3233 244 pq xx xx . 故线段PQ在x轴上的射影长为定值. 6 分 说明说明：看作是看作是PQ在在OB或或(1,0)i 方向方向上上投影投影的绝对值，的绝对值，请相应请相应评分评分. 21.（1） 由条件得 1 () 3 n n b ， * Nn，即 1 1
22、() 3 n nn aa ，1 分 则 21 1 3 aa ， 2 32 11 () 39 aa ，设等比数列 n a的公比为q， 则 32 21 1 3 aa q aa ，又 1 (1) 3 a q ，则 1 4 a . 3 分 当 1 4 a ， 1 3 q 时， 1 11 () 43 n n a ， * Nn， 则 11 1 111111111 ()()() () () 434334433 nnnn nn aa 满足题意， 故所求的a的值为 1 4 . 4 分 （2）当2n时， 1 1 21 n nn bb ， 2 12 21 n nn bb ， 21 2 1b
23、b， 以上1n个式子相加得， 123 1 2222(1) nnn n bbn ， 2 分 又 1212 3baaa，则 1 22 2(1 2) (1)324 1 2 n n n bnana ， 即 2 24 n n bna. 由 1 210 n nn bb 知数列 n b是递增数列，4 分 又 1nnn baa ，要使得 4n aa对 * Nn恒成立， 则只需 343 454 0 0 baa baa ，即 32 42 10 80 ba ba ，则 2 81a . 6 分 （3） 由条
24、件得数列 n a是以4为首项，2为公差的等差数列， 则42(1)22 n ann， 2 (422) 3 2 n nn Snn ， 则 2 232 22 n n nn Snn C . 2 分 则 222 1 11 (1)3(1)23242 222 nn nnn nnnnnn CC ， 当3n时， 22 4233428282 ( 2)40nn ， 即3n时， 1nn CC ， 则当3kl 时， kl CC与 kl CC矛盾. 4 分 又1l ，即2l 时， 2 325 22 k kk . 当5k 时， 22 5 3253 5220 2216 k kk ， 又 205207207 ( 2)3 0 16216168 ， 即当5k ，2l 时， 2 325 22 k kk ，与 2 325 22 k kk 矛盾. 又2kl ，则3k 或4， 当3k 时， 22 3 3233 325 222 k kk ，解得1； 当4k 时， 22 4 3243 425 222 k kk ，解得2. 综上得的所有可能值为1和2. 8 分
