1、一、全概率公式一、全概率公式二、贝叶斯公式二、贝叶斯公式三、伯努利概型三、伯努利概型1.5 1.5 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式.,2;,2,1,1,21210021的一个划分的一个划分为样本空间为样本空间则称则称若若的一组事件的一组事件为为的样本空间的样本空间为试验为试验设设定义定义nnjinAAAAAAnjiAAEAAAE 1.样本空间的划分样本空间的划分一、全概率公式一、全概率公式1A2A3AnA1nA2.全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式)|()()()|()()|()()|()(),2,1(0)(,1221121iniinninABPAPAPABPAPABPAP
2、ABPBPniAPAAAEBE 则则且且的的一一个个划划分分为为的的事事件件为为的的样样本本空空间间为为试试验验设设定定义义 jiAA由由)(jiBABA)()()()(21nBAPBAPBAPBP 图示图示B1A2A3A1nAnA证明证明.21nBABABA 化整为零化整为零各个击破各个击破)(21nAAABBB )|()()|()()|()()(2211nnABPAPABPAPABPAPBP 说明说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事分解为若干个简单事件的概率计算问题件的概率计算问题,最
3、后应用概率的可加性求出最后应用概率的可加性求出最终结果最终结果.B1A2A3A1nAnA例例1 1 有一批同一型号的产品有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产已知其中由一厂生产的占的占 30%,二厂生产的占二厂生产的占 50%,三厂生产的占三厂生产的占 20%,又知这三个厂的产品次品率分别为又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件设事件 A 为为“任取一件为次品任取一件为次品”,.3,2,1,iiBi厂厂的的产产品品任任取取一一件件为为为为事事件件123,BBB 解解.3,2,1,jiBBji由全
4、概率公式得由全概率公式得,2.0)(,5.0)(,3.0)(321 BPBPBP30%20%50%123()()()()P AP ABP ABP AB.013.02.001.05.001.03.002.0 ,01.0)(,01.0)(,02.0)(321 BAPBAPBAP112233()()()()()()()P AP B P ABP B P ABP B P AB故故112233()()()()()().P B P ABP B P ABP B P AB称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式.二、贝叶斯公式二、贝叶斯公式.,2,1,)()|()()|()|(),2,1(0)(,0)(,121niAP
5、ABPAPABPBAPniAPBPAAAEBEnjjjiiiin则则且且的的一一个个划划分分为为的的事事件件为为的的样样本本空空间间为为试试验验设设定定义义证明证明()()()iiP BAP A BP B.,2,1ni n1jjjii)A|B(P)A(P)A|B(P)A(P(|)()()iiP B A P AP B1(|)()()iinjjP B A P AP BA例例2 商店论箱出售玻璃杯商店论箱出售玻璃杯(每箱每箱20只只)，其中每箱含，其中每箱含0、1、2只次品的概率分别为只次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，某顾，某顾客选中一箱，从中任选客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，
6、只检查，结果都是好的，便买下了这一箱便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率问这一箱含有一个次品的概率是多少？是多少？解解,A设表示 从一箱中任取4只检查，都是好的012,BB B,分别表示每箱含有0只，1只，2只次品012()0.8,()0.1,()0.1P BP BP B则0()1,P A B显然1()P A B4194204,5CC2()P A B4184201219CC001122()()()()()()P A B P BP A B P BP A B P B0.94012()()()()P AP ABP ABP AB1()P B A0.084811()()()P A B P BP A
7、1()()P ABP A).(,005.0)(,005.0,.95.0)(,95.0)(,:,ACPCPCAPCAPCA试求试求即即的概率为的概率为设被试验的人患有癌症设被试验的人患有癌症进行普查进行普查现在对自然人群现在对自然人群有有则则被诊断者患有癌症被诊断者患有癌症表示事件表示事件以以为阳性为阳性试验反应试验反应表示事件表示事件若以若以验具有如下的效果验具有如下的效果某种诊断癌症的试某种诊断癌症的试根据以往的临床记录根据以往的临床记录 解解()0.95,()1()0.05,P ACP A CP AC 因为,995.0)(,005.0)(CPCP例例3 3由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公
8、式得所求概率为()()()()()()()P C P A CP C AP C P A CP C P A C.087.0 即即平均平均1000个具有阳性反应的人中大约只有个具有阳性反应的人中大约只有87人人患有癌症患有癌症.;,)1(.,05.080.015.003.001.002.0321:.概率概率求它是次品的求它是次品的元件元件在仓库中随机地取一只在仓库中随机地取一只无区别的标志无区别的标志且且仓库中是均匀混合的仓库中是均匀混合的设这三家工厂的产品在设这三家工厂的产品在提供元件的份额提供元件的份额次品率次品率元件制造厂元件制造厂的数据的数据根据以往的记录有以下根据以往的记录有以下件制造厂提
