1、2021-2022 学年湖北省武汉市汉阳区九年级（上）期中数学试卷学年湖北省武汉市汉阳区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（一、选择题（每小题每小题 3 分，分，共共 30 分）分）1（3 分）将一元二次方程 3x22x 化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（）A3，2 B3，0 C3，1 D3，1 2（3 分）用配方法解方程 x26x+50，配方后所得的方程是（）A（x+3）24 B（x3）24 C（x+3）24 D（x3）24 3（3 分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A赵爽弦图 B科克曲线 C笛卡尔心形线 D斐波那契螺旋线 4（3 分
2、）若 x1，x2是一元二次方程 x23x20 的两个根，则 x1x2的值是（）A3 B2 C3 D2 5（3 分）已知O 的半径等于 5，圆心 O 到点 P 的距离为 3，那么点 P 与O 的位置关系是（）A点 P 在O 外 B点 P 在O 内 CP 在O 上 D无法确定 6（3 分）在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年 100 万字增加到九年级的每年 121 万字设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为 x，根据题意，所列方程正确的是（）A100（1+x）2121 B1002（1+x）121 C100（1+2x）121 D100（1+x）+100（1+x）2121 7（
3、3 分）如图，在ABC 中，BAC108，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到ABC，若点 B恰好落在 BC 边上，ABCB，则C的度数为（）A18 B20 C22 D24 8（3 分）在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+4x 经变换后得到抛物线 yx24x，则这个变换可以是（）A向左平移 4 个单位 B向右平移 4 个单位 C向左平移 8 个单位 D向右平移 8 个单位 9（3 分）设 x1，x2是一元二次方程 x2+x30 的两根，则 x134x22+20 等于（）A1 B5 C11 D13 10（3 分）如图，ABC 是圆 O 的内接正三角形，弦 EF 过 BC 的中点 D，且 EF
4、AB，若 AB4，则 DE的长为（）A1 B1 C D2 5 3二、填空题（二、填空题（每小题每小题 3 分，分，共共 18 分）分）11（3 分）在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是 12（3 分）一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡 56 张，则这个小组共有 人 13（3 分）如图，将O 的劣弧 AB 翻折，D 为优弧 AB 上一点，AD 交翻折后的弧 AB 于点 C，若AOB80，则DCB 的大小是 14（3 分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率 y 与加工时间 x（单位：min）满足函数表达式 y0.2x2+1.
5、5x2，则最佳加工时间为 min 15（3 分）关于抛物线 yax22x+1（a0），给出下列结论：当 a0 时，抛物线与直线 y2x+2 没有交点；若抛物线与 x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则 a1 其中正确结论的序号是 16（3 分）如图，等腰ABC 中，BAC120，ABAC，D 是 AB 上一点，AD2，BD4，E 是边 BC上的动点，若点 E 绕点 D 逆时针旋转 30的对应点是 F，连 CF，则 CF 的最小值是 三、解答题（三、解答题（共共 8 小题，小题，
6、共共 72 分）分）17（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+5xm0 的一个根是 2，求 m 的值及方程的另一个根 18（8 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴为直线 x1，图象交 x 轴于 A（3，0）、B（1，0）两点，交 y 轴于点 C（0，3），根据图象解答下列问题：（1）直接写出方程 ax2+bx+c0 的两个根；（2）直接写出不等式 ax2+bx+c0 的解集；（3）直接写出不等式 ax2+bx+c3 的解集 19（8 分）如图，某农户准备盖一所小型的矩形鸡场，其中一面靠墙，墙足够长，另外三面分别采用木栅栏和新型材料，两种材料一共购进 20 米
7、，其中新型材料至少购进 8 米，若鸡场的面积为 42 平方米，求新型材料的长度？20（8 分）已知正方形 ABCD，点 E 是 CD 的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）（1）在图（1）中，分别画出另外三边的中点；（2）在图（2）中，连接 AE，将AED 绕着点 A 顺时针旋转 90，画出旋转后的三角形 21（8 分）如图，在半径为 5 的中，AB 为O 的直径，OD弦 AC 交O 于 D，垂足是 H，BD 交 AC于 E，过点 E 作 EFEB 交O 于 F，且 EFEB，连接 OF，AF，BF（1）求证：OFEODE；（2）若 EH1，求 AF 的长 22（10 分）某公
