1、成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形温温 故故 知知 新新成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版
2、数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形新新 课课 引引 入入成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形自自 主主 预预 习习成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形
3、成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5
4、第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教
5、A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形课堂典例讲练课堂典例讲练 成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形思路方法技
6、巧思路方法技巧成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学
7、 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形建模应用引路建模应用引路成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程
8、高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形探索延拓创新探索延拓创新成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一
9、章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形名师辨误做答名师辨误做答成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指
10、导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形1.1.2余 弦 定 理成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形1.1.掌握余弦定理及余弦定理的推导过程掌握余弦定理及余弦定理的推导过程.2.2.了解余弦定理的几种变形公式了解余弦定理的几种变形公式.3.3.能熟练应用余弦定理解三角形及处理现实生活中的实际问题能熟练应用余弦定理解三角形及处理现实生活中的实际
11、问题.成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形余弦定理余弦定理 平方平方平方平方夹角夹角两倍两倍c c2 2+a+a2 2-2accosB-2accosB222bca2bc222cab2ac成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形1.1.已知已知a a2 2+b+b2 2-c-c2 2=ab=ab，则，则C=(C=()A.30A.30B.60B.60C.120C.120D.150D.150【解解析析】选选A.A.因为因为co
12、sC=cosC=，0 0C180Cbacba知知C C最大最大，因为因为cosC=cosC=所以所以C=120C=120.答案：答案：1201203722222abc343712ab2 3 42，成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形4.4.在在ABCABC中，已知中，已知a a2 2+b+b2 2=c=c2 2，A=30A=30，a=1a=1，则，则S SABCABC=.【解解析析】因为因为a a2 2+b+b2 2=c=c2 2，所以，所以ABCABC是是以以C C为为直直角的角的直直角三角角三角形，形
13、，又又因为因为A=30A=30，a=1a=1，所以，所以c=2c=2，b=b=所以所以S SABCABC=答案：答案：22ca3，13ab.2232成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形一、余弦定理及其证明一、余弦定理及其证明探究探究1 1：如图，设：如图，设 那么向量那么向量c的平方是的平方是什么？表示为对应的边可以得到什么式子？什么？表示为对应的边可以得到什么式子？提示提示：c=b-a，|c|2 2=(=(b-a)(b-a)=)=bb+aa-2-2ab=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC-2ab
14、cosC，所以，所以c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC.-2abcosC.ABACBC ，cba成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形探究探究2 2：利用探究：利用探究1 1的结论思考下面的问题：的结论思考下面的问题：(1)(1)已知三角形的三边已知三角形的三边a a，b b，c c，如何表示，如何表示cosC.cosC.提示：提示：由探究由探究1 1知知c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosC，故故cosC=cosC=(2)(2)若若C=90C=90，
