1、1第二章第二章 信号的采样与重建信号的采样与重建主讲：赵发勇 zfy_物电学院2、数字信号处理系统的模拟接口、数字信号处理系统的模拟接口、模拟信号的采样与重建、模拟信号的采样与重建、采样与重建中的模拟低通滤波器指标、采样与重建中的模拟低通滤波器指标特性特性、连续时间带通信号的采样、连续时间带通信号的采样、离散时间信号的采样与插值、离散时间信号的采样与插值目录目录32.1 数字信号处理的模拟接口数字信号处理的模拟接口 数字信号处理是用数字序列来表示信号，通过数字信号处理是用数字序列来表示信号，通过软硬件实现对序列的处理。然而，要对自然方式软硬件实现对序列的处理。然而，要对自然方式产生的模拟信号进
2、行数字信号处理，首先要对模产生的模拟信号进行数字信号处理，首先要对模拟信号进行数字化，一个简单的数字信号处理系拟信号进行数字化，一个简单的数字信号处理系统如下图所示。统如下图所示。抗混叠滤波器：模拟低通抗混叠滤波器：模拟低通 采样保持器：将瞬时幅度保留采样保持器：将瞬时幅度保留A/DA/D转换器：模拟转换器：模拟数字转换数字转换 D/AD/A转换器：数字转换器：数字模拟转换模拟转换42.1 数字信号处理的模拟接口数字信号处理的模拟接口研究内容研究内容信号经采样后发生的变化（如频谱的变化）信号经采样后发生的变化（如频谱的变化）信息是否丢失（采样序列能否代表原始信号、如信息是否丢失（采样序列能否代
3、表原始信号、如何不失真地还原信号）何不失真地还原信号）由离散信号恢复连续信号的条件由离散信号恢复连续信号的条件数字信号的采样与插值数字信号的采样与插值采样率变化，信息是采样率变化，信息是否丢失。否丢失。52.2 模拟信号的采样与重建模拟信号的采样与重建抽样定理抽样定理：设一个连续模拟信号：设一个连续模拟信号xa(t)中的最高频中的最高频率率 为为 fH，则以间隔时间为，则以间隔时间为T 1/2fH的周期性冲激的周期性冲激脉冲对它抽样时，脉冲对它抽样时，xa(t)将被这些抽样值所完全确将被这些抽样值所完全确定。定。分析：分析：采样过程采样过程)(txa)(txpP(t)Tfs16理想采样信号的频
4、谱：开关闭合时间理想采样信号的频谱：开关闭合时间0时，为理时，为理想采样。因此，可以认为想采样。因此，可以认为p(t)是周期性的冲激函数是周期性的冲激函数。()()nM ttnT )()()(tMtxtxaanananTtnTxnTttx)()()()(2.2 模拟信号的采样与重建模拟信号的采样与重建7)(txa0t)(jXa0)(tM0t0)(txa相乘相卷ssss00tT)(jXaT1FTFT时域抽样频域周期重复)()(nnTttMnssnjM)()(mm1()()aasmXjXjjmT 采样信号的频谱采样信号的频谱2.2 模拟信号的采样与重建模拟信号的采样与重建FT8结论结论：理想采样信
5、号的频谱是连续信号频谱的周期：理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓延拓,重复周期为重复周期为 s s(采样频率采样频率)。因为信号因为信号xa(t)的最高频率小于的最高频率小于fH，所以当抽样，所以当抽样频率频率fs 2fH时，则中包含的每个原信号频时，则中包含的每个原信号频谱之间互不重叠。这样就能够从中谱之间互不重叠。这样就能够从中用一个低通滤波器分离出信号用一个低通滤波器分离出信号xa(t)的频谱，的频谱，也就是能从抽样信号中恢复原信号。也就是能从抽样信号中恢复原信号。这一最低抽样速率这一最低抽样速率2fH称为称为奈奎斯特采样频率奈奎斯特采样频率。与此相应的最小抽样时间间隔称为与此相