8、司电商平台，在 2021 年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量 y（件）是关于售价 x（元/件）（x 为正整数）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价 x，周销售量 y，周销售利润 W（元）的三组对应值数据 x 40 70 90 y 180 90 30 W 3600 4500 2100（1）该商品进价 （元/件），y 关于 x 的函数解析式是 （不要求写出自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求售价不低于进价，售价 x 为多少时，周销售利润 W 最大，并求出此时的最大利润；（3）因该商品原料涨价，进价提高了 m（元/件）（m0 的整数），该商品在今后的销售
9、中，公司发现当售价为 63 元/件时，周销售利润最大，请直接写出 m 的值 23（10 分）如图，ABC 为等边三角形，D 为 BC 边上一点，连接 AD（1）如图（1），将 AD 绕点 A 顺时针旋转 60得到 AE连接 DE，BE，求证：ABEACD；（2）如图（2），将 AD 绕点 A 顺时针旋转 120得到 AE，连接 CE 交 AB 于 F，猜想 AF 与 BD 存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图（3），以 AC 为斜边向 AC 边右侧作 RtAMC，连接 BM，N 为 BM 的中点，连接 DN若 AB24，CD8，当 DN 取最小值时，请直接写出BDN 的面积 24（12
10、分）已知抛物线 yx2+bx+c（bc0）的顶点为 D，与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 左边）（1）若该抛物线的顶点 D 坐标为（1，4），求其解析式；（2）如图（1），已知抛物线的顶点 D 在直线 l：yx+3 上滑动，且与直线 l 交于另一点 E，若ADE的面积为，求抛物线顶点 D 的坐标；158（3）如图（2），在（1）的条件下，P，Q 为 y 轴上的两个关于原点对称的动点，射线 BP，BQ 分别与抛物线交于 M，N 两点，求 MN 与 PQ 满足的数量关系 2021-2022 学年湖北省武汉市汉阳区九年级（上）期中数学试卷学年湖北省武汉市汉阳区九年级（上）期中数学试卷 参考答
11、案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（一、选择题（每小题每小题 3 分，分，共共 30 分）分）1（3 分）将一元二次方程 3x22x 化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（）A3，2 B3，0 C3，1 D3，1【解答】解：3x22x，移项得：3x2x20，二次项系数和一次项系数分别是 3 和1，故选：D 2（3 分）用配方法解方程 x26x+50，配方后所得的方程是（）A（x+3）24 B（x3）24 C（x+3）24 D（x3）24【解答】解：x26x+50，x26x5，则 x26x+95+9，即（x3）24，故选：D 3（3 分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴
12、对称图形又是中心对称图形的是（）A赵爽弦图 B科克曲线 C笛卡尔心形线 D斐波那契螺旋线【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意 故选：B 4（3 分）若 x1，x2是一元二次方程 x23x20 的两个根，则 x1x2的值是（）A3 B2 C3 D2【解答】解：根据题意得 x1x22 故选：B 5（3 分）已知O 的半径等于 5，圆心 O 到点 P 的距离为 3，那么点 P 与O 的位置关系是（）A点 P
13、 在O 外 B点 P 在O 内 CP 在O 上 D无法确定【解答】解：圆 O 的半径为 5，P 到圆心的距离为 3，35，点 P 在圆 O 的内部，故选：B 6（3 分）在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年 100 万字增加到九年级的每年 121 万字设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为 x，根据题意，所列方程正确的是（）A100（1+x）2121 B1002（1+x）121 C100（1+2x）121 D100（1+x）+100（1+x）2121【解答】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为 x，根据题意即可列出方程：100（1+x）2121 故选：A 7（3