15、探究，探究1 1的结论还成立吗？如果成立写出该结论，的结论还成立吗？如果成立写出该结论，若不成立说明理由若不成立说明理由.提示：提示：若若C=90C=90，探究探究1 1的结的结论仍成立论仍成立，即即c c2 2=a=a2 2+b+b2 2.222abc.2ab成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形探究探究3 3：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，请问两余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，
16、请问两定理之间有何联系？定理之间有何联系？提示：提示：余弦定理余弦定理是勾股是勾股定理的定理的推广推广，勾股勾股定理定理是是余弦定理的余弦定理的特特殊情况殊情况.成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形【拓展延伸拓展延伸】利用平面图形的几何性质和利用平面图形的几何性质和勾股定理证明余弦定理勾股定理证明余弦定理当当ABCABC为锐角三角形时，如图，为锐角三角形时，如图，作作CDABCDAB，D D为垂足，则为垂足，则CD=bsinACD=bsinA，DB=c-bcosADB=c-bcosA，则，则a a2 2=
17、DB=DB2 2+CD+CD2 2=(c-bcosA)=(c-bcosA)2 2+(bsinA)+(bsinA)2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosA，其余两个式子同理可证；，其余两个式子同理可证；成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形当当ABCABC为钝角三角形时，如图，为钝角三角形时，如图，作作CDABCDAB，交，交BABA的延长线于点的延长线于点D D，则，则CD=bsinACD=bsinA，DB=bcos(-A)+c=c-bcosADB=bcos(-A)+c=c-bco
18、sA，则则a a2 2=DB=DB2 2+CD+CD2 2=(c-bcosA)=(c-bcosA)2 2+(bsinA)+(bsinA)2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosA，其余两个式子同理可证；，其余两个式子同理可证；当当ABCABC为直角三角形时，易证余弦定理仍然成立为直角三角形时，易证余弦定理仍然成立.成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形【探究总结探究总结】对余弦定理及其推论的两点说明对余弦定理及其推论的两点说明(1)(1)余弦定理适用于任意三角形，反映了三角形中三条边
19、与一余弦定理适用于任意三角形，反映了三角形中三条边与一个内角的余弦之间严格确定的量化关系个内角的余弦之间严格确定的量化关系.(2)(2)余弦定理余弦定理a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosA还可改写为还可改写为sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinB+sin2 2C-C-2sinB2sinBsinCcosAsinCcosA，有时应用它求三角函数值会很方便，有时应用它求三角函数值会很方便.成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形二、余弦定理在解三角形中的应用二、
20、余弦定理在解三角形中的应用探究探究1 1：根据余弦定理及其推论的形式，可以解哪两类三角形：根据余弦定理及其推论的形式，可以解哪两类三角形问题？问题？提示：提示：余弦定理及余弦定理及其推论其推论可以解可以解决决以以下下两两类类三角形三角形问问题：题：(1)(1)已知三角形的已知三角形的任任意两边及意两边及它们它们的的夹夹角角就就可以求出可以求出第第三边三边.(2)(2)已知三角形的三条边已知三角形的三条边就就可以求出可以求出其其角角.成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形探究探究2 2：根据下面的提示，写出角
21、：根据下面的提示，写出角A A的范围的范围在在ABCABC中，若中，若a a2 2bbb2 2+c+c2 2.成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形提示：提示：由由余弦定理可知余弦定理可知cosA=cosA=显然当显然当a a2 20 0，即即0 0A Ab b2 2+c+c2 2时，时，9090A A180180.答案答案：0 0A A9090A=90A=909090A A180180222bca2bc，成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章
22、第一章 解三角形解三角形【探究总结探究总结】对余弦定理解三角形的两点说明对余弦定理解三角形的两点说明(1)(1)余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是三余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，可角形的三边和一个角，可“知三求一知三求一”.(2)(2)当已知两边和其中一边的对角时，一般采用正弦定理，但当已知两边和其中一边的对角时，一般采用正弦定理，但根据需要也可用余弦定理，解三角形时，要注意灵活应用根据需要也可用余弦定理，解三角形时，要注意灵活应用.成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章
23、 解三角形解三角形类型一类型一利用余弦定理解三角形利用余弦定理解三角形1.(20151.(2015成都高二检测成都高二检测)在在ABCABC中，若中，若(a+c)(a-c)=b(b+c)(a+c)(a-c)=b(b+c)，则则A=(A=()A.60A.60或或120120B.60B.60C.120C.120D.150D.1502.(20142.(2014福建高考福建高考)在在ABCABC中，中，A=60A=60，AC=2AC=2，BC=BC=，则则ABAB等于等于.3成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形【