6、应的最小抽样时间间隔称为奈奎斯特间隔奈奎斯特间隔。2.2 模拟信号的采样与重建模拟信号的采样与重建)(jXa)(jXa)(jXa)(jXa992.2 模拟信号的采样与重建模拟信号的采样与重建10答答:信号最高频谱超过信号最高频谱超过 s s/2/2问题问题1 1:在理想采样频谱中在理想采样频谱中,什么情况下会出现频谱什么情况下会出现频谱的的“混叠混叠”现象现象?s/2称折叠频率ss0)(jXaT1)(jXa0mm0)(jXaT10)(jXaT1m s/22.2 模拟信号的采样与重建模拟信号的采样与重建问题问题2 2:工程上工程上,采样之前要加一抗混叠滤波器采样之前要加一抗混叠滤波器?答答:使得
7、信号的上限频率小于使得信号的上限频率小于 s s/2,/2,从而防止频从而防止频谱的混叠谱的混叠112.2 模拟信号的采样与重建模拟信号的采样与重建采样的恢复采样的恢复：如果理想采样满足奈奎斯特定理：如果理想采样满足奈奎斯特定理（fs 2fm)，可以，可以将采样信号通过一个理想低通滤将采样信号通过一个理想低通滤波器来波器来恢复。恢复。0t)(txa)(jXammss2/s2/s)(jGsTT)(tg0tTT0122.2 模拟信号的采样与重建模拟信号的采样与重建()()*()()()*()()()aaananx tx tg tx nTtnTg tx nT g tnT221()()22sinsin
8、22ssj tj tssTg tG jededttTttT 信号经过信号经过理想低通滤波器后，时域为卷积，结果理想低通滤波器后，时域为卷积，结果就是被恢复的信号在采样点的值就等于就是被恢复的信号在采样点的值就等于xa(nT),采采样点之间的值由各采样值内插函数的波形叠加而样点之间的值由各采样值内插函数的波形叠加而成，公式如下，图示见下页。成，公式如下，图示见下页。内插公式内插公式132.2 模拟信号的采样与重建模拟信号的采样与重建被恢复的信号在采样点的值就等于被恢复的信号在采样点的值就等于Xa(nT),采样点之间的采样点之间的信号是由各采样值内插函数波形叠加而成信号是由各采样值内插函数波形叠加
9、而成。0t)(txasT)(txa卷积包络0t142.3 采样与重建中的模拟低通滤波器指标特性采样与重建中的模拟低通滤波器指标特性滤波器的幅频特性：低通滤波器在通带内逼近滤波器的幅频特性：低通滤波器在通带内逼近1，阻，阻带内逼近带内逼近0rcjHjH,1121性能要求：性能要求：15rcjHAtjHjH,lg201lg201lg20,1lg2011lg20lg2022max11minmax2.3 采样与重建中的模拟低通滤波器指标特性采样与重建中的模拟低通滤波器指标特性技术指标技术指标通带波动通带波动最小阻带衰减最小阻带衰减At1maxjH式中，通带内式中，通带内2maxjH阻带内阻带内16抗混
10、叠滤波器的指标特性抗混叠滤波器的指标特性理想的抗混叠滤波器理想的抗混叠滤波器2021)(ssjH理想滤波器在实际应用中无法实现。设计过渡带理想滤波器在实际应用中无法实现。设计过渡带2.3 采样与重建中的模拟低通滤波器指标特性采样与重建中的模拟低通滤波器指标特性1717过渡带宽均和采样频率直接相关。采样频率越低，过渡带宽均和采样频率直接相关。采样频率越低，s s/2/2越靠近越靠近c c，则过渡带越窄，对抗混叠滤波器，则过渡带越窄，对抗混叠滤波器的要求越高。的要求越高。为了降低对模拟抗混叠滤波器的指标要求，可以采为了降低对模拟抗混叠滤波器的指标要求，可以采取提高采样频率的方法。取提高采样频率的方