14、分）如图，在ABC 中，BAC108，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到ABC，若点 B恰好落在 BC 边上，ABCB，则C的度数为（）A18 B20 C22 D24【解答】解：ABCB，CCAB，ABBC+CAB2C，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到ABC，CC，ABAB，BABB2C，B+C+CAB180，3C180108，C24，CC24，故选：D 8（3 分）在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+4x 经变换后得到抛物线 yx24x，则这个变换可以是（）A向左平移 4 个单位 B向右平移 4 个单位 C向左平移 8 个单位 D向右平移 8 个单位【解答】解：yx2+4x（x
15、+2）24，顶点坐标是（2，4）yx24x（x2）24，顶点坐标是（2，4）所以将抛物线 yx2+4x 向右平移 4 个单位得到抛物线 yx24x，故选：B 9（3 分）设 x1，x2是一元二次方程 x2+x30 的两根，则 x134x22+20 等于（）A1 B5 C11 D13【解答】解：x1，x2是一元二次方程 x2+x30 的两根，x12+x130，x22+x230，x12x1+3，x22x2+3，x13x1（x1+3）x12+3x1（x1+3）+3x14x13，x134x22+204x134（x2+3）+204（x1+x2）+5，x1，x2是一元二次方程 x2+x30 的两根，x1+
16、x21，x134x22+204（1）+51 故选：A 10（3 分）如图，ABC 是圆 O 的内接正三角形，弦 EF 过 BC 的中点 D，且 EFAB，若 AB4，则 DE的长为（）A1 B1 C D2 5 3【解答】解：方法一：如图过 C 作 CNAB 于 N，交 EF 于 M，EFAB，CMEF 根据圆和等边三角形的性质知：CN 必过点 O EFAB，D 是 BC 的中点，DG 是ABC 的中位线，DGAB2；=12CGD 是等边三角形，CMDG，DMMG；OMEF，由垂径定理得：EMMF，DEGF 弦 BC、EF 相交于点 D，BDDCDEDF，即 DE（DE+2）4；解得 DE1（负
17、值舍去）=5方法二：如图，连接 OA，OE，OA2（2OA）2+22，3 OA=433EFAB，D 是 BC 的中点，DG 是ABC 的中位线，DGAB2；=12CGD 是等边三角形，CMDG，DMMG1，CD2，CM，=22 12=3OEOCOA，=433OMOCCM，=33EM，=2 2=5DEEMDM1=5 故选：B 二、填空题（二、填空题（每小题每小题 3 分，分，共共 18 分）分）11（3 分）在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，3）【解答】解：点（2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，3）故答案是：（2，3）12（3 分）一个小组有若干人，新年互送贺卡，
18、若全组共送贺卡 56 张，则这个小组共有 8人【解答】解：设这小组有 x 人 由题意得：x（x1）56，解得 x18，x27（不合题意，舍去）答：这个小组共有 8 人 故答案为：8 13（3 分）如图，将O 的劣弧 AB 翻折，D 为优弧 AB 上一点，AD 交翻折后的弧 AB 于点 C，若AOB80，则DCB 的大小是 40 【解答】解：作 C 点关于 AB 的对称点 C，连接 AC、BC，作所对的圆周角APB，如图，ABC 点和 C关于 AB 对称，ACBACB，ACB+DCB180，ACB+APB180，DCBP，PAOB8040，=12=12DCB40 故答案为：40 14（3 分）加
19、工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率 y 与加工时间 x（单位：min）满足函数表达式 y0.2x2+1.5x2，则最佳加工时间为3.75min【解答】解：根据题意：y0.2x2+1.5x2，当 x3.75 时，y 取得最大值，=-1.52 (0.2)=则最佳加工时间为 3.75min 故答案为：3.75 15（3 分）关于抛物线 yax22x+1（a0），给出下列结论：当 a0 时，抛物线与直线 y2x+2 没有交点；若抛物线与 x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成
20、的三角形区域内（包括边界），则 a1 其中正确结论的序号是 【解答】解：由，消去 y 得到，ax24x10，y=2x+2=2 2+116+4a，a0，的值可能大于 0，抛物线与直线 y2x+2 可能有交点，故错误 抛物线与 x 轴有两个交点，44a0，a1，抛物线经过（0，1），且 x1 时，ya10，抛物线与 x 轴一定有一个交点在（0，0）与（1，0）之间故正确，抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），20 且20，-22-1+4 44解得，a1，故正确，故答案为：16（3 分）如图，等腰ABC 中，BAC120，ABAC，D 是 AB 上一点，A
