1、一、二重积分的定义一、二重积分的定义二、二重积分的性质二、二重积分的性质第一节第一节 二重积分的定义与性质二重积分的定义与性质第十一章第十一章 重积分重积分1曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、二重积分的定义一、二重积分的定义以xOy平面上的有界闭区域D为底，以D的边界曲线L为准线而母线平行于z轴的柱面为侧面，以以D为定义域且取正值的连续函数为定义域且取正值的连续函数 表示的是以表示的是以连续曲面为顶所围的几何体，称为曲顶柱体。连续曲面为顶所围的几何体，称为曲顶柱体。下面考虑曲顶柱体的体积V的计算问题。(,)f x y我们知道平顶柱体的底面上各处的高是相同的，所以其体积为高乘以底面积。曲顶柱体的顶
2、是曲面，它在点 处得高度 随点 的位置不同而变化，上面求平顶柱体的体积公式显然不适用。于是我们可以借鉴求曲边梯形面积的方法来计算曲顶柱体的体积。Dyx),(,)f x y),(yx(1)分割分割 用一组曲线网将区域用一组曲线网将区域D分割成分割成n个小闭区域个小闭区域 小区域小区域 的面积记为的面积记为 。以。以 的的边界曲线为准线，作母线平行于边界曲线为准线，作母线平行于 轴的柱面，这些轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体个细曲顶柱体 ，其，其体积也记作体积也记作12,n1,2,iiniziV1,2,iVin(2)近似近似(3)求和求和由于 是连续的，
3、当分割相当细时，曲顶柱体 的高度 变化很小，这时小曲顶柱体可以近似看作平顶柱体。我们在每个小区域 上任取一点 ，以 为高而底为 的平顶柱体近似地代替细曲顶柱体，则有(,)f x yiV(,)f x yi,ii,iif iiiiifV),(),2,1(ni 把n个平顶柱体体积累加起来，所得之和作为曲顶柱体V的近似值iniiiniifVV),(11(4)取极限取极限 令n个小区域的直径中的最大值 趋于零，取上述和式的极限，所得的极限即为所求曲顶柱体的体积01lim(,)niiiiVf 2平面薄片的质量平面薄片的质量设一平面薄片所占设一平面薄片所占 平面上的闭区域为平面上的闭区域为D，它，它在点在点
4、 处的面密度处的面密度 是是D上连续的正值函上连续的正值函数，现在计算该薄片的质量数，现在计算该薄片的质量M。xOy(,)x y(,)x y由于密度 是连续变化的，若把薄片分成许多小块后，则在每一小块上的面密度可以近似地看作常数。这样，我们又可用上述方法计算此薄片的质量。(,)x y用网线将平面区域D划分成n个子闭区域 其面积记作 ，在每一子闭区域上任取一点 ，以 代替 上各点处的密度，则 这块薄片的质量近似为 ，薄片D的质量近似为12,n1,2,iin,ii,ii ii,iiiM i1,niiiiM 上面两个例子可以发现，虽然它们的实际背景不同，但是解决问题的方法却是完全一致的，所求的量都归
5、纳为同一形式的和式极限。这样，就抽象出二重积分二重积分的定义。3二重积分的定义二重积分的定义定义定义 设函数 是定义在有界闭区域D上的有界函数。将闭区域任意分成n个小闭区域12,n(,)f x y01(,)lim(,)niiiiDf x y df 其中 表示第i个小区域及其面积。在每个小区域 上任取一点 ，求和 。如果各小闭区域的直径中的最大值 趋于零时，该和式的极限存在，则称此极限为函数 在闭区域D上的二重积分。记作 ，即ii(,)ii 1(,)niiiif(,)f x y(,)Df x y d01(,)lim(,)niiiiDf x y df 其中 称为被积函数，称为被积表达式，称为面积元
6、素，称为积分变量（二重积分的值与积分变量用什么字母无关），D称为积分区域，称为积分和。(,)f x y(,)f x y dd,x y1(,)niiif 二重积分的定义中对区域D的划分方式是任意的。在直角坐标系中，用平行于坐标轴的直线网划分D，那么除了包含边界点的一些不规则小区域外，其余的都是小矩形闭区域 ，边长分别记为 及 ，则 。因此，在直角坐标系中有时把面积元素 记作 ，故把二重积分 写为 。其中 称作直角 坐标中的面积元素。ijxkyikjyx ddxdy(,)Df x y d(,)Df x y dxdydxdy一般地，若 ，则该积分在几何意义就是以区域D为底，以曲面 为顶的曲顶柱体体积
7、。(,)0,(,)Df x yf x y dz(,)f x y如果 在D的若干部分区域上是正的，我们可以把在 面上方的柱体体积取成正，在 面下方的柱体体积取成负。(,)f x yxOyxOy当 时，柱体在 面的下方，二重积分的值是负的，它的绝对值仍等于柱体的体积。(,)0f x y xOy于是，在D上的二重积分就等于这些部分区域上的柱体体积的。(,)f x y下面的定理给出二重积分存在的一个充分条件。定理定理 设函数 在有界闭区域上有定义，且连续，则 在该区域上的二重积分一定存在。(,)f x y(,)f x y二、二重积分的性质二、二重积分的性质性质性质1 （线性性）设 为常数，则,(,)(
8、,)(,)(,)DDDf x yg x ydf x y dg x y d性质性质2 （区域可加性）如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分区域，则在D上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分的和。例如D分为两个闭区域 和 ，则1D2D12(,)(,)(,)DDDf x y df x y df x y d性质性质3 如果在D上，为D的面积，则(,)1f x y 1DDdd这就是说，高为这就是说，高为1的平顶柱体的体积在数值上的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。等于柱体的底面积。性质性质4 如果在D上，则有(,)(,)f x yx y(,)(,)DDf x y dx y d(,)(,)(,)f x yf x yf x y特殊地，由于 ，(,)(,)DDf x y df x y d则有性质性质5（估值不等式）设M，m分别是 在闭区域D上的最大值和最小值，是D的面积，则有(,)f x y(,)Dmf x y dM性质性质6 （二重积分的中值定理）设函数 在闭区域D上连续，是D的面积，则在D上至少存在一点 ，使得(,)f x y,(,)(,)Df x y df