24、解题解题指南指南】1.1.先利用先利用等等式式变变形，再利用余弦定理求出角形，再利用余弦定理求出角A A的的余弦余弦值值，再求角，再求角A.A.2.2.直接应直接应用余弦定理求解用余弦定理求解.成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形【自主自主解答解答】1.1.选选C.C.因为因为(a+c)(a-c)=b(b+c)(a+c)(a-c)=b(b+c)，所以，所以a a2 2-c-c2 2=b=b2 2+bc+bc，即即b b2 2+c+c2 2-a-a2 2=-bc=-bc，所以，所以cosA=cosA=故故A
25、=120A=120.2.2.由由余弦定理余弦定理BCBC2 2=AB=AB2 2+AC+AC2 2-2AB-2ABACACcosAcosA，得得3=AB3=AB2 2+4-2+4-22AB2ABcos60cos60，即即ABAB2 2-2AB+1=0-2AB+1=0，解解得得AB=1.AB=1.答案：答案：1 1222bca12bc2，成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形【规律总结规律总结】利用余弦定理解三角形的两种类型及解法技巧利用余弦定理解三角形的两种类型及解法技巧(1)(1)已知三角形的两边及夹角解
26、三角形，可以先由余弦定理求已知三角形的两边及夹角解三角形，可以先由余弦定理求出第三条边，再由正弦定理求出一角，最后由出第三条边，再由正弦定理求出一角，最后由A+B+C=180A+B+C=180，求出第三个角求出第三个角.(2)(2)已知三角形的三边，可由余弦定理求三角形的两个内角，已知三角形的三边，可由余弦定理求三角形的两个内角，再由再由A+B+C=180A+B+C=180求出第三个角求出第三个角.上述两种情况，运用余弦定理时，因为是已知三边求角，或已上述两种情况，运用余弦定理时，因为是已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边，由三角形全等的判定定理可知，三角知两边及夹角求另一边，由三角形全等的
27、判定定理可知，三角形是确定的，因而解唯一形是确定的，因而解唯一.成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形【拓展延伸拓展延伸】解斜三角形的常见类型及解法解斜三角形的常见类型及解法已知条件已知条件应用定理应用定理一般解法一般解法一边和两角一边和两角(如如a a，B B，C)C)正弦定理正弦定理由由A+B+C=180A+B+C=180，求角，求角A A；由正弦；由正弦定理求出定理求出b b与与c.c.在有解时只有一在有解时只有一解解.两边和夹角两边和夹角(如如a a，b b，C)C)余弦定理、余弦定理、正弦定理正弦
28、定理由余弦定理求第三边由余弦定理求第三边c c；由正弦；由正弦定理求出小边所对的角；再由定理求出小边所对的角；再由A+B+C=180A+B+C=180求出另一角求出另一角.在有解在有解时只有一解时只有一解.成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形已知条件已知条件应用定理应用定理一般解法一般解法三边三边(a(a，b b，c)c)余弦定理余弦定理由余弦定理求出角由余弦定理求出角A A，B B；再利用；再利用A+B+C=180A+B+C=180，求出角，求出角C.C.在有解在有解时只有一解时只有一解.两边和其中两边
29、和其中一边的对角一边的对角(如如a a，b b，A)A)正弦定理、正弦定理、余弦定理余弦定理由正弦定理求出角由正弦定理求出角B B；由；由A+B+C=180A+B+C=180，求出角，求出角C C；再利用；再利用正弦定理或余弦定理求正弦定理或余弦定理求c.c.可有两可有两解、一解或无解解、一解或无解.成才之路成才之路 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教A版版 数学数学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形【变式训练变式训练】在在ABCABC中，中，a=2a=2，b=-1b=-1，C=30C=30，求，求c c及及A A，B B的值的值.【解解析析】由由余弦定理，余弦定理，得
30、得c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC=2-2abcosC=22 2+(-1)+(-1)2 2-2 22 2(-1)cos30(-1)cos30=2=2，所以，所以c=c=所以所以cosA=cosA=因为因为0 0A A B.=A.B.=C.+=90C.+=90 D.+=180 D.+=180【解解析析】选选B.B.根据根据题意题意和仰和仰角角、俯、俯角的角的概念画概念画出出草图草图，如图如图，因为两，因为两直线平行内错直线平行内错角角相等相等，所以，所以=.=.3.3.从高出海平面从高出海平面h h米的小岛看正东方向有一只船俯角为米的小岛看正东方向有一只船俯角为3030，
31、看正南方向有一只船俯角为，看正南方向有一只船俯角为4545，则此时两船，则此时两船间的距离为间的距离为()A.2hA.2h米米 B.hB.h米米C.hC.h米米 D.2 h D.2 h米米232【解解析析】选选A.A.如图如图所示，所示，BC=BC=h，AC=AC=h，所以所以AB=2AB=2h(米米).).3223hh4.4.如图所示，如图所示，D D，C C，B B在地平面同一直线上，在地平面同一直线上，DC=10mDC=10m，从从D D，C C两地测得两地测得A A点的仰角分别为点的仰角分别为3030和和4545，则，则A A点点离地面的高离地面的高ABAB等于等于()A.10m B.
