1、第三节第三节 不定积分的性质不定积分的性质 第五章第五章 不定积分不定积分性质性质1 (1)或 (2)或 ()()f x dxf x dxxfdxxfd)()()()fx dxf xC()()df xf xC上述性质表明：微分运算（以记号 d表示）与求不定积分的运算（以记号 表示）是互逆的。当用记号 与 d把它们连结在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数。性质性质2 其中k为常数，且 。()()kf x dxkf x dx0k()()()kf x dxkf x dxkf x证证：只需验证等式右端的导数等于左端的被积函数即可，dxxfk)()(xkf从而可知 时 的不定积分。性质性质3dxxg
2、dxxfdxxgxf)()()()(dxxfdxxfdxxfdxxfxfxfnn)()()()()()(2121利用基本积分公式及不定积分的性质，我们就可以求出一些简单的不定积分。证明与性质2的证明类似。性质3可以推广到有限个函数。例例1 求dxxx)253(2223232(352)3521153522322xxdxx dxxdxdxxxxCxxxC 每一项积分结果都应加上一个任意常数，但由于任意常数之代数和仍为任意常数，故只须加上一个任意常数即可。解：解：例例2 求dxxxxx23332133221112222233(2)1112323ln121223lnxxxdxxxdxxxxdxxdxd
3、xxxxCxxxxC 解：解：例例3 求xdx2tan22tan(sec1)xdxxdx解：解：tan xxC例例4 求dxxxxsincos2cos22cos2cossincossincossinxxxdxdxxxxx解：解：(cossin)xx dxsincosxxC(cossin)(cossin)cossinxxxxdxxx例例5 求 dxxxx)1()1(222222(1)12(1)(1)xxxdxdxxxxx解：解：212()1dxxx22(1)2(1)xxdxxxln2arctanxxC例例6 求 dxxx24144221 111xxdxdxxx 解解：2211x dxdxdxx2
4、22(1)(1)11xxdxx221(1)1xdxx 31arctan3xxxC例例7 求dxxx)2sin2(222(2sin)2sin22xxxxdxdxdx11cos2ln222xxdxdx解：解：1112sinln222xxxC11 cos2ln22xxdx例例8 生产某产品x个单位的总成本G为产量x的函数。已知边际成本函数 ，固定成本为10000元，试求总成本与产量的函数关系。xMG248xxG248)(24()(8)848G xdxxxCx10000)0(G10000C 10000488)(xxxG由题设 故所求成本函数为又已知固定成本为10000元，即，得故总成本函数应为解：解：