11、法。2.3 采样与重建中的模拟低通滤波器指标特性采样与重建中的模拟低通滤波器指标特性1818平滑滤波器的指标特性平滑滤波器的指标特性D/A转换器的输出端需要一平滑滤波器。转换器的输出端需要一平滑滤波器。图：零阶保持器的模型和冲击响应图：零阶保持器的模型和冲击响应零阶保持器的频率响应：零阶保持器的频率响应：2/2/sin00TejedtejHTjTtjTtjz2.3 采样与重建中的模拟低通滤波器指标特性采样与重建中的模拟低通滤波器指标特性1919零阶保持器的频率响应零阶保持器的频率响应它具有指数衰减的特性，并且在它具有指数衰减的特性，并且在0H/2jkTkzs处，滤除滤除s/2s/2以上的分量，
12、以上的分量，平滑滤波器应当逼近平滑滤波器应当逼近2022/sin2/)(ssTjeTjH两点困难：带内为单调上升的模拟滤波器两点困难：带内为单调上升的模拟滤波器 相位超前相位超前TT的非因果滤波器的非因果滤波器2.3 采样与重建中的模拟低通滤波器指标特性采样与重建中的模拟低通滤波器指标特性20只要选择的采样率只要选择的采样率ss远大于远大于2c2c，2022/sin2/)(ssTjeTjH1()02csH j 便可以写成便可以写成cc远小于远小于s/2s/2时，零阶保持器的频率响应可近似时，零阶保持器的频率响应可近似地看作是平坦的，而相位超前半个采样周期的非因地看作是平坦的，而相位超前半个采样
13、周期的非因果模拟系统是无法实现的。果模拟系统是无法实现的。2.3 采样与重建中的模拟低通滤波器指标特性采样与重建中的模拟低通滤波器指标特性212.4 连续时间带通信号的采样连续时间带通信号的采样带通信号：带通信号：由低通信号调制而成由低通信号调制而成为了防止混叠，为了防止混叠，0,121其中22s1 1、模拟信号的频谱是带通的，大量的频率分量为、模拟信号的频谱是带通的，大量的频率分量为零，采样所得的离散时间信号的频率同样在很宽零，采样所得的离散时间信号的频率同样在很宽的频带上其频率分量为的频带上其频率分量为0 0 。2 2、一般情况下，、一般情况下，11和和22均比较高，采样频率均比较高，采样
14、频率ss就更高，甚至无法实现。就更高，甚至无法实现。22降低采样率降低采样率ss，采样后的带通信号会产生混叠，但上，采样后的带通信号会产生混叠，但上述带通信号的大量频率分量为零，如果仅仅与零分量述带通信号的大量频率分量为零，如果仅仅与零分量的频带产生混叠，带通信号依然可以重建。的频带产生混叠，带通信号依然可以重建。12令带通信号带宽为令带通信号带宽为假设最高频率假设最高频率22是带宽的整数倍是带宽的整数倍M2选择合适的采样率选择合适的采样率ss来满足这个条件来满足这个条件Ms222采样率采样率ss比奈奎斯特采样频率比奈奎斯特采样频率2 22 2要低，称为欠要低，称为欠采样。欠采样信号的傅里叶变
15、换的表达式：采样。欠采样信号的傅里叶变换的表达式：11()()(2)aasammXjXjjmXjmTT 2.4 连续时间带通信号的采样连续时间带通信号的采样23确保平移后，所有频率分量不重叠，从而没有混叠。确保平移后，所有频率分量不重叠，从而没有混叠。经过一个理想的通带为经过一个理想的通带为,21增益为增益为T的带通滤波器，可以恢复出原信号。的带通滤波器，可以恢复出原信号。2.4 连续时间带通信号的采样连续时间带通信号的采样24如果如果2不是带宽的整数倍，可以人为地向左或向不是带宽的整数倍，可以人为地向左或向右扩展，使得带通信号的最高频率是扩展带宽的整右扩展，使得带通信号的最高频率是扩展带宽的