32、5 mA.10m B.5 mC.5(-1)m D.5(+1)mC.5(-1)m D.5(+1)m333【解解析析】选选D.D.在在ACDACD中，中，由由正弦定理正弦定理得得AD=10(+1).AD=10(+1).在在RtABDABD中，中，AB=ADsin30AB=ADsin30=5(+1)(=5(+1)(m).).10sin 135sin 15335.5.身高为身高为1.701.70米的李明站在离旗杆米的李明站在离旗杆2020米的地方，目测米的地方，目测该旗杆的高度，若李明此时的仰视角为该旗杆的高度，若李明此时的仰视角为3030，则该旗，则该旗杆的高度约为杆的高度约为_米米.(.(精确到精
33、确到0.10.1米米)【解解析析】h=+1.70=+1.7013.2(13.2(米米).).答案：答案：13.213.2203【知识探究知识探究】知识点知识点 高度和角度的测量问题高度和角度的测量问题观察图形，回答下列问题：观察图形，回答下列问题：问题问题1 1：如图：如图1 1，求高度时，底可到达时，如何求解？，求高度时，底可到达时，如何求解？问题问题2 2：如图：如图2 2，图，图3 3，求高度时，底不可到达时，如何，求高度时，底不可到达时，如何求解？求解？【总结提升总结提升】测量高度问题时常见的三种数学模型及测量高度问题时常见的三种数学模型及其特征其特征(1)(1)三种模型三种模型.底部
34、可到达底部可到达底部不可到达底部不可到达解直角三角形解直角三角形解直角三角形解直角三角形解一般三角形解一般三角形(2)(2)特征特征.底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形.底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向直线上，观测者一直向“目标物目标物”前进前进.底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面.此类问题此类问题中观测者两次观测点所在直线不经过中观测者两次观测
35、点所在直线不经过“目标物目标物”.【题型探究题型探究】类型一类型一 高度问题高度问题【典例典例】1.(20151.(2015湖北高考湖北高考)如图，一辆汽车在一条如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到水平的公路上向正西行驶，到A A处时测得公路北侧一山处时测得公路北侧一山顶顶D D在西偏北在西偏北3030的方向上，行驶的方向上，行驶600m600m后到达后到达B B处，测处，测得此山顶在西偏北得此山顶在西偏北7575的方向上，仰角为的方向上，仰角为3030，则此，则此山的高度山的高度CD=_m.CD=_m.2.2.如图，为了测量河对岸的塔高如图，为了测量河对岸的塔高ABAB，有不，有不
36、同的方案，其中之一是选取与塔底同的方案，其中之一是选取与塔底B B在同在同一水平面内的两个观测点一水平面内的两个观测点C C和和D D，测得，测得CD=CD=200200米，在米，在C C点和点和D D点测得塔顶点测得塔顶A A的仰角分别是的仰角分别是4545和和3030，且，且CBD=30CBD=30，求塔高，求塔高AB.AB.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，图中西偏北中，图中西偏北3030及西偏北及西偏北7575的分别是哪个角？仰角为的分别是哪个角？仰角为3030指的是哪个角？指的是哪个角？提示：提示：图图中中西偏北西偏北3030即即CAB=30CAB=30，西偏北西偏北75
37、75即即ABCABC的的补补角角.仰仰角为角为3030即即DBC=30DBC=30.2.2.典例典例2 2中，在中，在BCDBCD中，已知中，已知CDCD，CBDCBD，如何建立关，如何建立关于塔高的方程？于塔高的方程？提示：提示：设设AB=hAB=h，将将BCBC与与BDBD分别分别用用h h表表示，在示，在BCDBCD中，中，利用余弦定理利用余弦定理建立建立关关于塔高于塔高h h的的方程方程求解求解.【解解析析】1.1.在在ABCABC中，中，CAB=30CAB=30，ACB=75ACB=75-3030=45=45，根据根据正弦定理知，正弦定理知，即即BC=BC=sinBAC=(sinBA