9、供的件制造厂提供的的元件是由三家元的元件是由三家元某电子设备制造厂所用某电子设备制造厂所用例例4 4.,)2(别是多少别是多少三家工厂生产的概率分三家工厂生产的概率分求此次品出由求此次品出由为分析此次品出自何厂为分析此次品出自何厂次品次品若已知取到的是若已知取到的是元件元件在仓库中随机地取一只在仓库中随机地取一只解解,取到的是一只次品取到的是一只次品表示表示设设 A.家工厂提供的家工厂提供的所取到的产品是由第所取到的产品是由第表示表示i)3,2,1(iBi,321的的一一个个划划分分是是样样本本空空间间则则 BBB,05.0)(,80.0)(,15.0)(321 BPBPBP且且.03.0)(
10、,01.0)(,02.0)(321 BAPBAPBAP(1)由由全概率公式得全概率公式得112233()()()()()()P A B P BP A B P BP A B P B.0125.0(2)由由贝叶斯公式得贝叶斯公式得)()()()(111APBPBAPABP 0125.015.002.0 .24.0 123()()()()P AP ABP ABP AB,64.0)()()()(222 APBPBAPABP.12.0)()()()(333 APBPBAPABP.2 家家工工厂厂的的可可能能性性最最大大故故这这只只次次品品来来自自第第1.条件概率条件概率)()()(APABPABP 全概
11、率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式小结小结1122()()()()()()()nnP AP B P ABP B P ABP B P AB1()()(),1,2,.()()iiinjjjP B P A BP B AinP BP A B()()()P ABP A P B A乘法公式乘法公式三、伯努利概型三、伯努利概型定义定义 若大量重复试验满足以下两个特点若大量重复试验满足以下两个特点:可能的结果为有限个，且在相同的条件下重复可能的结果为有限个，且在相同的条件下重复 进行；进行；各次试验的结果相互独立各次试验的结果相互独立则称这一系列试验为独立试验序列或则称这一系列试验为独立试验序列或独立试验概
12、型独立试验概型.(),()1(01),EAAP Ap P AppEnnn 如果试验 只有两个基本事件 及，且将 独立地进行 次，则这一系列试验称为 重伯努利试验或 重伯努利概型伯努定简称义，利概型.(01),(),0,1,1kkn knnnAppnAkP kC p qkn qp 在 重伯努利试验中，设每次试验中事件 发生的概率为则在 次重复试验中，事件 恰好发生 次的概率为定理,1,.iAiAin设为 第 次试验中 发生解121121()()()()()()kknkknP A AA AAP A P AP A P AP Akn kp q则则A仅在前仅在前k次发生的概率为次发生的概率为knC由于由
13、于n次试验中次试验中A发生发生k k次的方式共有次的方式共有 种，种，(),0,1,kkn knnP kC p qkn故故例例5 (人寿保险问题人寿保险问题)在保险公司里有在保险公司里有2500个同年个同年龄同社会阶层的人参加了人寿保险龄同社会阶层的人参加了人寿保险,在一年里每在一年里每个人死亡的概率为个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人每个参加保险的人1年年付付120元保险费元保险费,而在死亡时而在死亡时,家属可在公司里领家属可在公司里领取取20000元元.问问(不计利息不计利息)(1)保险公司亏本的概率是多少保险公司亏本的概率是多少?(2)保险公司获利不少于保险公司获利不少于100
14、000的概率是多少的概率是多少?保险公司在保险公司在1年的收入是年的收入是2500 120=300000元元解解 设设X表示这一年内的死亡人数表示这一年内的死亡人数,则则保险公司这一年里付出保险公司这一年里付出20000X元元于是于是,P公司亏本公司亏本=P X 15=1-PX 15P公司亏本公司亏本152500250001(0.002)(0.998)0.000067kkkkC(2)获利不少于获利不少于100000元元,即即 300000-20000X 100000即即X 10P获利不少于一万元获利不少于一万元=PX 10当当20000X 300000,即即X 15人时公司亏本人时公司亏本10
15、250025000(0.002)(0.998)0.9864kkkkC例例6 对某厂的产品进行质量检查，现从一批产对某厂的产品进行质量检查，现从一批产品中重复抽样，共取品中重复抽样，共取200件样品，结果发现其中件样品，结果发现其中有有4件废品，问我们能否相信此工厂出废品的概件废品，问我们能否相信此工厂出废品的概率不超过率不超过0.005？解解 假设此工厂出废品的概率为假设此工厂出废品的概率为0.005，则，则200件件 产品中出现产品中出现4件废品的概率为件废品的概率为441962000.0050.9950.015pC小概率事件在实际中几乎是不可能发生的小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从
16、从而可认为工厂的废品率不超过而可认为工厂的废品率不超过0.005的说法是不的说法是不可信的可信的.例例7 某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一周曾接待过 12次来访次来访,已知已知所有这所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的次接待都是在周二和周四进行的,问是问是否可以推断接待时间是有规定的否可以推断接待时间是有规定的.假设接待站的接待时间没有假设接待站的接待时间没有规定规定,且各来访者在一周的任一天且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的中去接待站是等可能的.解解周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日.712种种12341277777 故一周内接待故一周内接待 12