21、D2，BD4，E 是边 BC上的动点，若点 E 绕点 D 逆时针旋转 30的对应点是 F，连 CF，则 CF 的最小值是 32 3 【解答】解：如图，将 DB 逆时针旋转 30得到 DM，连接 BM，作射线 MF，过点 A 作 AQBC 于 Q，过点 C 作 CHMF 于 H，设 DM 交 BC 于 G，MF 交 BC 于 K，过点 G 作 GNAB 于 N，BAC120，ABACAD+BD2+46，AQBC，ABC30，AQAB3，=12BQCQ3，=62 32=3BC2BQ6，3BDMEDF30，BDM+MDEMDE+EDF，即BDEMDF，DBDM，DEDF，DBEDMF（SAS），DB
22、EDMF30，DMBDBM75，=180 2=BKMCKH30，BDGDBG30，即点 F 在射线 MF 上移动，当且仅当 CFMF 时，CF 的值最小，GNBD，BNDN2，设 GNx（x0），则 BG2x，BN2+GN2BG2，22+x2（2x）2，解得：x，=233BGDG，=433GM4GK，-433=BKBG+GK4，CKBCBK64，3 在 RtCKH 中，CKH30，CHCK（64）32，=12=123 3 CF 的最小值为 32；3 故答案为 32 3 三、解答题（三、解答题（共共 8 小题，小题，共共 72 分）分）17（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+5xm0
23、的一个根是 2，求 m 的值及方程的另一个根【解答】解：设方程的另一个根为 t，根据根与系数的关系得，2+t5，2tm，解得 t7，m14，即 m 的值为 14，方程的另一个根为7 18（8 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴为直线 x1，图象交 x 轴于 A（3，0）、B（1，0）两点，交 y 轴于点 C（0，3），根据图象解答下列问题：（1）直接写出方程 ax2+bx+c0 的两个根；（2）直接写出不等式 ax2+bx+c0 的解集；（3）直接写出不等式 ax2+bx+c3 的解集 【解答】解：（1）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象交 x 轴于 A（3
24、，0）、B（1，0）两点，ax2+bx+c0 的两个根为 x13、x21；（2）由图象可知，不等式 ax2+bx+c0 的解集是1x3；（3）点 C（0，3），点 C 关于对称轴的对称点为：（2，3），不等式 ax2+bx+c3 的解集为 x0 或 x2 19（8 分）如图，某农户准备盖一所小型的矩形鸡场，其中一面靠墙，墙足够长，另外三面分别采用木栅栏和新型材料，两种材料一共购进 20 米，其中新型材料至少购进 8 米，若鸡场的面积为 42 平方米，求新型材料的长度？【解答】解：设木栅栏购进 x 米，则新型材料购进（20 x）米，依题意，得：x（20 x）42，12整理，得：x220 x+84
25、0，解得：x16，x214，新型材料至少购进 8 米，20 x8，x12，x214（不合题意，舍去），答：新型材料的长度为 6 米 20（8 分）已知正方形 ABCD，点 E 是 CD 的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）（1）在图（1）中，分别画出另外三边的中点；（2）在图（2）中，连接 AE，将AED 绕着点 A 顺时针旋转 90，画出旋转后的三角形 【解答】解：（1）如图（1），F，G，H 即为所求；（2）如图（2），ABM 即为旋转后的三角形 21（8 分）如图，在半径为 5 的中，AB 为O 的直径，OD弦 AC 交O 于 D，垂足是 H，BD 交 AC于 E，过点
26、 E 作 EFEB 交O 于 F，且 EFEB，连接 OF，AF，BF（1）求证：OFEODE；（2）若 EH1，求 AF 的长 【解答】（1）证明：连接 OE 在OEF 和OEB 中，OE=OE=OEFOEB（SSS），OFEOBE，OBOD，OBEODE，OFEODE （2）AB 是直径，AFB90，EFBE，BEF90，EFEB，EFBEFA45，OEFOEB，OEFOEB45，AFEOEF45，AFOE，OFEODE，FOHDEF90，ODAC，AOFAHD90，AOAE，四边形 AEOF 是平行四边形，OFAE5，AFOE，EH1，AHAEEH4，OH3，=2 2=52 42=OE，
27、=2+2=32+12=10AF=10 22（10 分）某公司电商平台，在 2021 年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量 y（件）是关于售价 x（元/件）（x 为正整数）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价 x，周销售量 y，周销售利润 W（元）的三组对应值数据 x 40 70 90 y 180 90 30 W 3600 4500 2100（1）该商品进价 20（元/件），y 关于 x 的函数解析式是 y3x+300（不要求写出自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求售价不低于进价，售价 x 为多少时，周销售利润 W 最大，并求出此时的最大利润；（3）因