38、C=(m)，所以，所以CD=BCCD=BCtanDBC=(anDBC=(m).).答案：答案：BCABsin BACsin ACB，ABsin ACB600 1300 2222 3300 2100 63100 62.2.在在RtABCABC中，中，ACB=45ACB=45，设设AB=AB=h，则则BC=BC=h；在在RtABDABD中，中，ADB=30ADB=30，则则BD=BD=h.在在BCDBCD中，中，由由余弦定理可余弦定理可得得CDCD2 2=BC=BC2 2+BD+BD2 2-2-2BCBCBDBDcosCBDcosCBD，即即2002002 2=h2 2+(+(h)2 2-2-2h
39、 h ，所以所以h2 2=200=2002 2，解，解得得h=200(=200(h=-200=-200舍去舍去).).即塔高即塔高ABAB为为200200米米.33332【方法技巧方法技巧】测量高度的一般步骤测量高度的一般步骤(1)(1)根据已知条件画出示意图根据已知条件画出示意图.(2)(2)分析与问题有关的三角形分析与问题有关的三角形.(3)(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解求解.(4)(4)把解出的答案还原到实际问题中把解出的答案还原到实际问题中.【变式训练变式训练】(2015(2015潍坊高二潍坊高二检测检测)如图，为测量
40、山高如图，为测量山高MNMN，选，选择择A A和另一座山的山顶和另一座山的山顶C C为测量观为测量观测点测点.从从A A点测得点测得M M点的仰角点的仰角MAN=60MAN=60，C C点的仰角点的仰角CAB=45CAB=45以及以及MAC=75MAC=75；从；从C C点测得点测得MCA=60MCA=60.已知山高已知山高BC=100mBC=100m，则山高，则山高MN=_m.MN=_m.【解解析析】如图如图，在在RtABCABC中，中，BC=100BC=100，CAB=45CAB=45，所以所以AC=100 .AC=100 .在在A AMC C中，中，CACAM=75=75，ACACM=6
41、0=60，所以所以A AMC=45C=45.由由正弦定理知正弦定理知所以所以A AM=100 .=100 .2AM100 2sin 60sin 45，3在在RtA AMN中，中，NA AM=60=60，所以所以MN=A=AMsin60sin60=100 =100 =150(=150(m).).答案：答案：150150332【补偿训练补偿训练】某人从塔某人从塔ABAB的正东的正东C C处沿着南偏西处沿着南偏西6060的的方向前进方向前进4040米后到达米后到达D D处，望见塔在东北方向，若沿途处，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为测得塔的最大仰角为3030，求塔高，求塔高.【解题解题指南
42、指南】解答时可以先解答时可以先依据依据题意题意画画出出图图形，形，着重着重思考何思考何时时仰仰角角最大最大，要，要突破这一难点突破这一难点，可，可转化转化为为沿途沿途观测点何处距塔底观测点何处距塔底B B距离最小距离最小.【解解析析】根据根据题意题意画画出示意出示意图图，且且B BECD.CD.在在BDCBDC中，中，CD=40CD=40，BCD=30BCD=30，DBC=135DBC=135.由由正弦定理，正弦定理，得得所以所以BD=BD=CDBDsin DBCsin DCB，40sin 3020 2.sin 135在在RtB BED D中，中，BDBDE=180=180-135-135-3
43、0-30=15=15，所以所以B BE=DBsin15=DBsin156220 210(3 1).4在在RtABABE中，中，A AEB=30B=30，所以所以AB=BAB=BEtan 30an 30=(=(米米).).故塔高故塔高为为 米米.10(33)310(33)3类型二类型二 角度问题角度问题【典例典例】1.1.已知两座灯塔已知两座灯塔A A和和B B与海洋观察站与海洋观察站C C的距离相的距离相等，灯塔等，灯塔A A在观察站在观察站C C的北偏东的北偏东4040，灯塔，灯塔B B在观察站在观察站C C的南偏东的南偏东6060，则灯塔，则灯塔A A在灯塔在灯塔B B的的()A.A.北偏
44、东北偏东1010 B.B.北偏西北偏西1010C.C.南偏东南偏东1010 D.D.南偏西南偏西10102.2.如图，甲船在如图，甲船在A A处，乙船在处，乙船在A A处的南偏东处的南偏东4545方向，距方向，距A A有有9 9海里的海里的B B处，并以处，并以2020海海里每小时的速度沿南偏西里每小时的速度沿南偏西1515方向行驶，方向行驶，若甲船沿南偏东若甲船沿南偏东度的方向，并以度的方向，并以2828海里每小时的速海里每小时的速度行驶，恰能在度行驶，恰能在C C处追上乙船处追上乙船.问用多少小时追上乙船，问用多少小时追上乙船，并求并求sinsin的值的值.(.(结果保留根号，无需求近似值