17、 次来访共有次来访共有.212种种121272 p0000003.0 小概率事件在实际中几乎是不可能发生的小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从从而可知接待时间是有规定的而可知接待时间是有规定的.周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日周二周二周四周四12341222222 12 次接待都是在周二和周四进行的共有次接待都是在周二和周四进行的共有故故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为次接待都是在周二和周四进行的概率为例例1 设一仓库中有设一仓库中有10 箱同种规格的产品箱同种规格的产品,其中其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱箱,3箱箱,2 箱
18、箱,三厂产品的废品率依次为三厂产品的废品率依次为 0.1,0.2,0.3 从这从这 10箱产品中任取一箱箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件产品再从这箱中任取一件产品,求取得的正品概率求取得的正品概率.设设 A 为事件为事件“取得的产品为正品取得的产品为正品”,分别表示分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的任取一件产品是甲、乙、丙生产的”,321BBB由题设知由题设知.102)(,103)(,105)(321 BPBPBP解解备份题备份题,7.0)(,8.0)(,9.0)(321 BAPBAPBAP故故)()()(31iiiBAPBPAP 107102108103109105 .82.0?,
19、.95,.55,98,概概率率是是多多少少机机器器调调整整得得良良好好的的时时早早上上第第一一件件产产品品是是合合格格试试求求已已知知某某日日机机器器调调整整良良好好的的概概率率为为时时每每天天早早上上机机器器开开动动其其合合格格率率为为种种故故障障时时而而当当机机器器发发生生某某产产品品的的合合格格率率为为良良好好时时当当机机器器调调整整得得明明对对以以往往数数据据分分析析结结果果表表%解解.产品合格产品合格为事件为事件设设 A.机器调整良好机器调整良好为事件为事件B则有则有,55.0)(,98.0)(BAPBAP例例2,05.0)(,95.0)(BPBP 由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公
20、式得所求概率为)()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPABP 05.055.095.098.095.098.0 .97.0.97.0,整良好的概率为整良好的概率为此时机器调此时机器调是合格品时是合格品时即当生产出第一件产品即当生产出第一件产品 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人三人击中的概率分别为击中的概率分别为 0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中飞机被一人击中而被击落的概率为而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概被两人击中而被击落的概率为率为 0.6,若三人都击中飞机必定被击落若三人都击中飞机必定被击落,求飞机求飞机被击落的概
21、率被击落的概率.解解 ,个个人人击击中中敌敌机机表表示示有有设设iAiA,B,C 分别表示甲、乙、丙击中敌机分别表示甲、乙、丙击中敌机,7.0)(,5.0)(,4.0)(CPBPAP则则例例30123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P D AP D AP D AP D AD 表示敌机被击落表示敌机被击落,)()()()()()()()()()(1CPBPAPCPBPAPCPBPAPAP 故故得得7.05.06.03.05.06.03.05.04.0 .36.0,2BCACBACABA 因为因为)()()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBPAP .41.0)(
22、)(2BCACBACABPAP 得得,1CBACBACBAA 由于由于,3ABCA 由由)()(3ABCPAP 得得)()()(CPBPAP 7.05.04.0 因而因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为由全概率公式得飞机被击落的概率为00.20.360.60.41 1 0.14.458.0.14.0 00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P DP A P D AP A P D AP A P D AP A P D A第一章第一章 小结小结本章有本章有六个概念六个概念(随机试验、事件、概率、条随机试验、事件、概率、条件概率、独立性件概率、独立性)，四个公式四个公式(加法公式、乘法公式、全概率加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式公式、贝叶斯公式)和和三个概型三个概型(古典概型、几何概型、伯努利古典概型、几何概型、伯努利概型概型)组成组成.问：问：考题为选择类试题，每题有四个选择，已考题为选择类试题，每题有四个选择，已知考生知道正确答案的概率为知考生知道正确答案的概率为0.8，不知道正确，不知道正确答案的概率为答案的概率为0.2；不知道正确答案时而猜对的；不知道正确答案时而猜对的概率为概率为0.25，则在他答对时，他确实知道正确，则在他答对时，他确实知道正确答案的概率为答案的概率为()(A)56 (B)1617 (C)1518 (D)0.8