16、整数倍。数倍。2.4 连续时间带通信号的采样连续时间带通信号的采样252.5 离散时间信号的采样与插值离散时间信号的采样与插值 y nx nM1MTTMfMTTfss一、离散信号的采样一、离散信号的采样整数整数M倍抽取：倍抽取：离散时间信号的离散时间信号的采样实际上是一抽取过程，它使采样率降低。考虑采样率采样实际上是一抽取过程，它使采样率降低。考虑采样率降低倍的过程，即降低倍的过程，即原有的离散信号的采样周期为原有的离散信号的采样周期为T，经，经M倍抽取后为倍抽取后为T。则则式中式中fs和和分别为原来和分别为原来和新的采样频率。新的采样频率。,sf图图2.20=3262.5 离散时间信号的采样
17、与插值离散时间信号的采样与插值 其他,02,0,MMnnxnx neMnxkMnnxnxMlMnljk ,110 2下面考察抽取后的信号频谱与原信号频说的关系。下面考察抽取后的信号频谱与原信号频说的关系。MmxMmxmy括号中的项对应周期为的周期单位脉冲序列的傅立叶级括号中的项对应周期为的周期单位脉冲序列的傅立叶级数表示。数表示。272.5 离散时间信号的采样与插值离散时间信号的采样与插值 mmmmzMmxzmyzY 1012102102111MlMMljMlmMmMlmjmMmMlMlmjmMmzeXMzemxMzeMmxzmxzY281021MlMljjeXMeY2.5 离散时间信号的采样
18、与插值离散时间信号的采样与插值29MjMjjeXeXMeY21MeXjw,0如果信号满足0,1MjjeXMeY抽取后的信号无混叠，否则抽取后的信号将产生混叠，抽取后的信号无混叠，否则抽取后的信号将产生混叠，引起混叠失真。引起混叠失真。2.5 离散时间信号的采样与插值离散时间信号的采样与插值3030为防止混叠为防止混叠,应滤应滤除高频分量，采除高频分量，采用一抗混叠低通用一抗混叠低通滤波器：滤波器：MMeHj,0,12.5 离散时间信号的采样与插值离散时间信号的采样与插值312.5 离散时间信号的采样与插值离散时间信号的采样与插值1TTLssfLf二、离散信号的插值二、离散信号的插值整数整数L倍
19、内插：倍内插：离散时间信号的离散时间信号的最简单的插值方法是插零，即在信号两个采样点之间和、最简单的插值方法是插零，即在信号两个采样点之间和、插入插入-个零，此时采样率提高倍。个零，此时采样率提高倍。则则图图2.22L=3322.5 离散时间信号的采样与插值离散时间信号的采样与插值下面分析插值后的信号频谱与原信号频说的关系。下面分析插值后的信号频谱与原信号频说的关系。其他,0,2,0 ,0LLmLmxmymmznyzY00nnLznxzY0 LzXzY0LjjeXeY033y y0 0(m m)频谱中不仅包含基带频率，而且包含以采频谱中不仅包含基带频率，而且包含以采样频率的谐波为中心的基带的镜
20、像。样频率的谐波为中心的基带的镜像。2.5 离散时间信号的采样与插值离散时间信号的采样与插值34 为恢复基带信号并去除不需要的镜像分量，为恢复基带信号并去除不需要的镜像分量，有必要用一数字低通滤波器对信号有必要用一数字低通滤波器对信号y0(m)y0(m)进行滤波。进行滤波。其他 ,0 ,LGeHj 其他 ,0 ,LeGXeXeHeYjLjjj2.5 离散时间信号的采样与插值离散时间信号的采样与插值35 如要求如要求y y(0)=(0)=x x(0)(0)，则应有，则应有G G=L L，即对理想的内，即对理想的内插器要求能恢复抽取前的信号，增益插器要求能恢复抽取前的信号，增益必须等于必须等于。LGxLdeXGdeXGdeYyjLLLjj)0(2221)0(/,2.5 离散时间信号的采样与插值离散时间信号的采样与插值36362.5 离散时间信号的采样与插值离散时间信号的采样与插值37 采样率改变为任意有理数采样率改变为任意有理数L/ML/M。先内插。先内插L L倍，再倍，再抽取抽取M M倍。倍。其他 ,0,min ,MLLeHj2.5 离散时间信号的采样与插值离散时间信号的采样与插值