45、结果保留根号，无需求近似值)【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，分析题中角的关系的关键是什么？中，分析题中角的关系的关键是什么？提示：提示：确确定角的关定角的关系系的关的关键是画键是画出出图图形，形，并并结合结合方向方向角的角的有有关关概念概念求解求解.2.2.典例典例2 2中，如何求中，如何求ABCABC？提示提示：ABC=180ABC=180-15-15-45-45=120=120.【解解析析】1.1.选选B.B.如图如图，由由题意，知题意，知AC=BCAC=BC，ACB=80ACB=80，所以所以CBA=50CBA=50，+CBA=60+CBA=60.所以所以=10=10，即灯
46、塔即灯塔A A在在灯塔灯塔B B的的北偏西北偏西1010.2.2.设设用用t小小时，时，甲船追上乙船甲船追上乙船，且且在在C C处相遇处相遇，那么那么在在ABCABC中，中，AC=28AC=28t，BC=20BC=20t，AB=9AB=9，ABC=180ABC=180-15-15-45-45=120=120，由由余弦定理余弦定理得得：(28(28t)2 2=81+(20=81+(20t)2 2-2-29 92020t()()，128128t2 2-60-60t-27=0-27=0，解，解得得t=或或t=-(=-(舍去舍去)，1234932所以所以AC=21(AC=21(海里海里)，BC=15(
47、BC=15(海里海里)，根据根据正弦定理，正弦定理，得得sinBAC=sinBAC=cosBAC=cosBAC=又又ABC=120ABC=120，BACBAC为为锐锐角，角，所以所以=45=45-BAC-BAC，BCsin ABC5 3AC14，275111.1414sinsin=sin(45=sin(45-BAC)-BAC)=sin45=sin45cosBAC-cos45cosBAC-cos45sinBAC=sinBAC=11 2 5 6.28【延伸探究延伸探究】典例典例2 2中若乙船向正南方向行驶，速度未中若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东知，而甲船沿南偏东1515的方向行驶恰
48、能与乙船相遇，的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度其他条件不变，试求乙船的速度.【解解析析】设乙船设乙船的的速度速度为为x x海里每小海里每小时，用时，用t t小小时时甲船甲船追上乙船追上乙船，且且在在C C处相遇处相遇(如图如图所示所示)，则则在在ABCABC中，中，AC=28AC=28t，BC=BC=xt，CAB=30CAB=30，ABC=135ABC=135.由由正弦定理正弦定理得得ACBCsin ABCsin CAB，即即所以所以 (海里每小海里每小时时).).答：答：乙船乙船的的速度速度为为14 14 海里每小海里每小时时.28txtsin 135sin 30，12
49、828 sin 302x14 2sin 135222【方法技巧方法技巧】测量角度问题的基本思路测量角度问题的基本思路(1)(1)测量角度问题关键是在弄清题意的基础上，画出表测量角度问题关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离.(2)(2)根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解将解得的结果转化为实际问题的解.【拓展延伸拓展延伸】解决追及问题的步骤解决追及问题的步骤(1)(1)把实际问题转化为数学问题把实际问题转化为数学问题.(2)(2)画
50、出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角和距离，借助正弦定理或余弦定理解决问题和距离，借助正弦定理或余弦定理解决问题.(3)(3)把数学问题还原到实际问题中去把数学问题还原到实际问题中去.【变式训练变式训练】如图所示，位于如图所示，位于A A处的处的信息中心获悉：在其正东方向相距信息中心获悉：在其正东方向相距4040海里的海里的B B处有一艘渔船遇险，在原处有一艘渔船遇险，在原地等待营救地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西信息中心立即把消息告知在其南偏西3030、相距相距2020海里的海里的C C处的乙船，现乙船朝北偏东处的乙船，现乙船朝北