28、该商品原料涨价，进价提高了 m（元/件）（m0 的整数），该商品在今后的销售中，公司发现当售价为 63 元/件时，周销售利润最大，请直接写出 m 的值【解答】解：（1）由 x40，y180，w3600 可得商品进价为 40360018020（元），设 ykx+b，由题意有：，40+=18070+=90解得，k=-3=300y 关于 x 的函数解析式为 y3x+300；故答案为：20，y3x+300；（2）由（1）可得 W（3x+300）（x20）3x2+360 x6000 3（x60）2+4800，30 当 x60 时，W 最大，最大值为 4800，售价为 60 元时，周销售利润 W 最大，最
29、大利润为 4800 元；（3）由题意 W（3x+300）（x20m）3x2+（360+3m）x6000300m，对称轴 x60，+2当售价为 63 元/件时，周销售利润最大，6063，+2=解得：m6 m 的值为 6 23（10 分）如图，ABC 为等边三角形，D 为 BC 边上一点，连接 AD（1）如图（1），将 AD 绕点 A 顺时针旋转 60得到 AE连接 DE，BE，求证：ABEACD；（2）如图（2），将 AD 绕点 A 顺时针旋转 120得到 AE，连接 CE 交 AB 于 F，猜想 AF 与 BD 存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图（3），以 AC 为斜边向 AC 边右侧
30、作 RtAMC，连接 BM，N 为 BM 的中点，连接 DN若 AB24，CD8，当 DN 取最小值时，请直接写出BDN 的面积 【解答】（1）证明：如图 1 中，ABC 是等边三角形，BAAC，EADBAC60，EABDAC，在ABE 和ACD 中，AE=AD=ABEACD（SAS）；（2）解：如图 2 中，延长 EA 至 H，使 AHAE，连接 DH，CH，ADAE，EAD120，AHAD，DAH60，ADH 是等边三角形，AHDADH60，ABC 是等边三角形，ACB60，ACBAHD，点 A、D、C、H 共圆，ACHADH60，ACHBAC60，AFCH，EAAH，EFCF，CH2AF
31、，ABC，ADH 都是等边三角形，同法可证BADCAH（SAS），BDCH，BD2AF；（3）解：如图 3 中，取 AC 的中点 O，连接 OB，取 OB 的中点 J，连接 JN，过点 J 作 JKBC 于点 K，连接 DJ，OM ABC 是等边三角形，OAOC，ABACBC24，OAOC12，BOAC，OB12，=2 2=242 122=3BJOJ6，3JBK30，JKBD，JK3，BK9，3CD8，BDBCCD24816，BK9，DK7 JD2，=(33)2+72=19AMC90，OAOC，OMAC12，=12BNNM，BLJO，NJOM6，=12DNDJJN26，19 当点 N 落在线段
32、 DJ 上时，DN 的值最小，此时 SBDN16（26）24=123321919 2 72381924（12 分）已知抛物线 yx2+bx+c（bc0）的顶点为 D，与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 左边）（1）若该抛物线的顶点 D 坐标为（1，4），求其解析式；（2）如图（1），已知抛物线的顶点 D 在直线 l：yx+3 上滑动，且与直线 l 交于另一点 E，若ADE的面积为，求抛物线顶点 D 的坐标；158（3）如图（2），在（1）的条件下，P，Q 为 y 轴上的两个关于原点对称的动点，射线 BP，BQ 分别与抛物线交于 M，N 两点，求 MN 与 PQ 满足的数量关系 【解答】解
33、：（1）抛物线顶点坐标为 D（1，4），二次项系数 a1，y（x1）2+4x2+2x+3，该抛物线的解析式为 yx2+2x+3；（2）设点 D、E 的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则 x1，将抛物线与直线 l 解析式联立得：x+3x2+bx+c，=2整理得：x2（b+1）x+3c0，x1+x2b+1，x1x23c，x21，=2+（1）3c，22+y1y2x1+3（x2+3）x2x111，=2+-2=设直线 l 与 x 轴的交点为 G，则 G（3，0），SADESADGSAEGAG（y1y2）AG，=12=12SADE，=158 AG，12=158AG，=154A（，0），-34将
34、A（，0）代入 yx2+bx+c，-34得：b+c0，-91634联立方程组，得，-91634+=02(2+1)=3 解得：b1，b2（舍去），=32=-132b，=32D（，）；3494（3）如图 2，设 P（0，m），P，Q 为 y 轴上的两个关于原点对称的动点，Q（0，m），PQ2m，由（1）知：yx2+2x+3，令 y0，则x2+2x+30，解得：x13，x21，B（3，0），设直线 BP 的解析式为 ykx+d，则：，3k+d=0=解得：，k=-3=直线 BP 的解析式为 yx+m，=-3联立方程组，得：，y=-3+=2+2+3解得：（舍去），x1=31=0 x2=3 12=29+43M（1，），3-29+43同理可得：N（1，），-3-2943MNm，=(3 1)(3 1)2+(29+43)(2943)2=2173=21732=173
