1、一、笛卡儿坐标系一、笛卡儿坐标系二、空间中的向量二、空间中的向量第一节第一节 空间中的笛卡儿（直角）空间中的笛卡儿（直角）坐标向量坐标向量第九章第九章 空间解析几何空间解析几何三、向量的长度与方向三、向量的长度与方向四、距离和中点四、距离和中点一、笛卡儿坐标系一、笛卡儿坐标系 我们用如图我们用如图所示所示 的三个互相垂直的轴来确定空的三个互相垂直的轴来确定空间中的点位置。图中所示的轴组成一个间中的点位置。图中所示的轴组成一个右手坐标系右手坐标系。通过你如此握住右手，即大拇指以外的手指从通过你如此握住右手，即大拇指以外的手指从 轴轴向向 轴弯曲，那么大拇指指向为轴弯曲，那么大拇指指向为 轴正方向
2、。轴正方向。xyz 空间中的点空间中的点 的笛卡儿的笛卡儿坐标坐标 是过点是过点 垂直于坐垂直于坐标轴的平面与该轴的交点在标轴的平面与该轴的交点在该轴上的坐标。由于定义的该轴上的坐标。由于定义的这种坐标的轴相互以直角相这种坐标的轴相互以直角相交，因此交，因此笛卡儿坐标笛卡儿坐标也称为也称为直角坐标直角坐标。P,x y zO x y z 由坐标轴由坐标轴 轴和轴和 轴构成的平面为轴构成的平面为 平面，它的标平面，它的标准方程是准方程是 ；平面，它的标准方程为平面，它的标准方程为 ；平面，它的标准方程为平面，它的标准方程为 。三个坐标平面的三个坐标平面的的交点的交点为原点为原点 。且三个坐标平面将
3、空间分成了八个部且三个坐标平面将空间分成了八个部分，依次称为第一至第八卦限。分，依次称为第一至第八卦限。yxxOy(0,0,0)0zyOz0 xxOz0y例例1.给出下列方程和不等式的几何解释：0az 5bx 0,0,0czxy 0,0,0dxyz 01ey 2,2fyz 在 平面内和其上方的点组成的空间。xOy垂直于 轴并且在 与 轴相交且与 平面平行的平面。x5x xyOz 平面上的第二象限。xOy第一卦限。平面 和 之间的板形区域（包含平面）。0y 1y 平面 和 的交线。2y 2z 二、空间中的向量二、空间中的向量若若 是一个起点在点是一个起点在点 ，终点在，终点在 的向量，的向量，则
4、则 的分量形式是的分量形式是 。跟平面情形一样，。跟平面情形一样，这也是点这也是点 的位置向量。从起点的位置向量。从起点 到到终点终点 的向量为的向量为 。V0,0,0123,v v vV123,Vv v v123,v v v1111,P x y z2222,P xyz12212121,VPPxx yy zz 用从原点到点用从原点到点 ，的有向线段表的有向线段表示的向量为标准单位向量，用示的向量为标准单位向量，用 ，和，和 表示。于是表示。于是从原点到任意一点从原点到任意一点 的位置向量就可以写成：的位置向量就可以写成：1,0,00,1,00,0,1ijk,P x y zrOPxiyjzk 2
5、12121xx iyyjzzk12PP 这样，向量这样，向量 可以表可以表示成示成12212121,PPxx yy zz 我们把这作为空间向量的主要记号。我们把这作为空间向量的主要记号。空间中向量的运算法则：空间中向量的运算法则：加、减法数量乘法 设 和 是向量，是实数，123Uu iu ju k123Vviv jv ka112233UVuv iuvjuvk123aUau iaujauk三、向量的长度与方向三、向量的长度与方向从三角形ABC得2212ACvvV 123viv jv kAD22ACAD222123vvv 再从三角形ACD得定义定义（1）空间向量）空间向量 的长度为：的长度为：12
6、3Vviv jv kV 123viv jv k222123vvv2221001001iijk2220100101jijk2220010011kijk（3）单位向量）单位向量 是长度为是长度为1的向量。标准单位向量的的向量。标准单位向量的长度是长度是n（2）空间中的零向量是：）空间中的零向量是：。与平。与平面上一样，面上一样，的长度为零而且无方向。的长度为零而且无方向。0,0,0000OijkO若若 ，则，则 是与是与 同方向的单位向量。同方向的单位向量。0V VVV等式等式 把把 表示成它的长度表示成它的长度 和方向和方向 的乘积。的乘积。VVVVVVVV例例2 求与从 到 的向量同方向的单位
7、向量 。11,0,1P23,2,0PU12PP 3 1200 122ijkijk 2222213 12PP 1212222213333PPijkUijkPP 故：解：只要用 的长度除它即可：12PP 解：速率是速度向量的大小，于是有例例3把一个质点的速度向量 表示成它的速度和方向的乘积。23Vijk 22212314V VVVV231414ijk12314141414ijk例例4一个6牛顿的力F作用在向量 的方向上。把F表示成它的长度和方向的乘积。22Vijk2222266221VijkFV 2263ijk2216333ijk解：力向量是四、距离和中点四、距离和中点空间中点空间中点 到点到点
8、的距离为的距离为 的的长度。即：长度。即：1111,P x y z2222,P xyz12PP 12PP 222212121xxyyzz一个点一个点 在中心为在中心为 、半径为、半径为 的的球面上，那么球面上，那么 。即半径为。即半径为 中心为中心为 的标准球面方程为：的标准球面方程为：,P x y z0000,P xy za0P Paa000,xy z2222000 xxyyzza中点中点连接 和 的线段的中点M是点1111,P x y z2222,P xy z121212,222xxyyzz11212OMOPPP 12112OPOPOP1212OPOP121212222xxyyzzijk例例5求下列球面的中心和半径：2223410 xyzxz 解：用求圆周的中心和半径的办法求球面的中心和半径：对含 和 的项进行必要的配方，并把每个二次函数写成线性表达式的平方。然后从标准形式的方程求得中心和半径。,x yz2223410 xyzxz 222341xxyzz 2223921214244xyz 故中心是 ，半径是 。3,0,22212 3724 04,222 5,1,2例例6.已知 和 的，求线段 的中点。13,2,0P27,4,4P12PP代入中点坐标公式解：
