1、一、罗尔定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理第一节第一节 中值定理中值定理第四章第四章 微分中值定理及导数的微分中值定理及导数的应用应用三、柯西中值定理三、柯西中值定理罗尔定理罗尔定理一、罗尔定理一、罗尔定理设函数 在闭区间 上有定义，且满足)(xfy,ba（1）闭区间 上连续；,ba（2）开区间 内可导；),(ba（3）；)()(bfaf则至少存在一点 ，使得 。),(ba0)(f由定理的假设 在闭区间 上连续，在开区间 内可导。说明 在平面上是以 为端点的连续且处处有切线的曲线段。由 可知，线段 平行于 轴,说明在曲线段 上必有一点（其横坐标为 ），在该点处的切线平行于
2、 轴。即 。即曲线段 上至少存在一点 ，在该点处有水平切线。,ba),(ba)(xfBA,)()(bfafABx)(xfCx0)(fACB(,()CfACB(,()CfAB注意：注意：定理中的三个条件如果不能同时满足，则定理的结论也可能不成立。下面三个图象表明，函数的图象没有水平切线二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理如函数 在闭区间 上有定义，且满足)(xf,ba则至少存在一点 ，使得（1）闭区间 上连续；,ba（2）开区间 内可导；),(ba),(ba()()()f bf afba或)()()(abfafbf拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理我们借助几何图形来分析定理的结论。条件中连续与
3、可导的条件与罗尔定理证明相同，仅仅少了该函数在两端点的函数值相等的条件，而弦 的方程为，)()()()(axabafbfafyABABabafbf)()(所以 正是弦 的斜率说明至少存在一点 ，使曲线在该点的切线与弦 平行。ABabafbff)()()(于是),(ba或定理的其他形式：定理的其他形式：（1）由于 是介于 与 之间，因此可将 表示成ab)(aba10 其中于是有)()()(ababafafbf10（2）若令 ，则有0 xa xxb00()yfxxx 其中 10显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理当 时的特殊情形。)()(bfafxfxfxxf)()()(00（介于 与 之间）0 xx
4、x0物理解释：把数 设想为 在 上的平均变化率而 是 在 的瞬时变化率。中值定理表明：在某个内点处的瞬时变化率一定等于整个区间上的平均率。()()/()f bf aba,a bf()fcfxc推论推论1 如果函数 在区间 内的任意点 处的导数 恒等于零，则 在区间 内是一个常数。),(bax)(xf)(xf)(xf),(ba)(xf),(ba推论推论2 如果函数 与 在区间 内每一点的导数 与 都相等，则这两个函数在此区间内至多相差一个常数。)(xg)(xf)(xg例例1 函数 ，在闭区间 上验证拉格朗日定理的正确性。xxfln)(,1 e解：显然 在 上连续，在 内可导，又xxfln)(,1
5、 e).1(e0)1(f0)(efxxf1)(由拉格朗日中值定理，至少存在 ，使),1(e11lnln1)(eef成立。解得),1(1ee故可取 ，使 成立。1 e1)1()()(efeff例例2 证明不等式1212arctanarctanxxxx)(21xx)(21xx 证：证：设 在 满足拉格朗日定理的条件，因此有xxfarctan)(,21xx)(11arctanarctan12212xxxx),(21xx因为 ，所以可得11121212arctanarctanxxxx如果我们把描述拉格朗日中值定理的几何意义的曲线用下面参数方程表示)()(tytx)(bta则对应 的坐标为 ，的坐标为
6、，而弦 的斜率为A)(),(aaB)(),(bbAB)()()()(ababk三、柯西中值定理三、柯西中值定理可知，点 处的切线斜率等于弦 的斜率 ，即ABPk)()()()()()(abab)(tP)()(tdxdyPAB设在曲线上点 处的切线平行于弦 。由参数方程在点 的导数柯西中值定理柯西中值定理 设函数 与 在闭区间 上有定义，且满足)(xf)(xg,ba（1）闭区间 上连续；,ba（2）开区间 内可导，且在 内 ；),(ba),(ba()0g x)()()()()()(gfagbgafbf不难看出，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，由于当 时，。由柯西中值定理可知，至少存在 ，满足),(baxxg)(abagbg)()(1)(xg)()()(fabafbf则至少存在 ，使),(ba
